2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.2.2 直线的方程基础过关练

2.2.2　直线的方程
基础过关练
题组一　直线的点斜式方程
1.(2020辽宁葫芦岛高二期末)过点(3,2),斜率是的直线方程是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=x+4 B.y=x+2
C.2x-3y=0 D.3x-2y=0
2.已知直线的方程是y+4=2x-6,则(　　)
A.直线经过点(-3,4),斜率为2
B.直线经过点(4,-3),斜率为2
C.直线经过点(3,-4),斜率为2
D.直线经过点(-4,3),斜率为-2
3.(2019安徽合肥高二月考)经过点(-1,1),斜率是直线y-2=x的斜率的2倍的直线方程是(　　)
A.y-1=(x+1) B.y-1=2(x+1)
C.x=-1 D.y=1
4.(2020浙江余姚中学高二期中)无论m为何值,直线mx-y+2m+1=0恒过定点(　　)
A. B.(-2,1)
C.(2,-1) D.
5.已知直线l过点P(2,1)且倾斜角为135°,则l的点斜式方程为　　　　　　　　.
6.(2020广东东莞高一期末)已知△ABC的三个顶点都在第一象限,且A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求:
(1)AB边所在直线的方程;
(2)AC边和BC边所在直线的方程.
题组二　直线的斜截式方程
7.直线y=-+3x的斜率和在y轴上的截距分别是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-,3 B.3,-
C.,-3 D.-3,
8.直线y=ax-可能是(　　)
9.(2019广东珠海高二检测)若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
10.(2020四川成都玉林中学高二月考)若直线l经过点P(1,2),且与直线2x+3y-9=0在y轴上的截距相等,则直线l的方程为　　　　　　.
11.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程为　　　　　　.
12.求与两坐标轴围成的三角形的面积是12,且斜率为-的直线方程.
13.(2020江苏南京金陵中学高二检测)已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)若直线l不经过第二象限,求a的取值范围.
题组三　直线的两点式与截距式方程
14.经过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0 D.x-y-1=0
15.(2020山东威海一中高二月考)若直线方程为-=1,则直线在x轴和y轴上的截距分别为(　　)
A.2,3 B.-2,-3 C.-2,3 D.2,-3
16.(2020辽宁朝阳高二月考)已知直线l过点(1,2),且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍,则直线l的方程为(　　)
A.2x-y=0 B.2x+y-4=0
C.2x-y=0或x+2y-2=0 D.2x-y=0或2x+y-4=0
17.直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距为3,则实数m的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.-6 C.- D.6
题组四　直线的一般式方程
18.(2019安徽蚌埠高二月考)已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为(　　)
A.3 B.-3 C. D.-
19.(2020江西上饶高一期中)已知直线2x-y-3=0的倾斜角为θ,则sin 2θ的值是(　　)
A. B. C. D.
20.若方程mx+(m2-m)y+1=0表示的图形是一条直线,则实数m的取值范围是　　　　.
21.(2019河南濮阳高二期中)若直线l经过点(-3,5),且直线l的一个方向向量为(-2,1),则直线l的一般式方程为　　　　　　　　.
题组五　直线方程几种形式的相互转化
22.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角为45°,则m的值为(　　)
A.2 B.2或3 C.-3 D.3
23.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0可能是(　　)
24.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴所围成的三角形的面积S是　(　　)
A.ab B.|ab|
C. D.
25.直线ax+y+a=0(a≠0)在两坐标轴上的截距之和为(　　)
A.a-1 B.1-a
C.a+1 D.-a-1
26.无论a取何实数,直线ax-y-2a+1=0恒过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
27.已知点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,则当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为　　　　　　　.
