2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.3.3直线与圆的位置关系基础过关练
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.3.3直线与圆的位置关系基础过关练 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 106.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-16 11:59:37 | ||
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文档简介
2.3.3 直线与圆的位置关系
基础过关练
题组一
直线与圆位置关系的判断1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )
相交且过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
2.(2019浙江宁波高一月考)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
3.(2020四川成都七中高二月考)直线l:y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是( )
A.相离 B.相切或相交
C.相交 D.相切
4.(2020山东烟台二中高一月考)在△ABC中,若asin A+bsin B-csin C=0,则圆C:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
5.(2019陕西咸阳高二月考)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a满足的条件是( )
A.0≤|a-1|≤2 B.|a+1|≥2
C.0≤|a+1|≤2 D.|a-1|≥2
6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).
(1)求证:直线l过定点A(3,1),且直线l与圆C相交;
(2)求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程.
题组二 圆的切线问题
7.设A为圆x2+y2-2x=0上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2
C.y2=2x D.y2=-2x
8.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+=0或2x+y-=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+=0或2x-y-=0
9.若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
10.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0都相切的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=5
B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5
D.x2+(y-1)2=5
11.(2020山东省实验中学高一期中)点P是直线x+y-3=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=4作切线,则切线长的最小值为( )
A.2 B. C. D.
12.过点P(-1,0)作圆C:(x-1)2+(y-2)2=1的两条切线,设两切点分别为A,B,则过点A,B,C的圆的方程是 ( )
A.x2+(y-1)2=2 B.x2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+y2=4 D.(x-1)2+y2=1
13.过点(2,3)且与圆(x-1)2+y2=1相切的直线的方程为 .
14.(2020甘肃武威高一期中)若直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,则a的值为 .
15.若点P(-2,2)在以坐标原点O为圆心的圆上,求该圆在点P处的切线方程.
16.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点.
(1)求四边形PACB面积的最小值;
(2)直线上是否存在点P,使∠BPA=60° 若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
题组三 圆的弦长问题
17.(2020安徽安庆一中月考)已知直线l:4x-3y-12=0与圆(x-2)2+(y-2)2=5交于A,B两点,且与x轴,y轴分别交于C,D两点,则( )
A.2|CD|=5|AB| B.8|CD|=4|AB|
C.5|CD|=2|AB| D.3|CD|=8|AB|
18.若过点P(2,0)的直线l被圆(x-2)2+(y-3)2=9截得的弦长为2,则直线l的斜率为( )
A.± B.±
C.±1 D.±
19.(2020浙江杭州高二月考)设圆心在x轴上的圆C与直线l1:x-y+1=0相切,且与直线l2:x-y=0相交于M,N两点,若|MN|=,则圆C的半径为( )
A. B. C.1 D.
20.(2019山东日照高二期中)已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为( )
A.或-1 B.-1 C.1或-1 D.1
21.(2020安徽黄山高二期末)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为 .
22.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是 .
23.直线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点M(-2,3),求直线l的方程.
24.(2019浙江杭州学军中学月考)已知圆M:2x2+2y2-6x+1=0.
(1)求圆M的圆心坐标;
(2)设直线l过点A(0,2)且与x轴交于点D,与圆M在第一象限的部分交于B,C两点,如图所示.若O为坐标原点,△OAB与△OCD的面积相等,求直线l的斜率.
能力提升练
题组 直线与圆位置关系的应用
1.(2020广东珠海高一月考,)已知集合M={(x,y)|x+y=1},N={(x,y)|x2+y2-2ay=0,a>0)},若M∩N= ,则实数a的取值范围是( )
A.(0,-1) B.(-1,+1)
C.(--1,+1) D.(0,+1)
2.(2019重庆璧山中学高一期中,)若圆C:x2+y2=4上的点到直线l:y=x+a的最小距离为2,则a=( )
A.±2 B.±2-2 C.±4-2 D.±4
3.(2020四川成都玉林中学高一期末,)若直线y=kx+1与圆O:x2+y2=1交于A、B两点,且∠AOB=60°,则实数k等于( )
A.± B.± C.± D.±3
4.(2019上海交大附中高一月考,)已知两点M(-1,0),N(1,0),若直线y=k(x-2)上存在点P,使得PM⊥PN,则实数k的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C. D.
