石首市2021—2022学年度上学期期中考试
高中一年级数学试题
时量：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.本试卷分为试题卷和答题卡，答题前请先将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上对应的位置。
选择题的答案请用2B铅笔以正确的填涂方式填写在答题卡上对应的位置，非选择题请用黑色签字笔将答案填写在相应的答题栏内，写在试题卷上的答案无效。
第I卷（选择题 共60分）
一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“都有”的否定是（ ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D.对任意的
3. 已知，则“”是“”的（ ）条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
4. 幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A.0 B.0或2 C.1 D.2
5. 关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.或
6. 若，则有（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列函数中，既是奇函数又在定义域内是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
8. 若偶函数在(0，＋∞)上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A.(－2，2) B.(－2，0)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(0，2)
二、多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,选错或不选得0分.
9. 下列命题说法正确的有（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10. 下列式子最小值为2的有（ ）
A. B. C. D.
11. 关于函数的结论，下列说法正确的有（ ）
A.的单调增区间是 B.的单调减区间是
C.的最大值为2 D.没有最小值
12. 定义在上的函数満足，且当时，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．为奇函数
C．为减函数 D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 集合，,且,则实数的取值范围为_______.
14. 若，，且，则的最大值是______.
15. 已知函数是定义在上的偶函数，则的最大值为____________.
16. 已知函数 且在定义域上是单调函数，则实数的取值范围为_______________.
四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知集合，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（12分）已知函数，且.
（1）求实数的值并判断该函数的奇偶性；
（2）判断函数在(1，+∞)上的单调性并证明.
19.（12分）已知函数.
（1）若，求函数的解析式；
（2）解关于的不等式.
20.（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：km/h）是车流密度（单位：辆/km）的函数.当桥上的车流密度达到180辆/km时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过30辆/km时，车流速度为50km/h，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.
（1）当时，求车流速度v关于车流密度的函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/h）可以达到最大，并求出最大值.
21.（12分）已知关于的不等式的解集为或.
（1）求、的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求实数的取值范围.
22.（12分）已知函数.
（1）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
高一数学期中试题 第 1 页石首市 2021—2022 1学年上学期高一期中数学参考答案 所以 f (x) 2x x，定义域为{x | x 0}关于原点对称，
f ( x) 2( x) 1 2x 1 (2x 1题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ) f (x) x x x ，
答案 C C A D B C D B BCD BC AC ABD 函数 f (x)
1
2x
x 为奇函数． ……………………………6分
13. 14.2 15. 16. （2）函数 f (x) (1, )3 1 , 1 在 上是增函数，，
证明：任取 x1， x2 (1, )，设 x1 x2，则
17.（1）若 A B A，则 A B，
f (x2 ) f (x1 ) 2x
1
2 (2x
1 1 1 x x
1 ) 2(x2 x1 ) ( ) 2(x x 1 2x x x x 2 1
) ( )
1 m 2m 2 1 2 1 x1x2
所以 2m 1 ，解得m 2， (x
(x x )(2
1
) 2
x1 )(2 x1x2 1)
1 m 3 2 1 x1x2 x1x2
所以实数m的取值范围为m 2； ……………………………4分 x1， x2 (1, )且 x1 x2 x2 x1 0，2x1x2 1 0， x1x2 0
（2）①当B 时， 2m 1 m， f (x2 ) f (x1) 0，即 f (x2) f (x1) ，
m 1可得 ，满足 A B ，符合题意. ………………………6分 f (x)在 (1, )上是增函数. ………………………………12分3
2m 1 m 2m 1 m 19 1 f 0 f 2 a 1 1 a 1
②当B 时，若 A B
．（ ）若 ，∴
，则 或 2a
，∴ ，
1 m 1 2m 3
∴ f x x2 2x 11 . ………………………………4分
解得：0 m 3或无解
2 a 1 （ ）原不等式可化为 x a x 1 0，
综上所述：m 0
1
①当 a 0时，不等式的解集为 ,1
所以若 A B
a
，实数m的取值范围为：m 0 . ……………………10分
1
0 a 1
1
②当 时，则 1，不等式的解集为 ,1 , a a
18 a 9 a 9．（1） f (x) 2x ，且 f （2） 4 x 2， 2 2，
③当a 1时，不等式的解集为 ,1 1,
a 1； ………………………………2分 1 1
④当 a 1时，则0 1a ，不等式的解集为
,
a
1, . …………12分
20．（1）由题意：当0 x 30时， v(x) 50；当30 x 180时，设 v(x) ax b 2m n 2m 1 2 n n 4m n 4m 4 4 2 8
m n m n m n
，
180a
1
b 0 a
再由已知得 30a b 50，解得 3 ，
当且仅当 n 2m时，取等号，
b 6 0
所以：8 k 2 k 2，即 k 2 k 6 0，即 3 k 2 . …………………12分
50,0 x 30,
故函数 v(x)的表达式为 v(x)
1
(180 x),30 x 180.
； ………………6分 22．（1） f (x) x2 （2a 2）x a 1 [x (a 1)]2 a 2 3a 2，
3
50x, 0 x 30 对称抽为直线 x a 1
（2）依题意并由（1）可得 f (x) 1
(180 x)x,30 x 180 3 由于函数 f (x)在区间 0 ,1 上是单调函数
当0 x 30时， f (x)为增函数，故当 x 30时，其最大值为 50×30=1500； 所以 a 1 0或a 1 1，即 a , 1 0, ……………………4分
当30 x 180时， f (x)
1
x(180 1 x) (x 90)2 2700,
3 3 （2）由题可知： f (x)max 2
所以，当 x 90时， f (x)在区间[20,200]上取得最大值 2700； 当 a 1 0,即 a 1时， f (x)max f (0) a 1 2，此时 a不存在；
综上，当 x 90时， f (x)在区间[0,200]上取得最大值 f (x)max 2700 , 当 0 a 1 2,即 1 a 1时， f (x)max f (a 1) a2 3a 2 2，
即当车流密度为 90辆/千米时，车流量可以达到最大， 此时 0 a 1；
最大值为 2700辆/小时. …………………………………12分 当 a 1 2,即 a 1时， f (x)max f (2) 5a 1 2，此时 a 1 .
21．（1）因为不等式ax2 3x 2 0的解集为 x x 1或 x b . 综上所述：实数 a的取值范围为（0， ）. ……………………12分
所以，关于 x的方程 ax2 3x 2 0有两个实根分别为 x1 1，x2 b，且有 a 0，
a 3 2 0
3 a 1
所以得 1 b a b 2； ……………………………………4分
a 0
1 2 2
（2）由（1）知 1m n ，不等式 2m n k
2 k 2 恒成立，则 2m n k k 2min ，
