北京市第四中学2021-2022学年七年级上学期数学开学考试试卷

北京市第四中学2021-2022学年七年级上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021七上·北京开学考）下列说法正确的是（　　）
A． 表示一个负数 B．正整数和负整数统称整数
C． 表示一个奇数 D．非负数包括零和正数
2．（2020七上·延庆期末）下列式子变形正确的是（　　）
A．﹣（a﹣1）＝﹣a﹣1 B．3a﹣5a＝﹣2a
C．2（a+b）＝2a+b D．|π﹣3|＝3﹣π
3．（2021七上·北京开学考）甲乙两地相距m千米，原计划高速列车每小时行x千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（　　）小时．
A． B． C． D．
4．（2021七上·北京开学考）天干地支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卵、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥在天干地支纪年法中，对应的规律如下表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ……
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 ……
干支 纪年 甲 子 年 乙 丑 年 丙 寅 年 丁 卯 年 戊 辰 年 己 巳 年 庚 午 年 辛 未 年 壬 申 年 癸 酉 年 甲 戌 年 乙 亥 年 丙 子 年 ……
2049年是新中国成立100周年这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴使用天干地支纪年法，2021年是辛丑年，那么可以推知2049年是（　　）年
A．乙已 B．己巳 C．己酉 D．乙亥
5．（2021七上·北京开学考）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（　　）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
二、填空题
6．（2021七上·北京开学考）若某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则此三位数可表示为　 　．
7．（2021七上·北京开学考）某小店进了两种不同的果仁，所用的钱一样多，已知两种果仁的价钱分别是每千克6元和12元，若将两种果仁混合后再买，那么，混合后果仁的成本是每千克　 　元．
8．（2021七上·北京开学考）某商店将彩电按原价提高了40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是　 　元．
9．（2021七上·北京开学考）循环小数 可化分数为　 　．
10．（2021七上·北京开学考）时钟上2点到2点30分之间，分针与时针在2点　 　分成直角
11．（2021七上·北京开学考）如图，边长为2与3的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是　 　（结果保留 ）．
12．（2021七上·北京开学考）如图，平行四边形 中，M是 边上一点， 与对角线 交于点N，若 ， ，则 　 　．
13．（2021七上·北京开学考）日常生活中经常使用十进制来表示数，要用10个数码：0，1，2，3，4，56，7，8，9，在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到以下自然数的十进制与二进制表示对照表：
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
二进制 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 …
十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1+1=10，十进制的3在二进制中变成了 ，……，那么二进中的110001在十进制中表示的数为　 　．
14．（2021七上·北京开学考）如图，在三角形 中， ， ， ． 为 边上的一点，在边 上取点 ，使得 ，在边 上取点 ，使得 ，在边 上取点 ，使得 ，若 ，则 的长度为　 　．
15．（2021七上·北京开学考）十九世纪的时候，MorizStern（1858）与AchilleBrocot（1860）发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来： 是第一层，第二层是 和 ，第三层是 ， ， ， ，……，按照这个规律， 在第　 　层第　 　个数（从左往右数）．
16．（2021七上·北京开学考）现有一块圆形蛋糕，用刀把它竖着切开．用 表示n刀切下去出现的最多的蛋糕块数（ ，2，3，4…）．显然，1刀切下去蛋糕分为两块，记为 ；2刀切下去蛋糕最多被分为4块，记为 ；那么 　 　； 与 的等量关系为　 　； =　 　（用含n的式子表示）．
三、解答题
17．（2021七上·北京开学考）计算
