2021-2022学年北师版数学八年级下册 三角形的证明第一章测试卷（word版含答案）

第一章达标测试卷
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．若等腰三角形的底角为40°，则它的顶角度数为(　　)
A．40° B．50° C．60° D．100°
2．已知等腰三角形两边长是8 cm和4 cm，那么它的周长是(　　)
A．12 cm B．16 cm C．16 cm或20 cm D．20 cm
3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(　　)
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a与b相交 D．a⊥b
4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是(　　)
A．100° B．105° C．110° D．120°
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(第4题)　　　　　　　　 (第5题)
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，且AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列说法错误的是(　　)
A．∠CAD＝30° B．AD＝BD
C．BE＝2CD D．CD＝ED
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(第6题)　　　　　 (第7题)　　　　　 (第8题)
7．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是(　　)
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是(　　)
A．30° B．35° C．40° D．45°
9．已知△ABC(ACA.INCLUDEPICTURE"8BS3.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\8BS3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\8BS3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\22春\\福建\\8BS\\8BS3.tif" \* MERGEFORMATINET B.INCLUDEPICTURE"8BS4.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\8BS4.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\8BS4.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\22春\\福建\\8BS\\8BS4.tif" \* MERGEFORMATINET
C.INCLUDEPICTURE"8BS5.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\8BS5.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\8BS5.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\22春\\福建\\8BS\\8BS5.tif" \* MERGEFORMATINET D.INCLUDEPICTURE"8BS6.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\8BS6.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\8BS6.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\22春\\福建\\8BS\\8BS6.tif" \* MERGEFORMATINET
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，连接EF，则下列四个结论：
①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF；③DA平分∠EDF；④EF垂直平分AD.
其中结论正确的有(　　)
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(第10题)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在△ABC中，∠C＝40°，CA＝CB，则△ABC的外角∠ABD＝________．
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(第11题)　　　　　 (第13题)
12．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：____________________________________________．
13．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝________.
14．如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝4，则M点到OB的距离为________．
INCLUDEPICTURE"8BS7.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\8BS7.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\8BS7.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\22春\\福建\\8BS\\8BS7.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"8BS8.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\8BS8.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\8BS8.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\22春\\福建\\8BS\\8BS8.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"QB1A.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\QB1A.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\QB1A.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\22春\\福建\\8BS\\QB1A.tif" \* MERGEFORMATINET
(第14题)　　　　　 (第15题)　　　　　 (第16题)
15．如图，△ABC中，AB＋AC＝6，BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则△ACD的周长为________．
16．如图，等边三角形ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上的一点．若AE＝4，则EM＋CM的最小值为________．
三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)已知：∠ABC，射线BC上一点D(如图所示)．
求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC的内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．(要求：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)
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(第17题)
18.(8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，CF交ED的延长线于点F.
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
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(第18题)
19．(8分)如图，锐角三角形ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
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(第19题)
20．(8分)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上，按要求画图．
(1)在图①中画出一个面积为4的等腰三角形ABC(点C在格点上)，使A，B，C中任意两点都不在同一条网格线上；
(2)在图②中画出一个面积为5的直角三角形ABD(点D在格点上)，使A，B，D中任意两点都不在同一条网格线上．
INCLUDEPICTURE"X72.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\X72.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\X72.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\22春\\福建\\8BS\\X72.tif" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
21．(10分)如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由；
(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．
INCLUDEPICTURE"X74.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\X74.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\X74.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\22春\\福建\\8BS\\X74.tif" \* MERGEFORMATINET
(第21题)
22．(10分)数学课上，张老师举了下面的例题：
例1　等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2　等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式　等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的变式题；
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
答案
一、1.D　2.D　3.C　4.C
5．C　6.C　7.D
8．C　点拨：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ACB＝×(180°－30°)＝75°.
∵∠1＝∠A＋∠AED＝145°，
∴∠AED＝145°－30°＝115°.
∵a∥b，∴∠AED＝∠2＋∠ACB.
∴∠2＝115°－75°＝40°.
9．D
10．C　点拨：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF.∴∠DEF＝∠DFE.∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF.∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，即DA平分∠EDF.∴AD垂直平分EF.∴①②③正确，④不正确．
二、11.110°
12．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等
13．20°　14.2　
15．6
16．4 　点拨：如图，在AB上截取AE′＝AE＝4，连接CE′，CE′与AD交于点M，易知此时EM＋CM的值最小，即为线段CE′的长度．过点C作CF⊥AB，垂足为F.
INCLUDEPICTURE"QB24.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\QB24.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\QB24.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\22春\\福建\\8BS\\QB24.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第16题)
∵△ABC是等边三角形，
∴AF＝AB＝6，
∴CF＝＝6 ，
E′F＝AF－AE′＝2，
∴CE′＝＝4 .
三、17.解：如图，△PBD为所求作的三角形．
INCLUDEPICTURE"QR11.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\QR11.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\QR11.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\22春\\福建\\8BS\\QR11.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第17题)
18．(1)证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
(2)解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝2.
∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3.
19．(1)证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵BE，CD是两条高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，
∴△BDC≌△CEB(AAS)．
∴∠DBC＝∠ECB.
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
(2)解：点O在∠BAC的平分线上．
理由：∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.
∵OB＝OC，∴OD＝OE.
又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，
∴点O在∠BAC的平分线上．
20．解：(1)如图①所示．
INCLUDEPICTURE"X258.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\X258.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\8BS福建\\X258.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\22春\\福建\\8BS\\X258.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
(2)如图②所示．
21．解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直．
理由：∵点Q到达点C时，BQ＝BC＝6 cm，
∴t＝＝3.
∴AP＝3 cm.
∴BP＝AB－AP＝3 cm＝AP.
∴点P为AB的中点．
∴PQ⊥AB.
(2)能．
∵∠B＝60°，
∴当BP＝BQ时，△BPQ为等边三角形．
∴6－t＝2t，解得t＝2.
∴当t＝2时，△BPQ是等边三角形．
22．解：(1)若∠A为顶角，
则∠B＝(180°－80°)÷2＝50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，
则∠B＝180°－2×80°＝20°；
若∠A为底角，∠B为底角，
则∠B＝80°.
故∠B为50°或20°或80°.
(2)分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个．
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝°；
若∠A为底角，∠B为顶角，
则∠B＝(180－2x)°；
若∠A为底角，∠B为底角，
则∠B＝x°.
当≠180－2x
且180－2x≠x
且≠x，即x≠60时，
∠B有三个不同的度数．
综上所述，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．