5.(2020山西太原五中高一期末,)过点M(3,0)的直线与圆x2+y2-4x=0交于A,B两点,若C为圆心,则·的最小值等于( )
A.2 B.3 C.4 D.6
6.(多选)(2019浙江金华十校高一联考,)已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则实数a的值可以为( )
A.-5 B.-4 C.0 D.2
7.(2020安徽阜阳一中高一期中,)设直线l:kx-y+1=0与圆C:x2+y2=4相交于A、B两点,若=+(O为坐标原点),且点M在圆C上,则实数k的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.0
8.(2019江西吉安高一月考,)已知直线x-y-1=0及直线x-y-5=0被圆C所截得的弦长均为10,则圆C的面积是 .
9.(2019湖北武汉外国语学校高一月考,)过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是 .
10.(2019陕西宝鸡高一月考,)若方程=x+b有两个实数根,则实数b的取值范围是 .
11.(2020河北石家庄一中高二期末,)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).
(1)若l1与圆相切,求l1的方程;
(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:|AM|·|AN|为定值.
12.(2019湖南长沙一中高一期中,)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
13.(2020福建双十中学高一月考,)已知圆心为C的圆经过点A(0,2)和B(1,1),且圆心C在直线l:x+y+5=0上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若P(x,y)是圆C上的动点,求3x-4y的最大值与最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.D 圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离d==,圆的半径为3,因为0<<3,所以直线与圆相交但不过圆心.
2.B 由点M在圆外,得a2+b2>1,所以圆心O(0,0)到直线ax+by=1的距离d=<1,所以直线与圆O相交.
3.C 由题易知l过定点A(1,1),因为12+12-2×1=0,所以点A在圆上,又因为直线x=1过点A且为圆的切线,直线l的斜率存在,所以直线l与圆一定相交,故选C.
4.A 因为asin A+bsin B-csin C=0,所以由正弦定理可得a2+b2-c2=0,因此圆心C(0,0)到直线l的距离d===1,故直线与圆相切.
5.C 因为直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤,从而可得0≤|a+1|≤2.
6.解析 (1)证明:将点A(3,1)代入直线l的方程,得3(2m+1)+(m+1)=7m+4,恒成立,所以直线l过定点A.
因为圆心C的坐标为(1,2),所以|AC|==<5,所以点A在圆C内,所以对任意的实数m,直线l与圆C恒相交.
(2)由平面几何的知识可得,直线l被圆C截得的弦长最短时,直径与AC垂直,因为直线AC的斜率kAC==-,所以此时直线l的斜率k=2,所以直线l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.
7.B x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1,由题意可得圆心(1,0)到P点的距离为,所以点P在以(1,0)为圆心,为半径的圆上,所以点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2,故选B.
8.A 设所求直线的方程为2x+y+c=0(c≠1),则=,解得c=±5,故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.
9.A 因为直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,所以=,解得k=±1,因为k<0,所以k=-1,所以直线l的方程为x+y-1=0.圆D的圆心(2,0)到直线l的距离d==<,所以直线l与圆D相交.故选A.
10.A 依题意有=,解得a=1,于是圆心为(1,1),半径为=,所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.
11.C 由已知得圆心O(0,0),半径r=2.当切线长最小时,直线OP与直线x+y-3=0垂直.因为圆心O到直线x+y-3=0的距离d=,所以切线长的最小值为=.
12.A 由题易知P,A,B,C四点共圆,圆心为PC的中点(0,1),半径为|PC|=×=,则过点A,B,C的圆的方程是x2+(y-1)2=2.
13.答案 4x-3y+1=0或x=2
解析 易知点(2,3)在圆外,当切线的斜率存在时,设圆的切线方程为y=k(x-2)+3,由圆心(1,0)到切线的距离等于半径,得k=,所以切线方程为4x-3y+1=0.
当切线的斜率不存在时,切线方程为x=2.
