第一章 集合与常用逻辑用语 第二章 一元二次函数、方程和不等式-高中数学人教A版（2019）必修第一册测评卷

第一章　集合与常用逻辑用语
第二章　一元二次函数、方程和不等式
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　
1已知集合A={-1,0,1},集合B={x∈N|x2=1},那么A∩B= (　　)
A.{1}　　　　　　　B.{0,1}
C.{-1,1}　　　　　　　D.{-1,0,1}
2.已知p:a≥0;q: x∈R,x2-ax+a>0,则p是q的 (　　)
A.充分不必要条件　　　　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件
3.已知实数a,b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是 (　　)
A.>　　　　　　 　B.a2>b2
C.b-a>0　　　　　　　D.|b|a<|a|b
4.已知集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|x-a>0},若B A,则实数a的取值范围为 (　　)
A.a≥2　　　　　　　B.a>2
C.a≥4　　　　　　　D.a>4
5.已知命题“ x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是 (　　)
A.-3≤a≤1　　　　　　　B.-3C.a≤-1或a≥3　　　　　　　D.-16.已知a>0,b>0,且2a+=1,则+b的最小值为 (　　)
A.2　　　　　　　B.3
C.8　　　　　　　 D.9
7.关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:①x=1是该方程的根;②x=3是该方程的根;③该方程两根之和为2;④该方程两根异号.如果只有一个是假命题,则该命题是 (　　)
A.①　　　　　　　B.②
C.③　　　　　　　D.④
8.已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1A.x1+x2=2　　　　　　　B.x1x2<-3
C.x2-x1>4　　　　　　　D.-1二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9. 下列结论正确的有 (　　)
A.若命题p: x∈R,x2+x+1<0,则 p: x∈R,x2+x+1≥0
B.不等式x2-4x+5>0的解集为R
C.“x>1”是“(x-1)(x+2)>0”的充分不必要条件
D. x∈R,=x
10.下列不等式中一定成立的是 (　　)
A.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R)
B.x2+3>2x(x∈R)
C.y=x2+≥2+1
D.a2+b2≥2(a-b-1)
11.设全集U={x|x>0},集合M={x|y=},N={y|y=x2+2},则下列结论正确的是 (　　)
A.M∩N={x|x>2}
B.M∪N={x|x>1}
C.( UM)∪( UN)={x|0D.( UM)∩( UN)={x|012.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式成立的是 (　　)
A.≤2 B.a2+b2≥8 C.+≥1 D.0<≤
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则实数k的取值范围为　　　　　　　.
14.若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素,且互不为对方的子集,则称两个集合构成“蚕食”.已知集合A={-1,2},B={x|ax2=2,a≥0},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a的取值集合为　　　　.
15.若关于x的不等式ax2>-ax-1对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是　　　　.
16.已知正数x,y满足2x+y=xy+a,当a=0时,x+y的最小值为　　　　;当a=-2时,x+y的最小值为　　　　.(第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知集合A={x|a(1)若a=1,求A∪B;
(2)在①A∪B=B,②( RB)∩A= ,③B∪( RA)=R这三个条件中任选一个作为已知条件,求实数a的取值范围.(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分)
18.(12分)已知命题p:“ x∈R,使不等式x2-2x-m≤0成立”是假命题.
(1)求实数m的取值集合A;
(2)若q:-419.(12分)已知x>y>0,z>0,求证:
(1)<;
(2)(x+y)(x+z)(y+z)>8xyz.
20.(12分)(1)若关于x的不等式ax2-3x+2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b},求a,b的值;
(2)解关于x的不等式ax2-3x+2>5-ax(a∈R).
21.(12分)国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》,规定46个城市在2020年年底实施生活垃圾强制分类,垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年年底,这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为70吨,最多为100吨.日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.
(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低 此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态
(2)为了使该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方案共有两种:
①每日进行定额财政补贴,金额为2 300元;
②根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x.
如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案 为什么
22.(12分)已知关于x的不等式(k2-2k-3)x2+(k+1)x+1>0(k∈R)的解集为M.
(1)若M=R,求k的取值范围;
(2)若存在两个不相等的负实数a、b,使得M={x|xb},求实数k的取值范围;
(3)是否存在实数k,满足“对于任意n∈N*,都有n∈M,对于任意的负整数m,都有m M” 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
参考答案
1.A　由题意,集合A={-1,0,1},B={x∈N|x2=1}={1},所以A∩B={1}.
故选A.
2.B　∵q: x∈R,x2-ax+a>0,
∴Δ=(-a)2-4a<0,解得0设A={a|a≥0},B={a|0∵B A,∴p是q的必要不充分条件.
故选B.
