高二上学期期中考试
数学答案（B 卷）
一、单选题(共 40 分)
1．C 2．A 3．C 4．D 5.B 6．A 7．B 8．A
二、多选题(共 20 分)
9．AC
10．BCD
11．BCD
12．ACD
三、填空题(共 20 分)
13、5x 9y 14 0
1
14、 ，- 1,
5
15、 62
16. 4
3
四、解答题(共 70 分)
17．解：
1 1
（1）由题图知MN MA1 A1B1 B1N BA1 AB B1C1 ，............................2
3 3
BA1 AA1 AB， B C AC AC, A B AB1 1 = A1C1 - A1B1 ， 1 1 1 1 ，.............................4
1 1 1 1 1
MN (c a) a (b a) a b c，.......................................................5
3 3 3 3 3
由题设条件知， 2 2 2 2 ，............8 a b c a b c 2a b 2a c 2b c 20
∴ | a b c | 2 5 ，..............................9
1 2 5
由（1）知 | MN | | a b c | ...................10
3 3
18、解：以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空
间直角坐标系如图．..............1
D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2，2,0)，C(0，2,0)，E 2,1,0 ，P 0,0,2
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F 1,1,1
.................2
(1)证明： EF DC 1,0,1 0,2,0 0
EF DC EF CD .......................4
(2)设平面 DEF 的法向量为 n＝(x，y，z)，
―→n·DF＝0，
则 .............5 ―→n·DE＝0，
x, y, z 1,1,1 0
即
x, y, z 2,1,0 0 ........................7
x y z 0
即
2x y 0 ................9
取 x＝1，则 y＝－2，z＝1，
∴n＝(1，－2,1)，.................10
―→
―→ BD·n 2 3
∴cos〈BD，n〉＝ ＝ ＝ ...............12
―→ 2 2 6 6
|BD||n|
19、解：把圆 C 的方程化为标准方程为 2 2(x＋1) ＋(y－2) ＝4，
∴圆心为 C(－1,2)，半径 r＝2...........................1
(1)当 l 的斜率不存在时，此时 l 的方程为 x＝1，C 到 l 的距离 d＝2＝r，满足条
件．............3
当 l 的斜率存在时，设斜率为 k，得 l 的方程为 y－5＝k(x－1)，即 kx－y＋5－k＝0，
| + | 5
则 = ，解得 k＝ .................4
√ + 12
5
∴l 的方程为 y 5 x 1 ，
12
即5x 12y 55 0
..........................5
综上，满足条件的切线 l 的方程为 x＝1 或5x 12y 55 0
..................6
2 2 2 2 2 2 2 2
(2)设 P(x， y)，则 |PO| ＝x ＋ y ， |PM| ＝ |PC| － |MC| ＝ (x＋1) ＋ (y－2) －
4...................8
∵|PO|＝|PM|，
∴ 2x ＋ 2y ＝ ＋ 2 2(x 1) ＋(y－2) －4.............10
整理，得 2x－4y＋1＝0，..................11
∴点 P 的轨迹方程为 2x－4y＋1＝0............12
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20、解：
（1）因为 BAD 135 ，所以∠ABC=45°
在 ABC中，AB = 2，BC = AD = 2√2，则AC = 2
，所以 AB2 AC2 BC2 ， AB AC ...........................................................1
因为四边形 ACEF 为矩形，所以FA AC ，
因为平面 ACEF 平面 ABCD，平面 ACEF 平面 ABCD AC， FA 平面 ACEF ，
所以FA 平面 ABCD .
建立如图所示的空间直角坐标系，.................................................2
则 A 0,0,0 ，B(2,0,0) , C(0,2,0), D( 2,2,0), E(0,2,2), F(0,0,2).