18．（2021七上·北京开学考）
19．（2020七上·胶州月考）－0.5－（－3 ）＋2.75－（＋7 ）
20．（2021七上·北京开学考）
21．（2021七上·北京开学考）
22．
23．（2021七上·北京开学考）
24．（2021七上·北京开学考）
25．（2021七上·北京开学考）
26．（2021七上·北京开学考）甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，动车与快车平均每小时各行驶多少千米？
27．（2021七上·北京开学考）某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过 ，每立方米收费2元；若用水超过 ，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水多少立方米？
28．（2021七上·北京开学考）如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为2，求这个长方形色块图的面积．
29．（2021七上·北京开学考）如图所示，设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 ，其中E、F分别为 边上的两个三等分点，G、H分别为 边上的两个三等分点，请直接写出 与 的等量关系，并说明理由．
30．（2021七上·北京开学考）小林和小明设计了一个小游戏程序：开始时两人的屏幕上显示的数分别是a和 ，每按一次屏幕，小林的屏幕上的数就会加上a，同时小明的屏幕上的数就会加上1，且均显示化简后的结果．如下表就是按一次后及两次后屏幕显示的结果．
　 开始数 按1次后 按2次后 按3次后 按4次后 按5次后
小林 a 　 　 　
小明 　 　 　
根据以上的信息回答问题：
（1）从开始起按5次后，
①两人屏幕上显示的结果是：小林 ▲ ；小明 ▲ ；
②判断这两个结果的大小，并说明理由．
（2）是否存在一个a的值，使得每次按完屏幕后，小林的屏幕上的数，总是小于小明的屏幕上的数，若存在，请直接写出所有满足条件的a的取值范围；若不存在，请说明理由
31．（2021七上·北京开学考）如图，已知图形A，B，C，D，E，F分别是由3，4，5，6，7，8个“单位正方形”（每个小正方形的边长为1）组成的图形，它们之中的五个可以拼成一个大正方形．
（1）填空：能拼成的大正方形的面积等于　 　，多余的那一个图形的编号是　 　从A，B，C， D，E，F中选择一个）
（2）请在下图中画出拼接正方形的方法，要求：标注所使用五个图形的编号，并用实粗线画出边界线．（说明：所使用的五个图形可以旋转，也可以翻转）
32．（2021七上·北京开学考）大数学家欧拉的数学名著《代数基础》中记录了一个有趣的问题：有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产；第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一﹔第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一；……，按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多．问：这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、当a＜0时，﹣a＞0，故本选项不符合题意；
B、整数分正整数、负整数和0，故本选项不符合题意；
C、 表示一个奇数，其中n是整数，故本选项不符合题意；
D、非负数包括零和正数，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用负数、整数、奇数和非负数的定义，求解即可。
2．【答案】B
【知识点】去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A．﹣(a﹣1)=﹣a+1，故本选项不符合题意；
B.3a﹣5a=﹣2a，故本选项符合题意；
C.2(a+b)=2a+2b，故本选项不符合题意；
D．|π﹣3|=π﹣3，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据去括号法则以及合并同类项的定义对各选项依次进行判断即可解答．
3．【答案】C
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：根据题意得出：
原计划高速列车从甲地到乙地所需时间为： 小时，
实际高速列车从甲地到乙地所需时间为： 小时，
故列车从甲地到乙地所需时间比原来增加 小时，
故答案为：C．
【分析】先求出原计划高速列车从甲地到乙地所需时间为： 小时，再求出实际高速列车从甲地到乙地所需时间为： 小时，最后计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、 巳、午、未、申、酉、戌、亥；其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、...癸酉，甲戌、乙亥、丙子、...癸未，甲申、乙酉、丙戌、...癸巳，...