3.A　对于选项A,由题中数轴可得b,A正确;
对于选项B,∵b对于选项C,∵b对于选项D,∵b<0,a<0,∴|b|a=-ab,|a|b=-ab,即|b|a=|a|b,D错误.
故选A.
4.A　易得A={x|x>2或x<-4},因为B={x|x>a},所以若B A,则a≥2.
故选A.
5.D　∵命题“ x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,
∴2x2+(a-1)x+>0对x∈R恒成立,即方程2x2+(a-1)x+=0无实根,
∴Δ=(a-1)2-4×2×<0,解得-1故选D.
6.D　+b==5++2ab≥5+2=9,
当且仅当即时取等号,
∴+b的最小值为9.
故选D.
7.A　若①是假命题,则②③④是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一根为3,由于两根之和为2,则该方程的另一根为-1,两根异号,符合题意;
若②是假命题,则①③④是真命题,则x=1是方程x2+ax+b=0的一个根,由于两根之和为2,则另一个根也为1,两根同号,不符合题意;
若③是假命题,则①②④是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根同号,不符合题意;
若④是假命题,则①②③是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根之和为4,不符合题意.
综上所述,命题①为假命题.
故选A.
8.D　由不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1可知a<0,且a(x+1)(x-3)+1=0(a≠0)的两根为x1、x2,
不妨设y=a(x+1)(x-3)(a≠0),则y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的图象与直线y=-1的交点的横坐标为
x1、x2,
由图易得x1<-1,x2>3,因此D中结论一定错误.
故选D.
9.ABC　易知选项A正确;
对于选项B,x2-4x+5=(x-2)2+1>0的解集为R,故正确;
对于选项C,解不等式(x-1)(x+2)>0,得x<-2或x>1,
设A={x|x>1},B={x|x<-2或x>1},则A B,
∴“x>1”是“(x-1)(x+2)>0”的充分不必要条件,故正确;
对于选项D,=|x|,若x<0,则≠x,故错误.
故选ABC.
10.BD　∵a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),(a-b)2≥0,a+b的符号不定,∴a3+b3与a2b+ab2的大小关系不确定,A错误;
∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,
∴x2+3>2x,B正确;
y=x2+=x2-1++1,当x2-1<0时,y<0,C错误;
a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,故a2+b2≥2(a-b-1),D正确.
故选BD.
11.CD　∵M={x|y=}={x|x≥1},N={y|y=x2+2}={y|y≥2},
∴M∩N={x|x≥2},M∪N={x|x≥1},故A,B均不正确;
易得 UM={x|0∴( UM)∪( UN)={x|0故选CD.
12.ABC　对于选项A,由基本不等式可得≤=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,A正确;
对于选项B,2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=16,∴a2+b2≥8,当且仅当a=b=2时,等号成立,B正确;
对于选项C,+==≥=1,当且仅当a=b=2时,等号成立,C正确;
对于选项D,由A可知≤2,即0故选ABC.
13.答案　-5≤k<3或4解析　由不等式x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,
解方程2x2+(2k+7)x+7k=0,得x1=-,x2=-k,
当-k<-,即k>时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为,
若不等式组只有一个整数解,则-5≤-k<-4,解得4当-k>-,即k<时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为,
若不等式组只有一个整数解,则-3<-k≤5,解得-5≤k<3.
综上可得,实数k的取值范围是-5≤k<3或414.答案　
解析　当a=0时,B= ,此时B A,满足题意;
当a>0时,B=,则集合A,B只能构成“蚕食”,
所以-=-1或=2,
解得a=2或a=.
故a的取值集合为.
15.答案　0≤a<4
解析　当a=0时,不等式ax2>-ax-1即0>-1,对任意实数x都成立,符合题意;
当a≠0时,关于x的不等式ax2>-ax-1,即ax2+ax+1>0对任意实数x都成立,
等价于解得0综上所述,a的取值范围为0≤a<4.
16.答案　3+2;7
解析　当a=0时,2x+y=xy,则+=1,
∴x+y=(x+y)·=3++≥3+2=3+2,当且仅当x=1+,y=2+时等号成立,
故此时x+y的最小值为3+2.
当a=-2时,2x+y=xy-2,若x=1,则等式不成立,故x≠1,则y=>0,
∴x>1,x+y=x+=x+2+=x-1++3≥2+3=4+3=7,当且仅当x=3时取等号,
此时x+y的最小值为7.
17.解析　(1)由题意得A={x|1∴A∪B={x|-2≤x≤0或1(2)选①.
∵A∪B=B,∴A B, (6分)
由(1)知B={x|-2≤x≤0},∴ (8分)
解得-2≤a≤-1. (9分)
∴实数a的取值范围为{a|-2≤a≤-1}. (10分)
选②.