1 1
当 时，EM EF ，所以M(0,1,2)........................3
2 2
所以
BM ( 2,1,2), DE (2,0,2)
BM DE 0 ................................................4
所以DE BM ..................................................5
（2）平面 ECD的一个法向量n1 0,1,0 ，
CM CE EM CE EF (0,0,2) (0, 2,0) (0, 2 ,2)
.........................7
BC ( 2,2,0)
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n2 BC
设平面MBC的法向量n2 x, y, z ，因为 ，
n2 BM
所以平面MBC的一个法向量 ，.........................................9
n (1,1, )2
π
因为0 ，所以 .....................................10
2 1
cos | cos n ,n | 1 2 2
2
2 1 √3 √2
因为0 1，所以√ ,即 ∈ [ , ].2 + λ ∈ [√2 , √3] 2 3 2 ............................11 √2+λ
所以. √
3 2
cosθ ∈ [ ,
√ ]................................................................12
3 2
21 、解：(1)由题意得 2a＝4，得 a＝2，......................1
2 2
3 x y
又点 P 1， 在椭圆 2＋ 2＝1 上，
2 a b
3
1 4
∴ ＋ ＝ 22 1，解得 b ＝1..............................................2
4 b
2
x
∴椭圆 C 的方程为 ＋ 2y ＝1，...................................3
4
焦点 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)．................................4
(2)
由题意得直线 l 的斜率存在且不为 0，
2
x
设 2 2 2l：y＝kx＋2，代入 ＋y ＝1，整理得(1＋4k )x ＋16kx＋12＝0，...................6
4
Δ＝ 2 2 2(16k) －4(1＋4k )·12＝16(4k －3)>0，得
2 3
k > .①.....................7
4
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
16k 12
∴x1＋x2＝－ 2，x1x2＝＋ ＋ 2
..................................8
1 4k 1 4k
∵∠AOB 为钝角，∴cos ∠AOB<0，
―→ ―→
则OA·OB＝x1x2＋y1y2<0，.................................9
又 y1y2＝(kx1＋2)·(kx2＋2)
＝ 2k x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，
∴ 2x1x2＋y1y2＝(1＋k )x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
16k
＝ ＋ 2
12
(1 k )· 2＋2k·－ 2 ＋4
1＋4k 1＋4k
2
4 4－k
＝ 2 <0，............................10
1＋4k
∴ 2k >4.②
由①②得 2k >4.....................................11
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解得 k<-2 或 k>2，
∴k 的取值范围是 ， 2 2，
...................12
22．解：
1 2
（1）设F2(c, 0)，则
√
|PF2| = √(c 1)
2 + = ，所以c =1..........................1
2 2
则F1( 1,0)
∴ 3| √2PF1| = ，则由椭圆定义 PF1 PF2 2a 2 2 ， 2
∴a 2，则b a2 c2 1，..........................................3
x2
故椭圆的标准方程为 y2 1； ..................................... 4
2
（2）由题意直线 AB 的斜率必定不为零，于是可设直线 AB : x ty 1，
x ty 1
联立方程 2 得 (t2 x 2)y
2 2ty 1 0， ........................5
y2 1
2
∵设 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，
由题意， 4t2 4(t2 2) 8(t2 1) 0，
2t 1
由韦达定理 y1 y2 ， y1y2 ，..............................7
t2 2 t2 2
t t2 2
则 yN ，∴2 x ty 1 1 ， ...............8 t 2 N N t2 2 t2 2
2 2t2 6
∵MN AB，∴ kMN t ，∴ MN 1 t
2 2 1 t2
t2
，
2 t2 2
1 1 2
又 AN AB 1 t2
2 1 t
y y 1 t2 ，...............................10 1 2
2 2 t2 2
MN 2 t2 3
∴ tan MAN 2 2
2
t 1 2 2 2 4，
AN t2 1 t
2 1
t2
2
当且仅当 1 即 t 1时取等号．.............................................12
t2 1
(求出 N 点坐标得 8 分，之后步骤无论用什么方法总体得 12 分)
试卷第 5 页，共 5 页2021 年“山东学情”高二期中质量检测
数学试题（B 版）
考试时间：120 分钟
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．过点 P（﹣2，m）和 Q（-m，4）的直线斜率等于 1，那么 m的值等于（ ）
A．1或 3 B．4 C．3 D．1或 4
2．圆 x2 y2 4x 2y 4 0的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． 2,1 , r 1 B． 2,1 , r 2 C． 2, 1 , r 1 D． 2, 1 , r 2
3．已知向量a (2,3,4)，b (1,2,0)，则 a b等于（ ）
A．2 3 B．3 2 C．5 2 D． 14
4．在空间直角坐标系 O
xyz 中，平面 OAB的一个法向量为 n (2,2, 1), 已知点
P 1,3,2 ,则点P到平面OAB的距离d为（ ）
4 2
A． B．2 C．1 D．
3 3
2 2
5“. 1 m 5”是方程 x y“ 2表示椭圆”的（ ）
m 1 5 m
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2 2 2 26．已知双曲线C：2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线方程为 =
5 ，且与椭圆 + =
2 12 3
1有公共焦点，则双曲线 C的方程为（ ）
2 2 2 2 2 2 2A. = 1 B. = 1 C. D.