能力提升练
题组　直线方程的应用
1.(2019山东潍坊高二月考,)已知直线l过原点,且平分平行四边形ABCD的面积,若平行四边形的两个顶点分别为B(1,4),D(5,0),则直线l的方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=x B.y=2x+3 C.y=-x+5 D.y=x
2.(多选)(2020江西吉安高二期末,)若直线l:y=-ax+2+a在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值可以是(　　)
A.0 B.1 C.-2 D.-1
3.(2020辽宁沈阳高二期末,)已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上,且线段AB的中点为P,则直线AB的方程为(　　)
A.y=-x+5 B.y=x-5 C.y=x+5 D.y=-x-5
4.(多选)(2020安徽合肥高二期中,)已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:2x-y+3=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论中正确的是(　　)
A.直线l与直线l1的斜率互为相反数
B.直线l与直线l1的倾斜角互补
C.直线l在y轴上的截距为-1
D.这样的直线l有两条
5.(2019辽宁大连外国语学校高二月考,)已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是　　　　.
6.(2019重庆一中高二月考,)已知直线l过点M(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△AOB(O为坐标原点)的面积最小时,求直线l的方程.
7.(2020湖南长沙一中高二期中,)如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪,另外△AEF内部为一文物保护区域不能占用,经过测量,AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应该如何设计才能使草坪面积最大
8.(2020河北石家庄高二期中,)在平面直角坐标系中,矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次排列,且点O,P,Q的坐标分别是O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),其中t>0.
(1)求顶点R的坐标;
(2)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t).
答案全解全析
基础过关练
1.C　由已知可得直线的点斜式方程为y-2=(x-3),整理得2x-3y=0.
2.C　直线方程y+4=2x-6可化为y-(-4)=2(x-3),故直线经过点(3,-4),斜率为2.
3.A　易知所求直线的斜率是,则直线的点斜式方程为y-1=(x+1).
4.B　直线方程可变形为m(x+2)-(y-1)=0,即y-1=m(x+2),所以直线恒过定点(-2,1).
5.答案　y-1=-(x-2)
解析　由题意知直线l的斜率k=tan 135°=-1,所以l的点斜式方程为y-1=-(x-2).
6.解析　(1)因为A(1,1),B(5,1),所以直线AB平行于x轴,所以直线AB的方程为y=1.
(2)由题意知,直线AC的倾斜角为∠A,又∠A=45°,所以kAC=tan 45°=1.
又直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=1×(x-1),即y=x.
同理可知,直线BC的倾斜角为180°-∠B=135°,所以kBC=tan 135°=-1.
又直线BC过点B(5,1),所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5),即y=-x+6.
7.B　直线方程可化为y=3x-,因此该直线的斜率为3,在y轴上的截距为-.
8.B　由y=ax-可知,斜率和截距一定异号,故B正确.
9.D　直线方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t≤0,解得t≥.
10.答案　y=-x+3
解析　直线2x+3y-9=0在y轴上的截距为3,所以直线l经过点(0,3),故直线l的斜率k==-1,故直线l的方程为y=-x+3.
11.答案　x=3
解析　直线y=x+1的斜率为1,所以其倾斜角为45°,又直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,所以直线l的倾斜角为90°,其斜率不存在.又直线l过定点P(3,3),所以直线l的方程为x=3.
12.解析　设直线方程为y=-x+b,令y=0,得x=b,由题意知·|b|·=12,所以b2=36,解得b=±6,故所求直线方程为y=-x±6.
13.解析　(1)证法一:直线方程可变形为y=ax+.
当a>0时,易知无论a取何值,直线l一定经过第一象限;
当a=0时,直线方程为y=,显然过第一象限;
当a<0时,>0,因此直线l过第一象限.
综上,无论a为何值,直线l总经过第一象限.
证法二:直线方程可变形为y-=a·,它表示经过点A,斜率为a的直线.
因为点A在第一象限,
所以无论a为何值,直线l总经过第一象限.
(2)由(1)中证法二可知,直线l过定点A.如图,直线OA的斜率kOA==3.
因为直线l不经过第二象限,所以直线l的斜率k≥3,即a≥3.
14.D　由已知得直线的两点式方程为=,即x-y-1=0.
15.D　直线方程可化为+=1,因此直线在x轴和y轴上的截距分别为2,-3.
16.D　当直线l经过原点时,方程为y=2x,符合题意;当直线l不经过原点时,设其方程为+=1,代入点(1,2),得a=2,此时方程为+=1,即2x+y-4=0.综上,直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.
17.B　将(3,0)代入直线方程得3(m+2)=2m,解得m=-6.
18.D　由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.