∵( RB)∩A= ,∴A B, (6分)
由(1)知B={x|-2≤x≤0},∴ (8分)
解得-2≤a≤-1. (9分)
∴实数a的取值范围为{a|-2≤a≤-1}. (10分)
选③.
∵B∪( RA)=R,∴A B, (6分)
由(1)知B={x|-2≤x≤0},∴ (8分)
解得-2≤a≤-1. (9分)
∴实数a的取值范围为{a|-2≤a≤-1}. (10分)
18.解析　(1)∵命题p:“ x∈R,使不等式x2-2x-m≤0成立”是假命题,
∴ p:“ x∈R,不等式x2-2x-m>0恒成立”是真命题, (1分)
∴方程x2-2x-m=0无实根, (3分)
∴Δ=4+4m<0,解得m<-1, (5分)
即实数m的取值集合A={m|m<-1}. (6分)
(2)∵-4∴q:a-4由(1)可知 p:m<-1,若q:a-4则4+a≤-1,解得a≤-5. (11分)
故实数a的取值范围是{a|a≤-5}. (12分)
19.证明　(1)因为x>y>0,所以xy>0,>0, (2分)
于是x·>y·,即>, (4分)
由z>0,得<. (6分)
(2)因为x>0,y>0,z>0,所以x+y≥2,x+z≥2,y+z≥2, (9分)
所以(x+y)(x+z)(y+z)≥2×2×2=8xyz, (10分)
当且仅当x=y=z时,等号同时成立, (11分)
又x>y,所以(x+y)(x+z)(y+z)>8xyz. (12分)
20.解析　(1)∵不等式ax2-3x+2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b},
∴a>0,且1,b是一元二次方程ax2-3x+2=0的两个实数根, (2分)
∴ 解得 (5分)
(2)不等式ax2-3x+2>5-ax等价于ax2+(a-3)x-3>0,即(ax-3)(x+1)>0. (6分)
当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}; (7分)
当a≠0时,方程(ax-3)(x+1)=0的两根为x1=-1,x2=,当a>0时,原不等式的解集为, (8分)
当a<0时,①若>-1,即a<-3,则原不等式的解集为, (9分)
②若<-1,即-3③若=-1,即a=-3,则原不等式的解集为 . (11分)
综上所述,当a>0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1};当-3解析　(1)由题意可知,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为=++40,x∈[70,100].
(2分)
又++40≥2+40=2×40+40=120,当且仅当=,即x=80时,等号成立, (3分)
所以该企业日加工处理量为80吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.(4分)
因为100<120,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态. (5分)
(2)若该企业采用第一种补贴方案,设该企业每日获利为y1元,由题可得
y1=100x-+2 300=-x2+60x-900=-(x-60)2+900. (7分)
因为x∈[70,100],所以当x=70时,企业获利最大,最大利润为850元. (8分)
若该企业采用第二种补贴方案,设该企业每日获利为y2元,由题可得
y2=130x-=-x2+90x-3 200=-(x-90)2+850. (10分)
因为x∈[70,100],所以当x=90时, 企业获利最大,最大利润为850元. (11分)
答案示例1:因为两种方案所获最大利润相同,所以选择两种方案均可. (12分)
答案示例2:因为两种方案所获最大利润相同,但第一种补贴方案只需要企业日加工处理量为70吨即可获得最大利润,所以选择第一种补贴方案. (12分)
答案示例3:因为两种方案所获最大利润相同,但第二种补贴方案能够为社会做出更大的贡献,所以选择第二种补贴方案. (12分)
22.解析　(1)当k2-2k-3=0时,k=-1或k=3,
若k=-1,则原不等式化为1>0,恒成立,满足题意,
若k=3,则原不等式化为4x+1>0,解得x>-,不满足题意,舍去. (2分)
当k2-2k-3≠0时,
则
解得k>或k<-1.
综上可知,k的取值范围为k≤-1或k>. (4分)
(2)根据不等式解集的形式可知k2-2k-3>0,解得k>3或k<-1.
∵不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根,
∴(k2-2k-3)x2+(k+1)x+1=0(k∈R)有两个不相等的负实数根, (6分)
∴解得3∴k的取值范围为3(3)存在.根据题意可得M={x|x>t},-1≤t<1,
当k2-2k-3=0时,解得k=3或k=-1,
若k=-1,则原不等式为1>0,恒成立,不满足条件,
若k=3,则原不等式的解集是,满足条件; (10分)
当k2-2k-3>0时,此一元二次不等式的解集形式不是{x|x>t}的形式,不满足条件;
当k2-2k-3<0时,此一元二次不等式的解集形式不是{x|x>t}的形式,不满足条件.
综上,满足条件的k的值为3. (12分)