2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.3.4 圆与圆的位置关系基础过关练

2.3.4　圆与圆的位置关系
基础过关练
题组一　圆与圆位置关系的理解与判断
1.(2020安徽合肥一中高二期末)已知圆C1:x2+y2-2x-4y+6=0,C2:x2+y2-6y=0,则两圆的位置关系为(　　)
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
2.(2019河南平顶山高一检测)圆心为(2,0)的圆C与圆O:x2+y2+4x-6y+4=0外切,则圆C的方程为(　　)
A.x2+y2+4x+2=0 B.x2+y2-4x+2=0
C.x2+y2+4x=0 D.x2+y2-4x=0
3.圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0与圆C2:x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2019山西临汾一中月考)若圆x2+y2=m和圆x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,1) B.(121,+∞)
C.[1,121] D.(1,121)
5.两内切圆的半径长是方程x2+px+q=0的两根,已知两圆的圆心距为1,其中一圆的半径为3,则p+q=(　　)
A.2或4 B.4
C.1或5 D.5
6.圆O:x2+y2+6x-4y+9=0和圆P:x2+y2-6x+12y-19=0的位置关系是　　　　.
7.(2020广东揭阳高二月考)若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y-m=0相切,则m的值为　　　　　　.
8.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,问:m为何值时,
(1)圆C1和圆C2外切
(2)圆C1与圆C2内含
(3)圆C1与圆C2只有一个公共点
题组二　圆与圆位置关系的应用
9.(2020河北石家庄高一月考)圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y-6=0的公共弦长为(　　)
A.1 B.2 C. D.2
10.(2020甘肃兰州高一期中)已知圆C1:x2+y2-4x+6y=0和圆C2:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为(　　)
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
11.(2020辽宁大连高二月考)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离分别为1,2,则这样的直线有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
12.(2020湖北宜昌高三调研)已知两点A(-1,0),B(1,0)及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,满足·=0,则r的取值范围是(　　)
A.[3,6] B.[3,5] C.[4,5] D.[4,6]
13.求与圆x2+y2-7y+10=0相交,所得公共弦平行于直线2x-3y-1=0,且过点(-2,3),(1,4)的圆的方程.
14.求圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.
能力提升练
题组　圆与圆位置关系的应用
1.(2019四川绵阳高三诊断性考试,)已知☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-a)2+y2=r2(a>0)相交于A、B两点,若两圆在A点处的切线互相垂直,且|AB|=4,则☉O1的方程为(　　)
A.(x-4)2+y2=20
B.(x-4)2+y2=50
C.(x-5)2+y2=20
D.(x-5)2+y2=50
2.(2019江西上高二中高二月考,)设集合A={(x,y)|(x-4)2+y2=1},B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1},如果存在t∈R,A∩B≠ ,则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.(-∞,0)∪
C.
D.(-∞,0]∪
3.(2020河南郑州高一期末,)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别为圆C1,C2上的点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
A. B.-1
C.6-2 D.5-4
4.(2019河南商丘九校高一上期末联考,)已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9.点M、N分别是圆C1、圆C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是(　　)
A.2+4 B.9
C.7 D.2+2
5.(2019河北武邑中学高一期末,)两圆相交于两点(1,3),(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为　　　　.
6.(2020湖北武汉高二期末,)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=　.
7.(2020浙江宁波高二期末,)已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)外切,则r的值为　　　　,若点A(x0,y0)在圆C1上,则+-4x0的最大值为　　　　.
8.(2018江苏泰州高一期末,)已知圆M:(x+m)2+(y+1)2=1与圆N关于直线l:x-y+3=0对称,且圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为2-2,则实数m的值为　　　　.
9.(2019四川南充高二月考,)已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求内公切线方程;
(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且AB=2,求圆O2的方程.
10.(2020辽宁本溪高级中学高一期末,)已知圆O1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆O2:x2+y2-4x-4y-2=0.
(1)试判断圆O1与圆O2的位置关系;
(2)在直线O1O2上是否存在不同于O1的一点A,使得对于圆O2上任意一点P都有为同一常数 若存在,请求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.D　由圆的方程知C1(,2),C2(0,3),半径分别为R1=1,R2=3,而|C1C2|=2,所以|C1C2|=R2-R1,故两圆内切.
2.D　x2+y2+4x-6y+4=0可化为(x+2)2+(y-3)2=9,所以圆O的圆心为(-2,3),半径为3.设圆C的半径为r,由两圆外切知,圆心距为=5=3+r,所以r=2.故圆C的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.