若2021年是辛丑年，从2021年往后数28年，可得2049年是己巳年．
故答案为：B．
【分析】先找出规律，再根据表格计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵甲最后得分为16分，
∴a＞4，
接下来以乙为主要研究对象，
①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则a+3b＝8，
则3b＝8﹣a＜4，而b为正整数，
则b＝1，又c为正整数，a＞b＞c，
此时不合题意；
②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，
则a+2b+c＝8，
则2b+c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，
不符合题意；
③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，
则a+b+2c＝8，则b+2c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，不符合题意；
④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，
则a+3c＝8，此时显然a＝5，c＝1，
则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共3×5+1＝16分，
乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5+3×1＝8分，
丙的得分情况为4场第二名，则4b＝8，即b＝2，
此时符合题意．
综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．
故答案为：C．
【分析】根据 选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名， 对每个选项一一判断即可。
6．【答案】
【知识点】用字母表示数
【解析】【解答】解：根据题意，这个三位数可以表示为100a+10b+c，
故答案为：100a+10b+c．
【分析】求出100a+10b+c，即可作答。
7．【答案】8
【知识点】运用有理数的运算解决简单问题
【解析】【解答】解：∵进了两种不同的果仁，所用的钱一样多，已知两种果仁的价钱分别是每千克6元和12元，
∴每千克6元和12元的果仁数量之比为：
，
∴混合后果仁的成本是每千克为 （元）．
故答案为：8．
【分析】先求出，再计算求解即可。
8．【答案】2250
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设每台彩电的原价是x，则
，
解得： ，
故答案为：2250．
【分析】先求出，再解方程即可。
9．【答案】
【知识点】有理数及其分类
【解析】【解答】设x＝ ，即x＝0.1515…，
将方程两边都乘以100，得100x＝15.1515…，
即100x＝15＋0.1515…，又因为x＝0.1515…，
所以100x＝15＋x，所以99x＝15，即x＝ ，
所以 ＝
故答案为： ．
【分析】根据题意求出100x＝15＋x，再解方程计算求解即可。
10．【答案】
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】∵2点时，时针和分针所成的角度为60°
∴分针与时针成90时，分针追赶了时针150°
设2点x分，时针和分针所成的角度为90°，
依题意可得6x-0.5x=150
解得x=
故答案为： ．
【分析】先求出分针与时针成90时，分针追赶了时针150°，再求出6x-0.5x=150，最后解方程即可。
11．【答案】
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】如图，正方形BEFG的边长是2，正方形ABCD的边长是3，
，
根据题意，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】利用三角形的面积和扇形面积公式计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ANB和△BMN同高，S△ABN＝4，S△BMN＝3，
∴AN：NM＝4：3，
又∵
∴△AND∽△MNB，
∴DN：NB＝AN：NM＝4：3，
∴ ，
∴S△AND＝ ，
故答案为： ．
【分析】先求出AN：NM＝4：3，再求出△AND∽△MNB，最后计算求解即可。
13．【答案】49
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】
故答案为：49
【分析】求出即可作答。
14．【答案】5或6
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】如图，
设CP0=x，则CP1=x，AP1=9-x=AP2，BP2=8-（9-x）=x-1=BP3，
若点 在 、 两点之间，即BP3+CP0+1=BC=10时，
（x-1）+x+1=10，解得，x=5；
若点 在 、 两点之间，即BP3+CP0-1=BC=10时，
（x-1）+x-1=10，解得，x=6．
故答案为：5或6．
【分析】先求出（x-1）+x+1=10，再求出x=5，最后计算求解即可。
15．【答案】10；253
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】 设 在第 层，则第 层的与 连线的数为： ， 层与之连线的数为： ；… ，则 在第 层
由图可知，
从第3层至第8层数字都是向左边发散，第9，10层的数字是向右发散，即：
的左边有1 个数，
的左边有3 个数，
的左边有7 个数，
的左边有15 个数，
的左边有31 个数，
的左边有63 个数，
是上一层数字向右发散的，故左侧多1个数， 的左边有 个数，
是上一层数字向右发散的，故左侧多2个数， 的左边有 个数，
和 是在同一层，且在 的左侧，
从左往右数， 是第 个数，
故答案为：
【分析】先找出规律，再计算求解即可。
16．【答案】7；；
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】（1）解：1刀切下去蛋糕分为两块，记为 ；
2刀切下去蛋糕最多被分为4块，记为 =1+1+2=4；
3刀切下去蛋糕分为： 1+1+2+3=7；
故答案为： ；
（2）观察发现：
切2刀时比原来多了2块，
切3刀时比原来多了3块，…，
切n刀时比原来多了n块，
切 （n+1）刀时比原来多了（n+1）块；
故答案为： ；
（3）当切1刀时， ；
切2刀时， =1+1+2=4；
切2刀时，平面数 1+1+2+3=7； …
切5刀时， =1+1+2+3+4+5；
切6刀时， =1+1+2+3+4+5+6，
切n刀时， =1+1+2+3…+n=1+ = .
