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5.3.2 函数的最大（小）值
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
问题：求函数极值的一般方法是？
提示：
解方程，当 时：
（1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值.
新知讲解
函数的最大（小）值
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.
如果是函数 y=f(x)的极大（小）值点，那么在附近找不到比更大（小）的值.
但是在解决实际问题或研究函数的性质时，往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.
如果在某个区间上函数 y=f(x) 的最大（小）值点，那么不小（大）于函数 y=f(x)在此区间上的所有函数值
新知讲解
函数的最大（小）值
上图是函数 y=f(x)，的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？
提示：观察图象，可以发现，
是函数 y=f(x)的极小值，
是函数 y=f(x)的极大值.
新知讲解
函数的最大（小）值
探究
你能找出函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最小值，最大值吗？
提示：
从图可以看出 ，函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最小值是 ，最大值是 f(a).
合作探究
函数的最大（小）值
观察[a, b]上的函数 y=f(x)和 g=f(x)的图象，
它们在[a, b]上有最小值，最大值吗？
如果有，最大值和最小值分别是什么？
合作探究
函数的最大（小）值
一般地，如果在区间[a, b]上的函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
结合上面两图 ，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
合作探究
例6 求函数在区间[0,3]上的最大值与最小值.
解：
由例5可知，在[0,3]上，
当x=2时，函数有极小值，并且极小值为 .
又由于f(0)=4， f(3)=1，
所有，函数在区间[0,3]上的最大值是4，最小值是.
合作探究
例6中的结论可以从函数在区间[0,3]上的图象（左图）得到直观验证.
合作探究
规律方法
一般地，求函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数 y=f(x)在区间（a, b）上的极值；
（2）将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
合作探究
证明：当x>0时，
证明：
将不等式①转化为
设 ，那么
令，解得 x=1.
合作探究
x (0,1) 1
- 0 +
s(x) 单调递减 0 单调递增
当x变化时，的变化情况如下表所示.
所以，当 x=1时，s(x)取得最小值.所以
即
所以，当 x>0时，
合作探究
例7 给定函数 .
（1）判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
（2）画出函数f(x)的大致图象；
（3）求出方程f(x)=a 的解的个数.
解：
（1）函数的定义域为 .
令 ，解得 x=-2 .
合作探究
x -2
- 0 +
f(x) 单调递减 单调递增
， f(x) 的变化情况如下表所示.
所以， f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当 x=-2时， f(x)有极小值 .
合作探究
例7 给定函数 .
（2）画出函数f(x)的大致图象；
解：
（2）令 f(x)=0，解得 x=-1 .
当x<-1时， f(x)<0；
当 x>-1时， f(x)>0.
所以， f(x)的图象经过特殊点
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，
从而；
当时， , .
根据以上信息，我们画出 f(x)的大致图象如图所示.
合作探究
例7 给定函数 .
（3）求出方程f(x)=a 的解的个数.
（3）方程f(x)=a 的解的个数为函数
y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数.
由（1）及右图可得，
当 x=-2时， f(x)有最小值 .
所以，关于方程 f(x)=a 的解的个数有如下结论：
当时，解为0个；
当 或 时，解为1个；
当时，解为2个.
解：
合作探究
通常，可以按如下步骤画出函数 f(x)的大致图象：
（1）求出函数 f(x)的定义域；
（2）求导数 及函数 的零点；
（3）用 的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
（4）确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出f(x)的大致图象.
规律方法
合作探究
问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
合作探究
例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：
由题意可知，每瓶饮料的利润是
所以，
令 ，解得r=2.
当，；
当 ， .
因此，
当半径r>2时，，f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径r<2时，，f(r)单调递减，即半径越大，利润越低.
如果我们不用导数工具，直接从函数 f(r)的图象（右图）上观察，你有什么发现？
从图象上容易看出，当 r=3时，f(3)=0，即瓶子的半径是3 cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当 r>3时，利润才为正值.
答：（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.
合作探究
课堂练习
1 判断正误
（1）所有的单调函数都有最值.