综上,所求直线的方程为4x-3y+1=0或x=2.
14.答案 3或-5
解析 因为(x-a)2+(y-3)2=8的圆心为(a,3),半径为2,所以由直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,知圆心到直线的距离等于半径,所以=2,即|a+1|=4,解得a=3或a=-5.
15.解析 依题意,圆的半径为|OP|==2,所以圆的方程为x2+y2=8,因为kOP=-1,所以该圆在点P处的切线的斜率为1,所以所求方程为y-2=x+2,即x-y+4=0.
16.解析 (1)易知C(1,1),|AC|=1.如图,连接PC,
易知S四边形PACB=2S△PAC=2××|AP|×|AC|=|AP|.
因为|AP|2=|PC|2-|CA|2=|PC|2-1,
所以当|PC|最小时,|AP|最小.
|PC|的最小值即为点C到直线3x+4y+8=0的距离,故|PC|min==3,所以|PC=9,
所以|AP|min==2,
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)不存在.理由:由(1)知圆心C到直线的最小距离为3,即|CP|≥3,要使∠BPA=60°,则|PC|=2,显然不成立,所以这样的点P是不存在的.
17.A 依题意得|AB|=2×=2,点C的坐标为(3,0),点D的坐标为(0,-4),所以|CD|==5,故有2|CD|=5|AB|.
18.A 设直线l的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,则圆心到直线的距离d==,由于弦长为2,所以d==2,即=2,解得k=±.
19.C 直线x-y+1=0与x-y=0间的距离d==,设圆C的半径为r,则有r=,解得r=1.
20.C 由题意可得圆C的半径r=1,又△ABC是等腰直角三角形,所以圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离等于r·sin 45°=1×=,由点到直线的距离公式可得=,所以a=±1.
21.答案 2
解析 由已知得圆心为(2,2),点(3,1)与圆心之间的距离为=,又因为圆的半径为2,点(3,1)在圆内,所以最短弦长为2×=2.
22.答案 -4
解析 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4.
23.解析 由已知得圆心C(-1,2),而弦AB的中点M(-2,3),所以直线CM的斜率kCM==-1,由于直线l与直线CM垂直,所以直线l的斜率k=1,所以直线l的方程为y-3=x+2,即x-y+5=0.
24.解析 (1)圆M:2x2+2y2-6x+1=0可化为+y2=,
则圆M的圆心坐标为.
(2)由直线l过点A(0,2)且与x轴交于点D,可设直线l的方程为y=kx+2.
因为直线l与圆M在第一象限的部分交于B,C两点,又△OAB与△OCD的面积相等,所以AB=CD,易得AM=DM.
设点D(x,0)(x>0),则=,
整理得x2-3x-4=0,解得x=4或x=-1(舍去),则D(4,0).
因为点D在直线y=kx+2上,所以4k+2=0,解得k=-.
故直线l的斜率为-.
能力提升练
1.A 依题意知直线x+y=1与圆x2+y2-2ay=0(a>0)没有公共点,所以圆心(0,a)到直线x+y=1的距离大于a,即>a,解得02.D 圆C的圆心(0,0)到直线x-y+a=0的距离d=,圆的半径等于2,所以-2=2,解得a=±4.
3.B 依题意,三角形AOB是边长为1的等边三角形,因此圆心O(0,0)到直线y=kx+1的距离等于,即=,解得k=±.
4.A 以MN为直径的圆的方程为x2+y2=1,若直线y=k(x-2)上存在点P,使得PM⊥PN,则直线与圆有交点,且k≠0,则≤1,且k≠0,解得-≤k≤,且k≠0.
5.D 由已知得圆的半径为2,圆心坐标为(2,0),所以·=(+)·=+·=4-·=4-4cos∠ACB,因为直线过点M(3,0),所以当该直线与CM垂直时,∠ACB最小,为120°,这时cos∠ACB取得最大值-,·=4-4cos∠ACB取得最小值4+2=6.