故答案为： 7， ， ．
【分析】根据计算求解即可。
17．【答案】解：
．
【知识点】有理数的巧算（奥数类）
【解析】【分析】利用有理数巧算的方法计算求解即可。
18．【答案】解：
【知识点】有理数的加法
【解析】【分析】利用有理数的加法法则计算求解即可。
19．【答案】解：原式=
=－8+6
=－2
【知识点】有理数的加减混合运算
【解析】【分析】首先将同分母的进行合并计算，然后进行有理数的加减法计算
20．【答案】解：
【知识点】有理数的加减乘除混合运算
【解析】【分析】利用有理数的加减乘除混合运算法则计算求解即可。
21．【答案】解： ，
，
，
，
．
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【分析】利用有理数的乘法运算律计算求解即可。
22．【答案】解：原式=（31+4）+（-22+11）
=36-11
25.
【知识点】有理数的巧算（奥数类）
【解析】【分析】根据有理数加法交换律和结合律，把分母相同的放一起，利用有理数加减法法则计算即可得出答案.
23．【答案】解：
=
=
=1．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】利用有理数的乘方，加减法则计算求解即可。
24．【答案】解：
．
【知识点】有理数的巧算（奥数类）
【解析】【分析】利用有理数巧算的方法计算求解即可。
25．【答案】解：原式=
=
=
=
=
=
=
=
故答案为
【知识点】探索数与式的规律；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【分析】利用有理数巧算的方法计算求解即可。
26．【答案】解：设动车平均每小时行驶v 千米，快车平均每小时行驶v 千米．则
，
，
解得 ， ．
所以动车平均每小时行驶330千米，快车平均每小时行驶170千米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】先求出 ， 再计算求解即可。
27．【答案】解：设小明家5月份用水xm3， 当用水量为20m3时，
应交水费为20×2=40（元）．
∵40＜64，
∴x＞20．
根据题意得：40+（2+1）（x-20）=64，
解得：x=28．
答：小明家用水28立方米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】根据题意求出 40+（2+1）（x-20）=64， 再解方程即可。
28．【答案】解：设D边长为x，则B、C边长 ，E边长 ，F边长 ．
由题意可得： ，
解得 ．
故长方形的长为26，宽为22，面积为 ．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】先求出 ， 再解方程求解即可。
29．【答案】解： ，理由如下：
连结DE、EG、GB、BD，则：S△BDE= S△BAD，S△BDG= S△BCD，S△EHG=S△EHD，S△BGF=S△EGF，
∴SDEBG= SABCD= S1，
又∵S△EHG=S△EHD，S△BGF=S△EGF，
∴SEFHG= SDEBG= S1，
∴S2= S1，即 ．
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】先求出 SDEBG= SABCD= S1， 再求出 SEFHG= SDEBG= S1， 最后计算求解即可。
30．【答案】（1）解：根据每按一次屏幕，小林的频幕上的数就会加上a，
同时小明的屏幕上的数就会加上1，则从开始起按5次后，
小林： ，小明： ，
故答案为： ； ；
②作差 ，
∴若 ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ：
若 ，即 ，则 ．
（2）解：存在，理由如下：
∵小林的屏幕上的数，总是小于小明的屏幕上的数，
∴ ，
解得： ，
∵每按一次屏幕，小林的频幕上的数就会加上a，
同时小明的屏幕上的数就会加上1，
∴要想保持小林的屏幕上的数，总是小于小明的屏幕上的数，
必须满足 ，
综上： ．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）①根据每按一次屏幕，小林的频幕上的数就会加上a，同时小明的屏幕上的数就会加上1，则从开始起按5次后，计算求解即可；
②先求出 ， 再比较大小求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
31．【答案】（1）25；F
（2）解：如图所示．
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】（1）组成大正方形的小正方形数量可能是1、4、9、16、25、36…
而3＋4＋5＋6＋7＋8＝33在25和36之间，
所以组成大正方形的小正方形数量25个，多余8个．
故答案为：25，F．
【分析】（1）先求出3＋4＋5＋6＋7＋8＝33，再计算求解即可；
（2）根据题意作图即可。
32．【答案】解：设遗产总数为 克朗，则：
第一个儿子分得： ；
第二个儿子分得： ；
∵每一个儿子所得财产一样多，
∴ ，
解得： ，
∴遗产共有8100克朗，
则第一个儿子分得： （克朗），
即：每个儿子分得900克朗，
儿子共有： （人），
∴这位父亲共有9个儿子，每个儿子分得900克朗．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】先求出 ， 再求出x=8100，最后计算求解即可。
1 / 1北京市第四中学2021-2022学年七年级上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021七上·北京开学考）下列说法正确的是（　　）