2
4 5 8 10 = 1 = 15 4 4 3
7 ．在直三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 ABC 120 , AB 2,BC CC1 1 ,则异面直线BC1
与 AB1所成角的余弦值为（ ）
A 15 B 10 3 3． ． C． D．
5 5 3 2
x2 28 y．已知椭圆 1(a b 0)，F1，F2 2 2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的上顶点，a b
直线AF1交椭圆于另一点 P，若 | PF2 | | PA |，则椭圆的离心率为（ ）
3 1 2 1A． B． C． D．
3 3 2 2
高二数学（B 版） 第 1 页 共 4 页
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分.
9．已知直线 l1 : 2x 3y 1 0和 l2 : 4x 6y 9 0，若直线 l到直线 l1的距离与到直线 l2的距
离之比为1: 2，则直线 l的方程为（ ）
A． 4x 6 y 5 0 B．2x 3y 8 0
C．12x 18y 13 0 D．6x 9y 10 0
10．已知点 P在圆 x2 y2 1上，点 A的坐标为 2，0 ，O为原点，则 AO AP的值可以
为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
11 2．已知抛物线 y 2px p 0 的焦点 F到准线的距离为 4，直线 l过点 F且与抛物线
交于 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点，若M m, 2 是线段 AB的中点，则下列结论正确的是( )
A. 抛物线方程为 2 = 16 B. = 4
C. 直线 l的方程为 y 2x 4 D. |AB| = 10
12 5 1．一般地，我们把离心率为 的椭圆称为“黄金椭圆”．则下列命题正确的有（ ）
2
A．若c 2，且点A在以F1，F2为焦点的“黄金椭圆”上，则△AF1F2的周长为6 2 5；
B x
2 y2
．若 1是“黄金椭圆”，则 k 5 5 5；
10 k
C．若F1是左焦点，C，D分别是右顶点和上顶点，则 F1DC ；2
D．设焦点在 x轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为A，B，“黄金椭圆”上动点 P（异于A，
B PA PB 1 5），设直线 ， 的斜率分别为 k1， k2，则 k1k2 .2
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分
13 x
2 y2
．已知椭圆 1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程为
9 5
14．已知两条直线 y x 2m, y 2x m的交点P在圆 x 1 2 y 1 2 4的外部，则实
数m的取值范围是 __________
15 2 2．已知圆C1 : x
2 y2 16与圆C2 : x y 2x 2y 14 0相交，则两圆的公共弦长为
__________.
16.如图，在等腰直角三角形 ABC中，AB=AC=2，点 P是边 AB
上异于 A,B的一点，光线从点 P出发，经 BC ,CA发射后又回
到原点 P .若光线QR经过 ABC 的重心，则 BP长为
___________
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四、解答题：本题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本题 10分)
三 棱柱 A BC- A 1 B 1C1 中，M，N分别是 A1B，B1C1上的点，且 BM＝2A1M，C1N＝2B1N.
设 AB a,AC b,AA c .
1
（1）试用a,b,c表示向量MN；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，
AB＝AC＝AA1＝2，求MN的长.
18．(本题 12分)
如图，在四棱锥 P ABCD中，PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD
为正方形，PD＝DC=2，E，F分别是 AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求 DB与平面 DEF所成角的正弦值．
19．(本题 12分)
已知圆 C: x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点 P在圆 C外，过 P作圆 C的切
线，设切点为M.
(1)若点 P运动到(1,5)处，求此时切线 l的方程；
(2)求满足条件|PO|＝|PM|的点 P的轨迹方程．
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20．(本题 12分)
如图，在平行四边形 ABCD中，AB 2， AD 2 2， BAD 135 ，四边形 ACEF为矩
形，平面 ACEF 平面 ABCD， AF 2，点M 在线段 EF上运动，且 EM EF .
（1）当 1 时，证明DE BM2 ；
（2）设平面MBC与平面 ECD的夹角为 ，求cos 的取值范围.
21．(本题 12分)
x2 y2
已知椭圆 C的方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)，左、右焦点分别是 F1，F2，若椭圆 C上的点a b
1 3，
P 2 到 F1，F2的距离和等于 4.
(1)写出椭圆 C的方程和焦点坐标；
(2)直线 l过定点M(0,2)，且与椭圆 C交于不同的两点 A，B，若∠AOB为钝角(O为坐
标原点)，求直线 l的斜率 k的取值范围．
22．(本题 12分)
2
C : x y
2 2
已知椭圆 2 2 1 a b 0 ， F1， F2为椭圆的左右焦点， P 1, 为椭圆上一a b 2
点，且 PF 22 ．2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线 l: x = 2，过点 F2的直线交椭圆于 A,B两点，线段 AB的垂直平分线分别
交直线 l、直线 AB于M 、N 两点，求 tan MAN最小值．
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