6.BCD 由圆的方程可知圆心为(0,0),半径r为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d7.D 联立直线的方程与圆的方程,得方程组消去y得(1+k2)x2+2kx-3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=x1+x2=-,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2=,即M,因为点M在圆C上,所以+=4,解得k=0,故选D.
8.答案 27π
解析 平行直线x-y-1=0与x-y-5=0之间的距离2d==2,所以弦心距d=,于是半径r==,故圆C的面积是π·r2=27π.
9.答案 x+y-3=0
解析 由题意知,当∠ACB最小时,圆心C(3,4)到直线l的距离达到最大,此时直线l与直线CM垂直,又直线CM的斜率为=1,所以直线l的斜率为=-1,因此直线l的方程是y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
10.答案 [1,)
解析 依题意知,直线l: y=x+b与曲线C:y=有两个公共点,如图所示,曲线y=是一个以原点为圆心,1为半径的半圆,y=x+b表示的图形是一条斜率为1的直线,当直线l与直线AB重合时,b=1;当直线l与半圆相切时,b=,所以b的取值范围是[1,).
11.解析 (1) ①若直线l1的斜率不存在,则直线l1的方程是x=1,符合题意.
②若直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
由题意知,圆心(3,4)到直线l1的距离等于半径2,
即=2,解得k=,所以直线l1的方程是3x-4y-3=0.
综上,所求直线方程是x=1或3x-4y-3=0.
(2)证明:直线l1与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1的方程为kx-y-k=0.
由得N.
因为直线CM与l1垂直,所以直线CM的方程为y-4=-(x-3),由
得M.
所以|AM|·|AN|=·
=·=6,为定值.
12.解析 (1)由题设可知直线l的方程为y=kx+1,
因为直线l与圆C交于两点,
所以<1,解得(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8=12,解得k=1,
所以l的方程为y=x+1.
易知圆心C在l上,所以|MN|=2.
13.解析 (1)线段AB的中点为,又AB所在直线的斜率kAB=-1,
故线段AB的垂直平分线方程为y-=1·,即x-y+1=0.
由得圆心C(-3,-2),
圆C的半径r=|AC|==5,
故圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25.
(2)令z=3x-4y,即3x-4y-z=0.
当直线3x-4y-z=0与圆C相切于点P时,z取得最值,则圆心(-3,-2)到直线3x-4y-z=0的距离d==5,解得z=-26或z=24.
故3x-4y的最小值为-26,最大值为24
基础过关练
题组一
直线与圆位置关系的判断1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )
相交且过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
2.(2019浙江宁波高一月考)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
3.(2020四川成都七中高二月考)直线l:y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是( )
A.相离 B.相切或相交
C.相交 D.相切
4.(2020山东烟台二中高一月考)在△ABC中,若asin A+bsin B-csin C=0,则圆C:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
5.(2019陕西咸阳高二月考)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a满足的条件是( )
A.0≤|a-1|≤2 B.|a+1|≥2
C.0≤|a+1|≤2 D.|a-1|≥2
6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).
(1)求证:直线l过定点A(3,1),且直线l与圆C相交;
(2)求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程.
题组二 圆的切线问题
7.设A为圆x2+y2-2x=0上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2
C.y2=2x D.y2=-2x
8.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+=0或2x+y-=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+=0或2x-y-=0
9.若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
10.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0都相切的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=5
B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5
D.x2+(y-1)2=5
11.(2020山东省实验中学高一期中)点P是直线x+y-3=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=4作切线,则切线长的最小值为( )
A.2 B. C. D.
12.过点P(-1,0)作圆C:(x-1)2+(y-2)2=1的两条切线,设两切点分别为A,B,则过点A,B,C的圆的方程是 ( )
A.x2+(y-1)2=2 B.x2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+y2=4 D.(x-1)2+y2=1
13.过点(2,3)且与圆(x-1)2+y2=1相切的直线的方程为 .
14.(2020甘肃武威高一期中)若直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,则a的值为 .
15.若点P(-2,2)在以坐标原点O为圆心的圆上,求该圆在点P处的切线方程.
16.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点.