A． 表示一个负数 B．正整数和负整数统称整数
C． 表示一个奇数 D．非负数包括零和正数
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、当a＜0时，﹣a＞0，故本选项不符合题意；
B、整数分正整数、负整数和0，故本选项不符合题意；
C、 表示一个奇数，其中n是整数，故本选项不符合题意；
D、非负数包括零和正数，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用负数、整数、奇数和非负数的定义，求解即可。
2．（2020七上·延庆期末）下列式子变形正确的是（　　）
A．﹣（a﹣1）＝﹣a﹣1 B．3a﹣5a＝﹣2a
C．2（a+b）＝2a+b D．|π﹣3|＝3﹣π
【答案】B
【知识点】去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A．﹣(a﹣1)=﹣a+1，故本选项不符合题意；
B.3a﹣5a=﹣2a，故本选项符合题意；
C.2(a+b)=2a+2b，故本选项不符合题意；
D．|π﹣3|=π﹣3，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据去括号法则以及合并同类项的定义对各选项依次进行判断即可解答．
3．（2021七上·北京开学考）甲乙两地相距m千米，原计划高速列车每小时行x千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（　　）小时．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：根据题意得出：
原计划高速列车从甲地到乙地所需时间为： 小时，
实际高速列车从甲地到乙地所需时间为： 小时，
故列车从甲地到乙地所需时间比原来增加 小时，
故答案为：C．
【分析】先求出原计划高速列车从甲地到乙地所需时间为： 小时，再求出实际高速列车从甲地到乙地所需时间为： 小时，最后计算求解即可。
4．（2021七上·北京开学考）天干地支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卵、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥在天干地支纪年法中，对应的规律如下表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ……
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 ……
干支 纪年 甲 子 年 乙 丑 年 丙 寅 年 丁 卯 年 戊 辰 年 己 巳 年 庚 午 年 辛 未 年 壬 申 年 癸 酉 年 甲 戌 年 乙 亥 年 丙 子 年 ……
2049年是新中国成立100周年这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴使用天干地支纪年法，2021年是辛丑年，那么可以推知2049年是（　　）年
A．乙已 B．己巳 C．己酉 D．乙亥
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、 巳、午、未、申、酉、戌、亥；其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、...癸酉，甲戌、乙亥、丙子、...癸未，甲申、乙酉、丙戌、...癸巳，...
若2021年是辛丑年，从2021年往后数28年，可得2049年是己巳年．
故答案为：B．
【分析】先找出规律，再根据表格计算求解即可。
5．（2021七上·北京开学考）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（　　）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵甲最后得分为16分，
∴a＞4，
接下来以乙为主要研究对象，
①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则a+3b＝8，
则3b＝8﹣a＜4，而b为正整数，
则b＝1，又c为正整数，a＞b＞c，
此时不合题意；
②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，
则a+2b+c＝8，
则2b+c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，
不符合题意；
③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，
则a+b+2c＝8，则b+2c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，不符合题意；
④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，
则a+3c＝8，此时显然a＝5，c＝1，
则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共3×5+1＝16分，
乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5+3×1＝8分，
丙的得分情况为4场第二名，则4b＝8，即b＝2，
此时符合题意．
综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．
