(共20张PPT)
5.3.2 函数的极值
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
问题：
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
新知讲解
函数的极值
观察图5.3-9，
当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.
那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？
此点附近的图象有什么特点？
相应地，导数的正负性有什么变化规律？
放大t=a附近的函数 h(t)的图象，如图5.3-10.可以看出，；在t=a的附近，
当t
当t>a时，函数 h(t)单调递减，.
在 t=a 附近，函数值先增后减. 这样当 t 在 a 的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有.
新知讲解
函数的极值
探究
如图5.3-11，
函数 y=f(x) 在 x=a, b, c, d, e 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 ？
y=f(x) 在这些点的导数值是多少？
在这些点附近，y=f(x) 的导数的正负性有什么规律？
新知讲解
函数的极值
函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小，；而且在点 x=a 附近的左侧，右侧.
把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
新知讲解
函数的极值
函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大，；而且在点x=b附近的左侧，右侧.
把 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值.
合作探究
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
函数的极值
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质
思考： 极大值一定大于极小值吗？
合作探究
例5 求函数的极值.
解：
因为
所以 .
令，解得 x=-2，或 x=2.
当 x 变化时，， f(x)的变化情况如下表所示.
x -2 (-2,2) 2
+ 0 - 0 +
f (x) 单调递增 单调递减 单调递增
因此，
当 x=-2 时， f(x)有极大值，并且极大值为
当 x=2 时， f(x)有极小值，并且极小值为
合作探究
函数的图象如图5.3-12所示.
合作探究
思考
导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
提示：
导数值为 0 的点不一定是函数的极值点
例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有，即函数 是增函数，所以0不是函数 的极值点
一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.
合作探究
一般地，可按如下方法求函数 y=f(x)的极值：
解方程，当 时：
（1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值.
1判断正误.
课堂练习
(1) 函数的极大值一定比极小值大．( )
(2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．( )
(3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )
(4) 单调函数不存在极值．( )
×
×
√
√
课堂练习
2 已知定义在R上的函数f(x)恰有3个极值点，则 f(x)的导函数的图象可能为（ ）
解：
对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右两边的导数值异号.
故A与C对应的函数 f(x)只有2个极值点；
B对应的函数 f(x)有4个极值点；
D对应的函数 f(x)有3个极值点.
D
课堂练习
3 已知函数的图象如图所示，则有（ ）
A．b>0, c>0 B. b<0, c>0
C. b>0, c<0 D. b<0, c<0
解：
A
由函数 f(x)的图象知 f(x)先递减，再递增，再递减， f(0)=0，可知d=0，
∴ f′(x)先为负，再变为正，再变为负，
∵
∴ a<0
∵ 0在增区间内，
∴ ,即c>0, ,可知b>0
课堂练习
4 求函数的极值.
解：
∵
令，即
解得
当 x 变化时， 的变化情况如下表
x -1 (-1,3) 3
+ 0 - 0 +
y 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∴ 当 x=-1时，函数 y=f(x) 有极大值，且 f(-1)=10；
当 x=3 时，函数 y=f(x) 有极小值，且 f(3)=-22.
课堂总结
函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
板书设计
1 函数的极值
2 例题
3 课堂练习
作业布置
课本97页习题5.3
（4、5）
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5.3.2函数的极值教学设计
课题 函数的极值 单元 第二单元 学科 数学 年级 高二
教材分析 《函数的极值》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容。本节课的主要内容是利用导数研究函数的极值。 学生已经学习了导数概念，导数几何意义，导数计算，函数单调性等知识，对函数单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具备一定的储备。函数极值与最值是函数的一个中心性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用。 本节课主要学习函数极值的概念和极值的求法，以及求极值与导数的关系，关键是函数极值的判断方法和求函数极值的步骤，理解它关键是要掌握函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 求函数极值的方法 2逻辑推理： 导数值为零与函数极值d 关系 3数学运算： 运用导数求函数极值 4数学建模： 函数极值 5直观想象： 导数与极值的关系 6数据分析： 通过 “函数极值的概念—函数极值与导数的关系—求函数极值的方法与步骤—例题讲解—练习巩固”的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 求函数极值
难点 函数极值与导数的关系
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题： 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 问题引入 创设问题情景，为引出函数的极值做铺垫
讲授新课 1函数的极值 观察图5.3-9，我们发现，当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？ 放大t=a附近的函数 h(t)的图象，如图5.3-10.可以看出，；在t=a的附近， 当ta时，函数 h(t)单调递减，. 这就是说，在t=a附近，函数值先增（当ta时，）.这样当t在a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有. 对于一般的函数y=f(x),是否也有同样的性质呢？ 探究 如图5.3-11， 函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律？ 以 x=a, b两点为例，可以发现，函数 y=f(x)在点 x=a的函数值 f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，；而且在点x=a附近的左侧，右侧. 类似地， 函数 y=f(x)在点 x=b的函数值 f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，；而且在点x=b附近的左侧，右侧. 我们把a叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；b叫做函数 y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 例5 求函数的极值. 解：因为 ，所以 . 令，解得 x=-2，或x=2. 当x变化时，， f(x)的变化情况如下表所示. x-2(-2,2)2+0-0+f(x)单调递增单调递减单调递增
因此， 当x=-2时， f(x)有极大值，并且极大值为 当x=2时， f(x)有极小值，并且极小值为 函数的图象如图5.3-12所示. 思考 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有，即函数 是增函数，所以0不是函数 的极值点.一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件. 一般地，可按如下方法求函数 y=f(x)的极值： 解方程，当 时： （1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值. 课堂练习： 1判断正误． (1)函数的极大值一定比极小值大．( ) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．( ) (3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) (4)单调函数不存在极值．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4) √ 2已知定义在R上的函数f(x)恰有3个极值点，则 f(x)的导函数的图象可能为（） 答案：D 解：对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右两边的导数值异号. 故A与C对应的函数 f(x)只有2个极值点； B对应的函数 f(x)有4个极值点； D对应的函数 f(x)有3个极值点. 3 已知函数的图象如图所示，则有（） A．b>0, c>0 B. b<0, c>0 C. b>0, c<0 D. b<0, c<0 答案：A 解： 由函数 f(x)的图象知 f(x)先递减，再递增，再递减， f(0)=0，可知d=0， ∴ f′(x)先为负，再变为正，再变为负， ∵ ∴ a<0 ∵ 0在增区间内， ∴ ,即c>0, ,可知b>0, 故选A. 4 求函数的极值. 解：∵ 令，即 解得 当x变化时， 的变化情况如下表 x-1(-1,3)3+0-0+y单调递增极大值单调递减极小值单调递增
∴ 当x=-1时，函数y=f(x)有极大值，且 f(-1)=10； 当x=3时，函数y=f(x)有极小值，且 f(3)=-22. 极大值一定大于极小值吗？ 引导学生探究运用导数研究函数的极值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养。 通过特例，让学生体会导数与函数极值之间的关系。 例题巩固 求极值的一般步骤 练习巩固
课堂小结 函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
板书 1函数的极值 2例题 3课堂练习
教学反思
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