（2）函数f(x)在区间[a, b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得.
（3）开区间上的单调连续函数无最值.
（4）在定义域内，若函数有最值与极值，则极大（小）值就是最大（小）值.
×
×
×
√
解：
(1)根据题意，函数,在区间上单调，但没有最值，则结论错误.
(2)函数在闭区间[a, b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得.
(3)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确.
(4)函数的最值在函数的极值点或区间端点处取得，故该说法错误.
课堂练习
2 已知二次函数 在 x=1处的导数值为1，则该函数的最大值是多少？
解：
∵
令 x=1 得
解得 a=-2或 a=0（舍）
∴
对称轴为
∴时，有最大值
课堂练习
3 已知某生产厂家的年利润 y (单位：万元)与年产量 x (单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
解：
√
y′＝－x2＋81，令 y′＝0 得 x＝9或 x＝－9(舍去)．
当 x∈(0,9)时，y′＞0，当 x∈(9，＋∞)时，y′＜0，
则当 x＝9时，y 有最大值．
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．
4 已知函数 f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
课堂练习
解：
(1)由 f(x)＝(x－k)ex ，得 f′(x)＝(x－k＋1)ex ，
令f′(x)＝0，得 x＝k－1
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 －ek－1 单调递增
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).
4 已知函数 f(x)＝(x－k)ex.
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
课堂练习
解：
（2）当k－1≤0，即k≤1时，函数 f(x) 在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k－1)＝－ek－1 .
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上可知，
当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1；
当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
课堂总结
函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2) 求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
① 求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
② 将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
板书设计
1 函数的最大（小）值
2 例6、例7、例8
3 课堂练习
作业布置
课本97页习题5.3
（6、8）
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函数的最大（小）值教学设计
课题 函数的最大（小）值 单元 第二单元 学科 数学 年级 高二
教材分析 《函数的最大（小）值》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容。本节课的主要内容是利用导数研究函数的极值。 学生已经学习了导数概念，导数几何意义，导数计算，函数单调性等知识，对函数单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具备一定的储备。函数极值与最值是函数的一个中心性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用。 本节课主要学习函数最大（小）值的概念和求法，以及求函数最大（小）值的步骤，并能灵活应用，解决一下简单的实际问题。
教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 求函数的最大（小）值的方法 2逻辑推理： 函数极值与函数的最大（小）值的关系 3数学运算： 运用导数求函数的最大（小）值 4数学建模： 函数的最大（小）值 5直观想象： 最值与极值的关系 6数据分析：通过 “函数最值的概念—函数最值的求法—求函数最值的步骤—例题讲解—练习巩固”的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 求函数最值的方法及应用
难点 函数的最大（小）值的概念及其与函数极值的区别与联系
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题：求函数极值的一般方法是？ 提示： 解方程，当 时： （1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值. 问题引入 温故而知新
讲授新课 2 函数的最大（小）值 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果是函数 y=f(x)的极大（小）值点，那么在附近找不到比更大（小）的值.但是在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果在某个区间上函数 y=f(x) 的最大（小）值点，那么不小（大）于函数 y=f(x)在此区间上的所有函数值 图5.3-13是函数 y=f(x)，的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ 观察图象，我们发现， 是函数 y=f(x)的极小值， 是函数 y=f(x)的极大值. 探究 进一步地，你能找出函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最小值，最大值吗？ 从图5.3-13可以看出 ，函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最小值是 ，最大值是 f(a). 在图5.3-14、图5.3-15中， 观察[a, b]上的函数 y=f(x)和 g=f(x)的图象，它们在[a, b]上有最小值，最大值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 一般地，如果在区间[a, b]上的函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 结合图5.3-14、图5.3-15，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 例6 求函数在区间[0,3]上的最大值与最小值. 解：由例5可知，在[0,3]上， 当x=2时，函数有极小值，并且极小值为 . 又由于f(0)=4， f(3)=1， 所有，函数在区间[0,3]上的最大值是4，最小值是. 上述结论可以从函数在区间[0,3]上的图象（图5.3-16）得到直观验证. 规律方法 一般地，求函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数 y=f(x)在区间（a, b）上的极值； （2）将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 证明：当x>0时， 证明： 将不等式①转化为 设 ，那么 令，解得x=1. 当x变化时，的变化情况如下表所示. x(0,1)1-0+s(x)单调递减0单调递增