故答案为：C．
【分析】根据 选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名， 对每个选项一一判断即可。
二、填空题
6．（2021七上·北京开学考）若某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则此三位数可表示为　 　．
【答案】
【知识点】用字母表示数
【解析】【解答】解：根据题意，这个三位数可以表示为100a+10b+c，
故答案为：100a+10b+c．
【分析】求出100a+10b+c，即可作答。
7．（2021七上·北京开学考）某小店进了两种不同的果仁，所用的钱一样多，已知两种果仁的价钱分别是每千克6元和12元，若将两种果仁混合后再买，那么，混合后果仁的成本是每千克　 　元．
【答案】8
【知识点】运用有理数的运算解决简单问题
【解析】【解答】解：∵进了两种不同的果仁，所用的钱一样多，已知两种果仁的价钱分别是每千克6元和12元，
∴每千克6元和12元的果仁数量之比为：
，
∴混合后果仁的成本是每千克为 （元）．
故答案为：8．
【分析】先求出，再计算求解即可。
8．（2021七上·北京开学考）某商店将彩电按原价提高了40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是　 　元．
【答案】2250
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设每台彩电的原价是x，则
，
解得： ，
故答案为：2250．
【分析】先求出，再解方程即可。
9．（2021七上·北京开学考）循环小数 可化分数为　 　．
【答案】
【知识点】有理数及其分类
【解析】【解答】设x＝ ，即x＝0.1515…，
将方程两边都乘以100，得100x＝15.1515…，
即100x＝15＋0.1515…，又因为x＝0.1515…，
所以100x＝15＋x，所以99x＝15，即x＝ ，
所以 ＝
故答案为： ．
【分析】根据题意求出100x＝15＋x，再解方程计算求解即可。
10．（2021七上·北京开学考）时钟上2点到2点30分之间，分针与时针在2点　 　分成直角
【答案】
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】∵2点时，时针和分针所成的角度为60°
∴分针与时针成90时，分针追赶了时针150°
设2点x分，时针和分针所成的角度为90°，
依题意可得6x-0.5x=150
解得x=
故答案为： ．
【分析】先求出分针与时针成90时，分针追赶了时针150°，再求出6x-0.5x=150，最后解方程即可。
11．（2021七上·北京开学考）如图，边长为2与3的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是　 　（结果保留 ）．
【答案】
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】如图，正方形BEFG的边长是2，正方形ABCD的边长是3，
，
根据题意，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】利用三角形的面积和扇形面积公式计算求解即可。
12．（2021七上·北京开学考）如图，平行四边形 中，M是 边上一点， 与对角线 交于点N，若 ， ，则 　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ANB和△BMN同高，S△ABN＝4，S△BMN＝3，
∴AN：NM＝4：3，
又∵
∴△AND∽△MNB，
∴DN：NB＝AN：NM＝4：3，
∴ ，
∴S△AND＝ ，
故答案为： ．
【分析】先求出AN：NM＝4：3，再求出△AND∽△MNB，最后计算求解即可。
13．（2021七上·北京开学考）日常生活中经常使用十进制来表示数，要用10个数码：0，1，2，3，4，56，7，8，9，在电子计算机中用二进制，只要两个数码0和1，正像在十进制中加法要“逢十进一”，在二进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到以下自然数的十进制与二进制表示对照表：
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
二进制 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 …
十进制的0在二进制中还是0，十进制的1在二进制中还是1，十进制的2在二进制中变成了1+1=10，十进制的3在二进制中变成了 ，……，那么二进中的110001在十进制中表示的数为　 　．
【答案】49
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】
故答案为：49
【分析】求出即可作答。
14．（2021七上·北京开学考）如图，在三角形 中， ， ， ． 为 边上的一点，在边 上取点 ，使得 ，在边 上取点 ，使得 ，在边 上取点 ，使得 ，若 ，则 的长度为　 　．
【答案】5或6
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】如图，
设CP0=x，则CP1=x，AP1=9-x=AP2，BP2=8-（9-x）=x-1=BP3，
若点 在 、 两点之间，即BP3+CP0+1=BC=10时，
（x-1）+x+1=10，解得，x=5；
若点 在 、 两点之间，即BP3+CP0-1=BC=10时，
（x-1）+x-1=10，解得，x=6．
故答案为：5或6．