(1)求四边形PACB面积的最小值;
(2)直线上是否存在点P,使∠BPA=60° 若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
题组三 圆的弦长问题
17.(2020安徽安庆一中月考)已知直线l:4x-3y-12=0与圆(x-2)2+(y-2)2=5交于A,B两点,且与x轴,y轴分别交于C,D两点,则( )
A.2|CD|=5|AB| B.8|CD|=4|AB|
C.5|CD|=2|AB| D.3|CD|=8|AB|
18.若过点P(2,0)的直线l被圆(x-2)2+(y-3)2=9截得的弦长为2,则直线l的斜率为( )
A.± B.±
C.±1 D.±
19.(2020浙江杭州高二月考)设圆心在x轴上的圆C与直线l1:x-y+1=0相切,且与直线l2:x-y=0相交于M,N两点,若|MN|=,则圆C的半径为( )
A. B. C.1 D.
20.(2019山东日照高二期中)已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为( )
A.或-1 B.-1 C.1或-1 D.1
21.(2020安徽黄山高二期末)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为 .
22.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是 .
23.直线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点M(-2,3),求直线l的方程.
24.(2019浙江杭州学军中学月考)已知圆M:2x2+2y2-6x+1=0.
(1)求圆M的圆心坐标;
(2)设直线l过点A(0,2)且与x轴交于点D,与圆M在第一象限的部分交于B,C两点,如图所示.若O为坐标原点,△OAB与△OCD的面积相等,求直线l的斜率.
能力提升练
题组 直线与圆位置关系的应用
1.(2020广东珠海高一月考,)已知集合M={(x,y)|x+y=1},N={(x,y)|x2+y2-2ay=0,a>0)},若M∩N= ,则实数a的取值范围是( )
A.(0,-1) B.(-1,+1)
C.(--1,+1) D.(0,+1)
2.(2019重庆璧山中学高一期中,)若圆C:x2+y2=4上的点到直线l:y=x+a的最小距离为2,则a=( )
A.±2 B.±2-2 C.±4-2 D.±4
3.(2020四川成都玉林中学高一期末,)若直线y=kx+1与圆O:x2+y2=1交于A、B两点,且∠AOB=60°,则实数k等于( )
A.± B.± C.± D.±3
4.(2019上海交大附中高一月考,)已知两点M(-1,0),N(1,0),若直线y=k(x-2)上存在点P,使得PM⊥PN,则实数k的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C. D.
5.(2020山西太原五中高一期末,)过点M(3,0)的直线与圆x2+y2-4x=0交于A,B两点,若C为圆心,则·的最小值等于( )
A.2 B.3 C.4 D.6
6.(多选)(2019浙江金华十校高一联考,)已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则实数a的值可以为( )
A.-5 B.-4 C.0 D.2
7.(2020安徽阜阳一中高一期中,)设直线l:kx-y+1=0与圆C:x2+y2=4相交于A、B两点,若=+(O为坐标原点),且点M在圆C上,则实数k的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.0
8.(2019江西吉安高一月考,)已知直线x-y-1=0及直线x-y-5=0被圆C所截得的弦长均为10,则圆C的面积是 .
9.(2019湖北武汉外国语学校高一月考,)过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是 .
10.(2019陕西宝鸡高一月考,)若方程=x+b有两个实数根,则实数b的取值范围是 .
11.(2020河北石家庄一中高二期末,)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).
(1)若l1与圆相切,求l1的方程;
(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:|AM|·|AN|为定值.
12.(2019湖南长沙一中高一期中,)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
13.(2020福建双十中学高一月考,)已知圆心为C的圆经过点A(0,2)和B(1,1),且圆心C在直线l:x+y+5=0上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若P(x,y)是圆C上的动点,求3x-4y的最大值与最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.D 圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离d==,圆的半径为3,因为0<<3,所以直线与圆相交但不过圆心.
2.B 由点M在圆外,得a2+b2>1,所以圆心O(0,0)到直线ax+by=1的距离d=<1,所以直线与圆O相交.
3.C 由题易知l过定点A(1,1),因为12+12-2×1=0,所以点A在圆上,又因为直线x=1过点A且为圆的切线,直线l的斜率存在,所以直线l与圆一定相交,故选C.
