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5.3.1 函数的单调性
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢 ？
本节我们就来讨论这个问题.
新知导入
问题： 判断函数单调性的方法有哪些？
1 定义法
答：
2 图象法
3 性质法 （增+增→增，减+减→减，复合函数单调性“同增异减”等）
4 导数法
新知讲解
思考
图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度 h 随时间 t 变化的函数
图（2）是跳水运动员的速度 v 随时间t 变化的函数
, b 是函数h(t)的零点.
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
如何从数学上刻画这种区别？
新知讲解
观察图象可以发现：
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t) 单调递增. 相应地，
（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t) 单调递减. 相应地， .
思考
从以上观察中发现，函数h(t) 单调性与的正负有内在联系.
那么，我们能否由的正负来判断函数 h(t)的单调性呢？
新知讲解
对于高台跳水问题，可以发现：
当，函数 h(t)的图象是“上升”的，函数 h(t)在(0,a)上单调递增；
当，函数 h(t)的图象是“下降”的，函数 h(t)在(a,b)上单调递减.
合作探究
观察下面一些函数的图象（5.3-2），探讨函数的单调性与导数的正负关系.
合作探究
如图，导数 表示函数y=f(x)的图象在点 处的切线的斜率.
可以发现：
在 处，，切线是“左下右上”的上升式，函数 f(x)的图象也是上升的，函数 f(x)在 附近单调递增
在 处，，切线是“左上右下”的下降式，函数 f(x)的图象也是下降的，函数 f(x)在 附近单调递减
合作探究
结论：
一般地，函数 f(x)的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：
在某个区间（a, b）上，如果，那么函数y=f(x)在区间（a, b）上单调递增；
在某个区间（a, b）上，如果，那么函数y=f(x)在区间（a, b）上单调递减.
合作探究
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1）
（2）
（3）
解：
（1）因为 ，所以
所以，函数 在R上单调递增，如图（1）所示.
合作探究
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（2）
（3）
解：
（2）因为 ，所以
所以，函数 上单调递减，如图（2）所示.
合作探究
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（3）
解：
（3）因为
所以
所以，函数 上单调递增，如图（3）所示.
合作探究
例2 已知导函数的下列信息：
当14时，
当x=1,或 x=4时，. 试画出函数f(x)图象的大致形状.
解：
当1当x<1, 或x>4时，，
可知f(x)在区间（，1）和（4，+）上都单调递减；
当x=1,或 x=4时，，这两点比较特殊，
我们称它们为“临界点”.
综上，函数f(x)图象的大致形状如图5.3-5所示
合作探究
例3 求函数 的单调区间.
解：
函数 的定义域为R. 对 f(x)求导数，得
令，解得 x=-1, 或 x=2
下面利用导数来研究形如 函数的单调性.
合作探究
x -1 (-1,2) 2
+ 0 - 0 +
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
x=-1和 x=2把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及 f(x)的单调性如下表所示.
所以， f(x)在（，-1）和（2，+）上都单调递增，在（-1，2）上单调递减，如图5.3-6所示.
合作探究
规律方法：一般情况下，通过如下步骤判断函数 y=f(x)的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数的零点；
第3步，用的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数 y=f(x)在定义域内的单调性.
合作探究
探究
研究对数函数 与幂函数 在（0，+）上增长快慢的情况.
合作探究
对数函数 的导数 ,所以 在区间上单调递增. 当x越来越大时，越来越小，所以函数 递增的越来越慢，图象上升得越来越“平缓”（如图5.3-7（1））.
幂函数 的导数为 ，所以 在区间上单调递增.当x越来越大时， 越来越大，函数 递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”（如图5.3-7（2））.
合作探究
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，
那么函数在这个范围内变化得较快，
这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；
反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
合作探究
例4 设 x>0, ， ，
两个函数的图象如图5.3-8所示.
判断 f(x),g(x)的图象与之间的对应关系.
解：
因为 ， 所以
当x=1时， ;
当0当x>1时， .
所以，f(x), g(x)在上都是增函数.
在区间（0，1）上， g(x)的图象比 f(x)的图象要“陡峭”；
在区间上， g(x)的图象比 f(x)的图象要“平缓”.
所以， f(x), g(x)的图象依次是图5.3-8中的 .