所以，当 x=1时，s(x)取得最小值.所以 即 所以，当x>0时， 下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关的问题. 例7 给定函数 . （1）判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； （2）画出函数f(x)的大致图象； （3）求出方程f(x)=a 的解的个数. 解：（1）函数的定义域为 . 令 ，解得x=-2 . ， f(x) 的变化情况如下表所示. x-2-0+f(x)单调递减单调递增
所以， f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增. 当x=-2时， f(x)有极小值 . （2）令 f(x)=0，解得 x=-1 . 当x<-1时， f(x)<0；当x>-1时， f(x)>0. 所以， f(x)的图象经过特殊点 . 当时，与一次函数相比， 指数函数呈爆炸性增长， 从而； 当时， , . 根据以上信息，我们画出 f(x)的大致图象如图5.3-17所示. （3）方程f(x)=a 的解的个数为函数 y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数. 由（1）及图5.3-17可得，当 x=-2时， f(x)有最小值 . 所以，关于方程f(x)=a 的解的个数有如下结论： 当时，解为0个； 当 或 时，解为1个； 当时，解为2个. 由例7可见，函数 f(x)的图象直观地反映了函数 f(x)的性质. 通常，可以按如下步骤画出函数 f(x)的大致图象： （1）求出函数 f(x)的定义域； （2）求导数 及函数的零点； （3）用 的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； （4）确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出f(x)的大致图象. 下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用. 问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm. （1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由题意可知，每瓶饮料的利润是 所以， 令 ，解得r=2. 当，； 当， . 因此， 当半径r>2时，，f(r)单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径r<2时，，f(r)单调递减，即半径越大，利润越低. （1）半径为6 cm时，利润最大. （2）半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值. 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数 f(r)的图象（图5.3-18）上观察，你有什么发现？ 从图象上容易看出，当 r=3时，f(3)=0，即瓶子的半径是3 cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当 r>3时，利润才为正值. 当 时， f(r)是减函数，你能解释它的实际意义吗？ 通过此问题的解决，我们很容易回答开始时的问题.请同学们自己作出回答. 课堂练习： 1判断正误 （1）所有的单调函数都有最值. （2）函数f(x)在区间[a, b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得. （3）开区间上的单调连续函数无最值. （4）在定义域内，若函数有最值与极值，则极大（小）值就是最大（小）值. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 解(1)根据题意，函数,在区间上单调，但没有最值，则结论错误. (2)函数在闭区间[a, b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得. (3)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确. (4)函数的最值在函数的极值点或区间端点处取得，故该说法错误. 2已知二次函数 在x=1处的导数值为1，则该函数的最大值是多少？ 解：∵ 令 x=1 得 解得 a=-2或 a=0（舍） ∴ 对称轴为 ∴ 时，有最大值 3 已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 答案：C 解： y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)． 当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0， 则当x＝9时，y有最大值． 即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件． 4 已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 解: (1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex， 令f′(x)＝0，得x＝k－1 f(x)与f′(x)的变化情况如下： x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减－ek－1单调递增
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞). (2) 当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k， 当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1. 当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 综上可知， 当k≤1时，f(x)min＝－k； 当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1； 当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e. 提出问题，引导学生运用导数研究函数的最值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养。 通过特例，让学生体会函数极值与最值之间的关系。 例题巩固 求函数在某区间上最值的一般步骤 运用导数及最值知识解决实际问题。 练习巩固
课堂小结 函数的最值与导数的关系 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
板书 1 函数的最大（小）值 2 例6、例7、例8 3 课堂练习
教学反思
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