【分析】先求出（x-1）+x+1=10，再求出x=5，最后计算求解即可。
15．（2021七上·北京开学考）十九世纪的时候，MorizStern（1858）与AchilleBrocot（1860）发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来： 是第一层，第二层是 和 ，第三层是 ， ， ， ，……，按照这个规律， 在第　 　层第　 　个数（从左往右数）．
【答案】10；253
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】 设 在第 层，则第 层的与 连线的数为： ， 层与之连线的数为： ；… ，则 在第 层
由图可知，
从第3层至第8层数字都是向左边发散，第9，10层的数字是向右发散，即：
的左边有1 个数，
的左边有3 个数，
的左边有7 个数，
的左边有15 个数，
的左边有31 个数，
的左边有63 个数，
是上一层数字向右发散的，故左侧多1个数， 的左边有 个数，
是上一层数字向右发散的，故左侧多2个数， 的左边有 个数，
和 是在同一层，且在 的左侧，
从左往右数， 是第 个数，
故答案为：
【分析】先找出规律，再计算求解即可。
16．（2021七上·北京开学考）现有一块圆形蛋糕，用刀把它竖着切开．用 表示n刀切下去出现的最多的蛋糕块数（ ，2，3，4…）．显然，1刀切下去蛋糕分为两块，记为 ；2刀切下去蛋糕最多被分为4块，记为 ；那么 　 　； 与 的等量关系为　 　； =　 　（用含n的式子表示）．
【答案】7；；
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】（1）解：1刀切下去蛋糕分为两块，记为 ；
2刀切下去蛋糕最多被分为4块，记为 =1+1+2=4；
3刀切下去蛋糕分为： 1+1+2+3=7；
故答案为： ；
（2）观察发现：
切2刀时比原来多了2块，
切3刀时比原来多了3块，…，
切n刀时比原来多了n块，
切 （n+1）刀时比原来多了（n+1）块；
故答案为： ；
（3）当切1刀时， ；
切2刀时， =1+1+2=4；
切2刀时，平面数 1+1+2+3=7； …
切5刀时， =1+1+2+3+4+5；
切6刀时， =1+1+2+3+4+5+6，
切n刀时， =1+1+2+3…+n=1+ = .
故答案为： 7， ， ．
【分析】根据计算求解即可。
三、解答题
17．（2021七上·北京开学考）计算
【答案】解：
．
【知识点】有理数的巧算（奥数类）
【解析】【分析】利用有理数巧算的方法计算求解即可。
18．（2021七上·北京开学考）
【答案】解：
【知识点】有理数的加法
【解析】【分析】利用有理数的加法法则计算求解即可。
19．（2020七上·胶州月考）－0.5－（－3 ）＋2.75－（＋7 ）
【答案】解：原式=
=－8+6
=－2
【知识点】有理数的加减混合运算
【解析】【分析】首先将同分母的进行合并计算，然后进行有理数的加减法计算
20．（2021七上·北京开学考）
【答案】解：
【知识点】有理数的加减乘除混合运算
【解析】【分析】利用有理数的加减乘除混合运算法则计算求解即可。
21．（2021七上·北京开学考）
【答案】解： ，
，
，
，
．
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【分析】利用有理数的乘法运算律计算求解即可。
22．
【答案】解：原式=（31+4）+（-22+11）
=36-11
25.
【知识点】有理数的巧算（奥数类）
【解析】【分析】根据有理数加法交换律和结合律，把分母相同的放一起，利用有理数加减法法则计算即可得出答案.
23．（2021七上·北京开学考）
【答案】解：
=
=
=1．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】利用有理数的乘方，加减法则计算求解即可。
24．（2021七上·北京开学考）
【答案】解：
．
【知识点】有理数的巧算（奥数类）
【解析】【分析】利用有理数巧算的方法计算求解即可。
25．（2021七上·北京开学考）
【答案】解：原式=
=
=
=
=
=
=
=
故答案为
【知识点】探索数与式的规律；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【分析】利用有理数巧算的方法计算求解即可。
26．（2021七上·北京开学考）甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，动车与快车平均每小时各行驶多少千米？
【答案】解：设动车平均每小时行驶v 千米，快车平均每小时行驶v 千米．则
，
，
解得 ， ．
所以动车平均每小时行驶330千米，快车平均每小时行驶170千米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】先求出 ， 再计算求解即可。
27．（2021七上·北京开学考）某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过 ，每立方米收费2元；若用水超过 ，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水多少立方米？
【答案】解：设小明家5月份用水xm3， 当用水量为20m3时，
应交水费为20×2=40（元）．
∵40＜64，
∴x＞20．
根据题意得：40+（2+1）（x-20）=64，
解得：x=28．
答：小明家用水28立方米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】根据题意求出 40+（2+1）（x-20）=64， 再解方程即可。