课堂练习
1 如图所示是函数f (x)的导函数f ′(x) 的图象，则下列判断中正确的是( )
A．函数f (x)在区间(－3,0)上是减函数
B．函数f (x)在区间(1,3)上是减函数
C．函数f (x)在区间(0,2)上是减函数
D．函数f (x)在区间(3,4)上是增函数
解
当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．
A
课堂练习
2 利用函数的单调性（利用导数），
证明不等式
分析：
构造函数 ，利用导数分析函数的单调性，找出最值即可证出.
证明：
设函数 ，
∴
令 得，x=0
列表：
∴ 当x=0时，h(x)取最小值，h(x)min= h(0)=0
∴ 当时，恒有h(x)>0，
即
x 0
- 0 +
h(x) 递减 h(0)=0 递增
课堂练习
3 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
解：
A．f(b)＞f(c)＞f(d) B．f(b)＞f(a)＞f(e)
C．f(c)＞f(b)＞f(a) D．f(c)＞f(e)＞f(d)
C
依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，
因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，
由a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)．因此C正确．
课堂练习
4 函数 在[1,2]上是增函数，求a的范围（用导数的方法）
分析：
求函数的导数，利用导数 恒成立，利用参数分类法进行求解即可.
解：
函数的导数 ,
若函数 在[1,2]上是增函数,
则 恒成立，即
即
若 ，则不等式等价为，不等式成立，
若，则 ，
则不等式等价为，此时，
即
，即
若，则 ，
则不等式等价为 ，
此时，即，则
综上，
课堂总结
1 原函数的单调性与导函数的正负之间的关系
正负 f(x)的单调性
单调递增
单调递减
2 例题
3 导数与函数图象的关系
4 练习
板书设计
1 原函数的单调性与导函数的正负之间的关系
2 例题
3 导数与函数图象的关系
4 例题
5 练习
作业布置
课本97页习题5.3
（1、2）
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5.3.1函数的单调性教学设计
课题 函数的单调性 单元 第二单元 学科 数学 年级 高二
教材分析 《函数的单调性》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容。本节课的主要内容是利用导数研究函数的单调性。 单调性是函数的重要性质，反映了函数的变化趋势，高一时我们已经学习了通过图象和定义判断函数单调性，但是大多数函数的图象不容易做，对于含字母的代数式来说，定义法通常比较麻烦，有时甚至比较困难，因此这两种方法都有其局限性。通过前面的学习，我们知道，导数是关于瞬时变化率的数学表达，定量地刻画了函数的局部变化，因此，可以利用导数精确地研究函数的性质。 利用导数研究函数的单调性是导数的一个重要应用，同时，也为后面学习函数的极值奠定基础，因此，本节课具有承上启下的作用。
教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 导数正负与函数单调性的关系 2逻辑推理： 运用导数正负判断函数的单调性 3数学运算： 函数单调区间的求解 4数学建模： 函数单调性与导数正负之间的关系 5直观想象： 导数与函数单调性的关系 6数据分析：通过 “导数的正负判断函数的单调性—例题讲解—练习巩固”的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。帮助学生形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。
重点 理解函数单调性与导数正负之间的关系
难点 运用导数判断函数的单调性
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题. 复习引入 问题引入 温故而知新，提出问题，引导学生运用导数研究函数的单调性。
讲授新课 问题： 判断函数单调性的方法有哪些？ 1定义法 2图象法+ 3 性质法：（增+增→增，减+减→减，复合函数单调性“同增异减”等） 4 导数法 思考 图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数 的图象，图（2）是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数 的图象. ,b 是函数h(t)的零点. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 观察图象可以发现： （1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t) 单调递增. 相应地， （2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t) 单调递减. 相应地， . 思考 我们看到，函数h(t) 单调性与的正负有内在联系.那么，我们能否由的正负来判断函数 h(t)的单调性呢？ 对于高台跳水问题，可以发现： 当，函数 h(t)的图象是“上升”的，函数 h(t)在(0,a)上单调递增； 当，函数 h(t)的图象是“下降”的，函数 h(t)在(a,b)上单调递减. 这种情况是否具有一般性呢？ 观察 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负关系. 如图 导数 表示函数y=f(x)的图象在点 处的切线的斜率. 可以发现： 在 处，，切线是“左下右上”的上升式，函数 f(x)的图象也是上升的，函数 f(x)在 附近单调递增； 在 处，，切线是“左上右下”的下降式，函数 f(x)的图象也是下降的，函数 f(x)在 附近单调递减. 