19.C　由已知得tan θ=2,所以sin 2θ===.
20.答案　m≠0
解析　若方程mx+(m2-m)y+1=0表示直线,则m与m2-m不同时为0,故m≠0.
21.答案　x+2y-7=0
解析　由于直线l的一个方向向量是(-2,1),所以其斜率k=-,所以其方程为y-5=-(x+3),即x+2y-7=0.
22.D　由题意可得m2-4≠0且=1,解得m=3.经检验m=3满足题意,∴m=3.
23.C　由题意知,直线方程可化为y=-x-,∵ac<0,bc<0,∴ab>0,∴-<0,->0,故直线的斜率小于0,在y轴上的截距大于0.故选C.
24.D　将方程化为截距式为+=1,
∴S==.
25.D　解法一:令x=0,得y=-a,令y=0,得x=-1,所以直线在两坐标轴上的截距之和为-a-1.
解法二:将方程化为截距式得+=1,从而可知直线在x轴,y轴上的截距分别为-1,-a,故截距之和为-a-1.
26.A　将直线方程化为点斜式为y-1=a(x-2),可知直线恒过定点(2,1),因为点(2,1)在第一象限,所以直线恒过第一象限.
27.答案　x-y+1=0
解析　当线段AB最短时,AB⊥l,所以kAB=1,所以直线AB的方程为y=x+1,化为一般式方程为x-y+1=0.
能力提升练
1.D　由于直线l平分平行四边形ABCD的面积,因此其必过平行四边形对角线的交点,而B(1,4),D(5,0),所以对角线的交点为(3,2),又直线l过原点,所以其方程为y=x.
2.BC　显然a≠0.当直线l经过原点时,其在x轴和y轴上的截距相等,则2+a=0,解得a=-2;当直线l不经过原点时,直线l的方程可化为+=1,则=2+a,所以a=1.
3.C　由题意可得a=2,所以P(0,5).设A(x0,2x0),B(-2y0,y0),则由中点坐标公式得解得所以A(4,8),B(-4,2),所以直线AB的方程是=,即y=x+5.故选C.
4.ABC　由于直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以l与l1的倾斜角互补,斜率互为相反数,故选项A,B均正确;易知直线l的方程为y-1=-2(x+1),因此其在y轴上的截距为-1,故C选项正确;易知这样的直线l只有一条,故D选项错误.
5.答案　3
解析　直线AB的方程为+=1,则x=3-y,则xy=3y-y2=-(y2-4y)=-(y-2)2+3≤3,当且仅当y=2时等号成立,此时x=,即当点P的坐标为时,xy取得最大值3.
6.解析　根据题意,设A(a,0),B(0,b),则直线l的方程为+=1,
由题意,知a>2,b>1,
因为l过点M(2,1),所以+=1,解得b=,
因此△AOB的面积S=ab=a·,
化简得a2-2Sa+4S=0,①
所以Δ=4S2-16S≥0,
解得S≥4或S≤0(舍去),
故S的最小值为4,
将S=4代入①式,得a2-8a+16=0,所以a=4,
所以b==2,
此时直线l的方程为x+2y-4=0.
7.解析　建立如图所示的平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20).
线段EF的方程为+=1(0≤x≤30).
在线段EF上取一点P(m,n),作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,则矩形PQCR即为要建的矩形草坪,
设矩形PQCR的面积是S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).
又因为+=1(0≤m≤30),
所以n=20,
故S=(100-m)=-(m-5)2+(0≤m≤30),
当m=5时,S有最大值,此时==5,
即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时,可使草坪面积最大.
8.解析　(1)设顶点R的坐标为(x,y).
由题意知kOP==t,kPQ==-.
易知OP∥QR,PQ∥OR,所以t=,-=,
解得即点R的坐标为(-2t,2).
(2)易得S矩形OPQR=|OP|·|OR|=2(1+t2).
①如图1,当1-2t≥0,即0图1
②如图2,当1-2t<0,即t>时,设线段QP与y轴交于点N,易知直线QP的方程为y-t=-(x-1),则点N的坐标是,
所以S(t)=S△OPN=|ON|·xP=.
图2
综上,S(t)=