28．（2021七上·北京开学考）如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为2，求这个长方形色块图的面积．
【答案】解：设D边长为x，则B、C边长 ，E边长 ，F边长 ．
由题意可得： ，
解得 ．
故长方形的长为26，宽为22，面积为 ．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】先求出 ， 再解方程求解即可。
29．（2021七上·北京开学考）如图所示，设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 ，其中E、F分别为 边上的两个三等分点，G、H分别为 边上的两个三等分点，请直接写出 与 的等量关系，并说明理由．
【答案】解： ，理由如下：
连结DE、EG、GB、BD，则：S△BDE= S△BAD，S△BDG= S△BCD，S△EHG=S△EHD，S△BGF=S△EGF，
∴SDEBG= SABCD= S1，
又∵S△EHG=S△EHD，S△BGF=S△EGF，
∴SEFHG= SDEBG= S1，
∴S2= S1，即 ．
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】先求出 SDEBG= SABCD= S1， 再求出 SEFHG= SDEBG= S1， 最后计算求解即可。
30．（2021七上·北京开学考）小林和小明设计了一个小游戏程序：开始时两人的屏幕上显示的数分别是a和 ，每按一次屏幕，小林的屏幕上的数就会加上a，同时小明的屏幕上的数就会加上1，且均显示化简后的结果．如下表就是按一次后及两次后屏幕显示的结果．
　 开始数 按1次后 按2次后 按3次后 按4次后 按5次后
小林 a 　 　 　
小明 　 　 　
根据以上的信息回答问题：
（1）从开始起按5次后，
①两人屏幕上显示的结果是：小林 ▲ ；小明 ▲ ；
②判断这两个结果的大小，并说明理由．
（2）是否存在一个a的值，使得每次按完屏幕后，小林的屏幕上的数，总是小于小明的屏幕上的数，若存在，请直接写出所有满足条件的a的取值范围；若不存在，请说明理由
【答案】（1）解：根据每按一次屏幕，小林的频幕上的数就会加上a，
同时小明的屏幕上的数就会加上1，则从开始起按5次后，
小林： ，小明： ，
故答案为： ； ；
②作差 ，
∴若 ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ：
若 ，即 ，则 ．
（2）解：存在，理由如下：
∵小林的屏幕上的数，总是小于小明的屏幕上的数，
∴ ，
解得： ，
∵每按一次屏幕，小林的频幕上的数就会加上a，
同时小明的屏幕上的数就会加上1，
∴要想保持小林的屏幕上的数，总是小于小明的屏幕上的数，
必须满足 ，
综上： ．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）①根据每按一次屏幕，小林的频幕上的数就会加上a，同时小明的屏幕上的数就会加上1，则从开始起按5次后，计算求解即可；
②先求出 ， 再比较大小求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
31．（2021七上·北京开学考）如图，已知图形A，B，C，D，E，F分别是由3，4，5，6，7，8个“单位正方形”（每个小正方形的边长为1）组成的图形，它们之中的五个可以拼成一个大正方形．
（1）填空：能拼成的大正方形的面积等于　 　，多余的那一个图形的编号是　 　从A，B，C， D，E，F中选择一个）
（2）请在下图中画出拼接正方形的方法，要求：标注所使用五个图形的编号，并用实粗线画出边界线．（说明：所使用的五个图形可以旋转，也可以翻转）
【答案】（1）25；F
（2）解：如图所示．
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】（1）组成大正方形的小正方形数量可能是1、4、9、16、25、36…
而3＋4＋5＋6＋7＋8＝33在25和36之间，
所以组成大正方形的小正方形数量25个，多余8个．
故答案为：25，F．
【分析】（1）先求出3＋4＋5＋6＋7＋8＝33，再计算求解即可；
（2）根据题意作图即可。
32．（2021七上·北京开学考）大数学家欧拉的数学名著《代数基础》中记录了一个有趣的问题：有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产；第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一﹔第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一；……，按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多．问：这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？
【答案】解：设遗产总数为 克朗，则：
第一个儿子分得： ；
第二个儿子分得： ；
∵每一个儿子所得财产一样多，
∴ ，
解得： ，
∴遗产共有8100克朗，
则第一个儿子分得： （克朗），
即：每个儿子分得900克朗，
儿子共有： （人），
∴这位父亲共有9个儿子，每个儿子分得900克朗．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】先求出 ， 再求出x=8100，最后计算求解即可。
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