一般地，函数 f(x)的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间（a, b）上，如果，那么函数y=f(x)在区间（a, b）上单调递增； 在某个区间（a, b）上，如果，那么函数y=f(x)在区间（a, b）上单调递减. 例1 利用导数判断下列函数的单调性： （1） （2） （3） 解： （1）因为 ，所以 所以，函数 在R上单调递增，如图（1）所示. （2）因为 ，所以 所以，函数 上单调递减，如图（2）所示. （3）因为 所以 所以，函数 上单调递增，如图（3）所示. 例2 已知导函数的下列信息： 当14时， 当x=1,或 x=4时， 试画出函数f(x)图象的大致形状. 解： 当14时，，可知f(x)在区间（，1）和（4，+）上都单调递减； 当x=1,或 x=4时，，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”. 综上，函数f(x)图象的大致形状如图5.3-5所示. 下面利用导数来研究形如 的函数的单调性. 例3 求函数 的单调区间. 解： 函数 的定义域为R. 对 f(x)求导数，得 令，解得 x=-1, 或 x=2 x=-1和 x=2把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及 f(x)的单调性如下表所示. x-1(-1,2)2+0-0+f(x)单调递增单调递减单调递增
所以， f(x)在（，-1）和（2，+）上都单调递增，在（-1，2）上单调递减，如图5.3-6所示. 规律方法一般情况下，通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数 y=f(x)在定义域内的单调性. 探究 研究对数函数 与幂函数 在（0，+）上增长快慢的情况. 对数函数 的导数 ,所以 在区间上单调递增. 当x越来越大时，越来越小，所以函数 递增的越来越慢，图象上升得越来越“平缓”（如图5.3-7（1））. 幂函数 的导数为 ，所以 在区间上单调递增.当x越来越大时， 越来越大，函数 递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”（如图5.3-7（2））. 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 例4 设 x>0, ， ， 两个函数的图象如图5.3-8所示. 判断f(x),g(x)的图象与之间的对应关系. 解： 因为 ， ，所以 . 当x=1时， ; 当01时， . 所以，f(x), g(x)在上都是增函数. 在区间（0，1）上， g(x)的图象比 f(x)的图象要“陡峭”；在区间上， g(x)的图象比 f(x)的图象要“平缓”. 所以， f(x), g(x)的图象依次是图5.3-8中的 . 课堂练习： 1如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是( ) A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(1,3)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(3,4)上是增函数 答案：A 解：当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确． 2 利用函数的单调性（利用导数）， 证明不等式 分析：构造函数，利用导数分析函数的单调性，找出最值即可证出. 证明： 设函数， ∴ 令 得，x=0 列表： x0-0+h(x)递减h(0)=0递增
∴当x=0时，h(x)取最小值，h(x)min= h(0)=0 ∴ 当时，恒有h(x)>0， 即 3已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) A．f(b)＞f(c)＞f(d) B．f(b)＞f(a)＞f(e) C．f(c)＞f(b)＞f(a) D．f(c)＞f(e)＞f(d) 答案：C 解：依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)．因此C正确． 4函数在[1,2]上是增函数，求a的范围（用导数的方法） 分析：求函数的导数，利用导数恒成立，利用参数分类法进行求解即可。 解：函数的导数, 若函数 在[1,2]上是增函数， 则恒成立，即 即 即 若 ，则不等式等价为，不等式成立， 若，则 ， 则不等式等价为，此时， ，即 若，则 ， 则不等式等价为 ， 此时，即，则 综上， 引导学生理解题意，观察图象，并进行分析、思考。 引导学生逐个观察图象，分析函数的单调性与导函数的正负的关系。 从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数正负之间的关系 如果在某个区间上恒有，那么函数 f(x)有什么特性？ 如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？ 引导学生观察高台跳水问题中高度函数及其导函数的图象，使学生发现当函数在区间上可导时，函数在区间上的单调性与函数在区间上的导数的正负有关系。 由具体的函数图象，探讨函数单调性与导数的正负关系。发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。 例题巩固
课堂小结 1原函数的单调性与导函数的正负之间的关系 正负f(x)的单调性单调递增单调递减
2 例题 3 导数与函数图象的关系 4 练习
板书 1原函数的单调性与导函数的正负之间的关系 2 例题 3 导数与函数图象的关系 4 例题 5练习
教学反思
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