4.A 因为asin A+bsin B-csin C=0,所以由正弦定理可得a2+b2-c2=0,因此圆心C(0,0)到直线l的距离d===1,故直线与圆相切.
5.C 因为直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤,从而可得0≤|a+1|≤2.
6.解析 (1)证明:将点A(3,1)代入直线l的方程,得3(2m+1)+(m+1)=7m+4,恒成立,所以直线l过定点A.
因为圆心C的坐标为(1,2),所以|AC|==<5,所以点A在圆C内,所以对任意的实数m,直线l与圆C恒相交.
(2)由平面几何的知识可得,直线l被圆C截得的弦长最短时,直径与AC垂直,因为直线AC的斜率kAC==-,所以此时直线l的斜率k=2,所以直线l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.
7.B x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1,由题意可得圆心(1,0)到P点的距离为,所以点P在以(1,0)为圆心,为半径的圆上,所以点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2,故选B.
8.A 设所求直线的方程为2x+y+c=0(c≠1),则=,解得c=±5,故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.
9.A 因为直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,所以=,解得k=±1,因为k<0,所以k=-1,所以直线l的方程为x+y-1=0.圆D的圆心(2,0)到直线l的距离d==<,所以直线l与圆D相交.故选A.
10.A 依题意有=,解得a=1,于是圆心为(1,1),半径为=,所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.
11.C 由已知得圆心O(0,0),半径r=2.当切线长最小时,直线OP与直线x+y-3=0垂直.因为圆心O到直线x+y-3=0的距离d=,所以切线长的最小值为=.
12.A 由题易知P,A,B,C四点共圆,圆心为PC的中点(0,1),半径为|PC|=×=,则过点A,B,C的圆的方程是x2+(y-1)2=2.
13.答案 4x-3y+1=0或x=2
解析 易知点(2,3)在圆外,当切线的斜率存在时,设圆的切线方程为y=k(x-2)+3,由圆心(1,0)到切线的距离等于半径,得k=,所以切线方程为4x-3y+1=0.
当切线的斜率不存在时,切线方程为x=2.
综上,所求直线的方程为4x-3y+1=0或x=2.
14.答案 3或-5
解析 因为(x-a)2+(y-3)2=8的圆心为(a,3),半径为2,所以由直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,知圆心到直线的距离等于半径,所以=2,即|a+1|=4,解得a=3或a=-5.
15.解析 依题意,圆的半径为|OP|==2,所以圆的方程为x2+y2=8,因为kOP=-1,所以该圆在点P处的切线的斜率为1,所以所求方程为y-2=x+2,即x-y+4=0.
16.解析 (1)易知C(1,1),|AC|=1.如图,连接PC,
易知S四边形PACB=2S△PAC=2××|AP|×|AC|=|AP|.
因为|AP|2=|PC|2-|CA|2=|PC|2-1,
所以当|PC|最小时,|AP|最小.
|PC|的最小值即为点C到直线3x+4y+8=0的距离,故|PC|min==3,所以|PC=9,
所以|AP|min==2,
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)不存在.理由:由(1)知圆心C到直线的最小距离为3,即|CP|≥3,要使∠BPA=60°,则|PC|=2,显然不成立,所以这样的点P是不存在的.
17.A 依题意得|AB|=2×=2,点C的坐标为(3,0),点D的坐标为(0,-4),所以|CD|==5,故有2|CD|=5|AB|.
18.A 设直线l的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,则圆心到直线的距离d==,由于弦长为2,所以d==2,即=2,解得k=±.
19.C 直线x-y+1=0与x-y=0间的距离d==,设圆C的半径为r,则有r=,解得r=1.
20.C 由题意可得圆C的半径r=1,又△ABC是等腰直角三角形,所以圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离等于r·sin 45°=1×=,由点到直线的距离公式可得=,所以a=±1.
21.答案 2
解析 由已知得圆心为(2,2),点(3,1)与圆心之间的距离为=,又因为圆的半径为2,点(3,1)在圆内,所以最短弦长为2×=2.
