山东省烟台市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（扫描版含答案）

所以AB⊥ADAB⊥AA
所以∠A4AD为AA4与平面ABCD所成的角
即∠A1AD
且AB⊥平面ADDA
因为ABc平面ABCD
所以平面ABCD⊥平面ADDA
过A做AO⊥AD交AD于O,则AO⊥平面ABCD
设AB=2,则AD=AA=2
在△4O中,O= 1A cos=1,AO=A4cos=√5
以O为坐标原点,分别以射线OA,OA1为x,z轴正半轴,以过O点且平行于
CD的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系
高二数学试题答案第2页(共6页)
则A(,00),C(-1,2,0),A4(0.0√5),D1(-2,0,√5),N(,0,3
所以,CN=(,一2,一),DN=(=,0,-)
设平面NCD的一个法向量m=(x,y1,1),则有
meCN=0
moDN=0
√,则y=2√3,x1=5,则m=(√,23.,5
平面ABCD的一个法向量O4=(0.0.√3
设平面ABCD与平面NCD夹角为O
所以cosO
√3√0
mOA,
即平面ABCD与平面NCD夹角的余弦值为
√0
12分
20.解:(1)设线段MN的中点C(x,y),当点C运动时,它到原点O的距离为定长,即
RtAMOM的斜边上的中线长
1分
因为N|=4,所以|OCF2
所以点C的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆
3分
所以点C的轨迹方程是x2
4分
(2)(i)直线l:(2m+1)x+(m+1)y-3m-2=0可整理为
(2x+y-3)+x+y-2=0
方程组J2x+y-3=0
的解为x=y
5分
x+y-2=0
所以直线/恒过定点D(,)
6分
将点(1,1)代入圆C的方程有1
2<4,所以点D(L,1)在圆C的内部
7分
高二数学试题答案第3页(共6页)
所以直线l与曲线C恒有两个不同交点
8分
(i)由(i)知,当直线l垂直于OD时被截得的弦长最短
因为kO=1,所以直线l的斜率k
9分
所以m=0,此时直线l的方程为x-y-2=0
10分
又|OD√2,所以此时弦长为24-2=2√2
11分
所以直线l被曲线C截得的最短弦长为2√2
12分
21解:(1)证明:在菱形ABCD中,E为AB的中点,∠BAD=60
所以DE⊥CD
1分
因为平面ADE⊥平面BCDE,且平面ADEI平面BCDE
所以CD⊥平面ADE
3分
又CDc平面ACD
所以平面ADE⊥平面ACD
4分
(2)由(1)可知,EA,EB.,ED两两垂直,所以,以E为坐标原点,射线EA,EB,ED分
别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系
分
E(0,0,0),AO,0,1),B(1,00),C(2,√3,0),D(0,√3,0),F(0
6分