5.6 函数 y＝Asin(ωx＋φ) 课件（21张） 2021-2022学年高一上学期数学 人教A版（2019）必修第一册

(共21张PPT)
5.6　函数y=Asin(ωx+φ)
第五章　三角函数
目录
二、知识讲解
三、小结
四、练习
一、上节回溯
一、上节回溯
C(α－β)
三角恒等变换
S(α－β)
C(α＋β)
S(α＋β)
S2α
T(α＋β)
T(α－β)
T2α
C2α
，
诱导公式
以－β 换 β
以－β 换 β
以－β 换 β
以 α 换 β
以 α 换 β
以 α 换 β
以 换 α
两项 相除
两项相除
二、知识讲解
5.6.1　匀速圆周运动的数学模型
问题　筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图 5.6-1）．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图 5.6-2）．
图 5.6-1
图 5.6-2
　　假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
二、知识讲解
　　与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？
？
思考
水面
x
h
y
r
O
P
P0
　　设 t＝0 时，盛水筒 M 位于点 P0，以 Ox 为始边，OP0 为终边的角为 φ ，经过 t s 后运动到点 P（x，y）．于是，以 Ox 为始边，OP 为终边的角为 ωt＋φ，并且有 y＝r sin(ωt＋φ)．
　　所以，盛水筒 M 距离水面的高度 H 与时间 t 的关系是 H＝r sin(ωt＋φ)＋h．
二、知识讲解
5.6.2　函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象
　　从解析式看，函数 y=sin x 就是函数 y=Asin(ωx+φ) 在 A＝1，ω＝1，φ＝0 时的特殊情形．
（1）能否借助我们熟悉的函数 y=sin x 的图象和性质研究参数 A，ω，φ 对函数 y=Asin(ωx+φ) 的影响？
（2）函数 y=Asin(ωx+φ) 含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？
？
思考
二、知识讲解
1．探索 φ 对 y=sin(x+φ) 图象的影响
x－
y
1
O
－1
x
y＝sin (x＋ )
Q0
P
Q1
x
G
F
y＝sin x
　　一般地，当动点 M 的起点位置 Q 所对应的角为 φ 时，对应的函数是y=sin(x+φ) (φ≠0)，把正弦曲线上的所有点向左（当 φ＞0 时）或向右（当 φ＜0 时）平移 |φ| 个单位长度，就得到函数 y=sin(x+φ) 的图象．
二、知识讲解
2．探索 ω（ω＞0）对 y=sin(ωx+φ) 图象的影响
y
1
O
－1
x
y＝sin (x＋ )
P
Q1
x
G
K
y＝sin (2x＋ )
　　一般地，函数 y=sin(ωx+φ) 的周期是 ，把 y=sin(x+φ) 图象上所有点的横坐标缩短（当 ω＞1 时）或伸长（当 0＜ω＜1 时）到原来的 倍（纵坐标不变），就得到 y=sin(ωx+φ) 的图象．
二、知识讲解
3．探索 A（A＞0）对 y=Asin(ωx+φ) 图象的影响
　　 一般地，函数 y＝Asin(ωx+φ) 的图象，可以看作是把 y＝sin(ωx+φ) 图象上所有点的纵坐标伸长（当 A＞1 时）或缩短（当 0＜A＜1 时）到原来的 A 倍（横坐标不变）而得到．从而，函数 y＝A sin(ωx+φ) 的值域是 [－A，A]，最大值是 A，最小值是 －A．
y
y
O
x
y＝2sin (x＋ )
P
Q1
x
N
K
y＝sin (2x＋ )
T1
2y
二、知识讲解
　　一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0) 的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数 y＝sinx 的图象；再把正弦曲线向左（或右）平移 |φ| 个单位长度，得到函数 y＝sin(x＋φ) 的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 y＝sin(ωx＋φ) 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象．
　　你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0) 图象的过程与方法吗？
？
思考
二、知识讲解
例1　画出函数 y＝2sin (3x－) 的简图．
解：先画出函数 y＝sin x 的图象；再把正弦曲线向右平移 个单位长度，得到函数 y＝sin (x－) 的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 ，得到函数 y＝sin (3x－) 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 2 倍，这时的曲线就是函数 y＝2sin (3x－) 的图象，如图 5.6-7 所示．
二、知识讲解
y
1
O
－1
x
y＝2sin (3x－ )
1
y＝sin x
－2
2
2
3
4
5
6
图 5.6-7
二、知识讲解
　　利用“五点法”画函数 y＝2sin (3x－) 在一个周期（T＝）内的图象．
　　令 X＝3x－ ，则 x＝(X＋)．列表，描点画图．
X 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
y
1
O
－1
x
y＝2sin (3x－ )
－2
2
二、知识讲解
例2　摩天轮是一种大型旋转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为 120 m ，转盘直径为 110 m，设置有 48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 30 min ．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 t min 后距离地面的高度为 H m，求在转动一周的过程中， H 关于 t 的函数解析式 ；
（2）求游客甲在开始转动 5 min 后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 h（单位：m）关于 t 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到 0.1）．
分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程中，游客距离地面的高度 H 呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画．
三、小结
y＝sin x
y＝sin(x+φ)
y＝sin(ωx+φ)
y＝Asin(ωx+φ)
沿 x 轴左（或右）平移 |φ| 个单位
横坐标伸长（或缩短）到原来的 倍
纵坐标伸长（或缩短）到原来的 A 倍
1．要得到函数 y＝cos(－) 的图象，只需将 y＝cos 的图象（　　）
A．向右平移 个单位长度
B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度
D．向左平移 个单位长度
答案：C．
四、练习
四、练习
2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π) 的部分图象如图所示，则函数 f (x) 的解析式为（　　）
A． f (x)＝2sin (2x－)
B． f (x)＝2sin (2x－)
C． f (x)＝2sin (2x＋) 　　
D．f (x)＝2sin (＋)
答案：A．
四、练习
3．将函数 y＝sin(2x＋φ) 的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则 φ 的一个可能值为（　　）
A．－　　　　　B．－　　　　　C．－　　　　　D．－
答案：B．
四、练习
4．将函数 y＝sin(2x－) 的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（　　）
A． y＝sin (2x－)
B． y＝－sin (2x－)
C． y＝cos 2x 　　
D．y＝－cos 2x
答案：D．
四、练习
5．已知函数 f (x)＝sin (ωx＋) （x∈R，ω＞0）的最小正周期为 π ，为了得到函数 f (x) 的图象，只需将函数 g(x)＝sin ωx 的图象（　　）
A．向左平移 个单位长度
B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度
D．向右平移 个单位长度
答案：A．
谢谢观看