22.答案 -4
解析 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4.
23.解析 由已知得圆心C(-1,2),而弦AB的中点M(-2,3),所以直线CM的斜率kCM==-1,由于直线l与直线CM垂直,所以直线l的斜率k=1,所以直线l的方程为y-3=x+2,即x-y+5=0.
24.解析 (1)圆M:2x2+2y2-6x+1=0可化为+y2=,
则圆M的圆心坐标为.
(2)由直线l过点A(0,2)且与x轴交于点D,可设直线l的方程为y=kx+2.
因为直线l与圆M在第一象限的部分交于B,C两点,又△OAB与△OCD的面积相等,所以AB=CD,易得AM=DM.
设点D(x,0)(x>0),则=,
整理得x2-3x-4=0,解得x=4或x=-1(舍去),则D(4,0).
因为点D在直线y=kx+2上,所以4k+2=0,解得k=-.
故直线l的斜率为-.
能力提升练
1.A 依题意知直线x+y=1与圆x2+y2-2ay=0(a>0)没有公共点,所以圆心(0,a)到直线x+y=1的距离大于a,即>a,解得0
3.B 依题意,三角形AOB是边长为1的等边三角形,因此圆心O(0,0)到直线y=kx+1的距离等于,即=,解得k=±.
4.A 以MN为直径的圆的方程为x2+y2=1,若直线y=k(x-2)上存在点P,使得PM⊥PN,则直线与圆有交点,且k≠0,则≤1,且k≠0,解得-≤k≤,且k≠0.
5.D 由已知得圆的半径为2,圆心坐标为(2,0),所以·=(+)·=+·=4-·=4-4cos∠ACB,因为直线过点M(3,0),所以当该直线与CM垂直时,∠ACB最小,为120°,这时cos∠ACB取得最大值-,·=4-4cos∠ACB取得最小值4+2=6.
6.BCD 由圆的方程可知圆心为(0,0),半径r为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d
8.答案 27π
解析 平行直线x-y-1=0与x-y-5=0之间的距离2d==2,所以弦心距d=,于是半径r==,故圆C的面积是π·r2=27π.
9.答案 x+y-3=0
解析 由题意知,当∠ACB最小时,圆心C(3,4)到直线l的距离达到最大,此时直线l与直线CM垂直,又直线CM的斜率为=1,所以直线l的斜率为=-1,因此直线l的方程是y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
10.答案 [1,)
解析 依题意知,直线l: y=x+b与曲线C:y=有两个公共点,如图所示,曲线y=是一个以原点为圆心,1为半径的半圆,y=x+b表示的图形是一条斜率为1的直线,当直线l与直线AB重合时,b=1;当直线l与半圆相切时,b=,所以b的取值范围是[1,).
11.解析 (1) ①若直线l1的斜率不存在,则直线l1的方程是x=1,符合题意.
②若直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
由题意知,圆心(3,4)到直线l1的距离等于半径2,
即=2,解得k=,所以直线l1的方程是3x-4y-3=0.
综上,所求直线方程是x=1或3x-4y-3=0.
(2)证明:直线l1与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1的方程为kx-y-k=0.
由得N.
因为直线CM与l1垂直,所以直线CM的方程为y-4=-(x-3),由
得M.
所以|AM|·|AN|=·
=·=6,为定值.
12.解析 (1)由题设可知直线l的方程为y=kx+1,
因为直线l与圆C交于两点,
所以<1,解得
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8=12,解得k=1,
所以l的方程为y=x+1.
易知圆心C在l上,所以|MN|=2.
13.解析 (1)线段AB的中点为,又AB所在直线的斜率kAB=-1,
故线段AB的垂直平分线方程为y-=1·,即x-y+1=0.
由得圆心C(-3,-2),
圆C的半径r=|AC|==5,
故圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25.
(2)令z=3x-4y,即3x-4y-z=0.
当直线3x-4y-z=0与圆C相切于点P时,z取得最值,则圆心(-3,-2)到直线3x-4y-z=0的距离d==5,解得z=-26或z=24.
故3x-4y的最小值为-26,最大值为24