3.D　两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(2,-5),则两圆的圆心距d==,又半径分别为r1=1,r2=4,所以d>r1+r2,所以两圆外离,因此它们有4条公切线.
4.C　x2+y2+6x-8y-11=0可化为(x+3)2+(y-4)2=36.两圆的圆心距d==5,若两圆有公共点,则|6-|≤5≤6+,所以1≤m≤121.
5.C　由x2+px+q=0,得
有一圆半径为3,不妨设x2=3,
因为两圆内切,所以|x1-3|=1,所以x1=4或x1=2.
当x1=4时,p=-7,q=12,p+q=5;当x1=2时,p=-5,q=6,p+q=1.
6.答案　外切
解析　由x2+y2+6x-4y+9=0得(x+3)2+(y-2)2=4,圆心O(-3,2),半径r=2;
由x2+y2-6x+12y-19=0得(x-3)2+(y+6)2=64,圆心P(3,-6),半径R=8.
两圆的圆心距|OP|==10=R+r,所以两圆的位置关系是外切.
7.答案　-9或11
解析　因为x2+y2-6x-8y-m=0,所以(x-3)2+(y-4)2=25+m,因为两圆相切,所以=1+或=|1-|,解得m=-9或m=11.
8.解析　把圆C1,圆C2的方程化为标准方程,得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4.
(1)如果圆C1与圆C2外切,那么=3+2,即m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2,即当m=-5或m=2时,两圆外切.
(2)如果圆C1与圆C2内含,那么<3-2,即m2+3m+2<0,解得-2(3)如果圆C1与圆C2只有一个公共点,那么两个圆相切,因此=3-2或=3+2,解得m=-2或m=-1或m=-5或m=2,即当m的值为-2或-1或-5或2时,两圆只有一个公共点.
9.D　两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为y=1,圆x2+y2=4的半径R=2,圆心(0,0)到直线y=1的距离d=1,则公共弦长l=2=2.
10.C　由平面几何知识知线段AB的垂直平分线即为两圆心所在的直线,由题易得两圆心分别为C1(2,-3),C2(3,0),因为C1C2所在直线的斜率为3,所以所求直线方程为y-0=3(x-3),即3x-y-9=0.
11.C　以点A为圆心,1为半径的圆的方程为(x-1)2+y2=1,以点B为圆心,2为半径的圆的方程为(x-4)2+y2=4,则直线l为两圆的公切线,∵|AB|=3=1+2,∴圆A与圆B外切,∴两圆的公切线有3条,即直线l有3条,故选C.
12.D　因为·=0,所以点P在以AB为直径的圆上,该圆方程为x2+y2=1,又点P在圆C上,所以两圆有公共点.两圆的圆心距d=5,所以|r-1|≤5≤r+1,解得4≤r≤6.
13.解析　由题意可得公共弦所在直线的斜率为,所以两圆圆心所在直线的斜率为-.圆x2+y2-7y+10=0的圆心坐标为,故两圆圆心所在直线的方程为y-=-x,即3x+2y-7=0.
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则
解得
所以所求圆的方程为x2+y2+2x-10y+21=0.
14.解析　解法一:解方程组
得交点坐标分别为(0,2),(-4,0).
设所求圆的圆心坐标为(a,-a),半径为r,则有==r,解得a=-3,r=,
因此,所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.
解法二:同解法一,得两已知圆的交点坐标分别为(0,2),(-4,0),
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则有解得
因此,所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.
解法三:设所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),
即(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,
因为这个圆的圆心在直线x+y=0上,
所以--=0,解得λ=-2,
因此,所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.
能力提升练
1.C　依题意☉O的圆心为O(0,0),半径R=,☉O1的圆心为O1(a,0),半径为r,若两圆在A点处的切线互相垂直,则两切线必分别过对应圆的圆心,连接OO1交AB于点C,则OA⊥O1A,OO1⊥AB,所以OC==1,=,即OA2=OC×OO1,即5=1×OO1,所以OO1=5,r=AO1==2,所以=5,又a>0,所以a=5,故圆O1的方程为(x-5)2+y2=20.
2.C　存在t∈R,A∩B≠ ,即存在实数t,使得圆(x-4)2+y2=1与圆(x-t)2+(y-at+2)2=1有交点,则存在实数t使得≤2,
即关于实数t的不等式(a2+1)t2-4(a+2)t+16≤0有解,
即16(a+2)2-4×(a2+1)×16≥0,解得0≤a≤,故选C.
3.D　如图所示,圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为C'1(2,-3),半径为1,
点M关于x轴对称的点为M',
圆C2的圆心坐标为(3,4),半径为3,
由图可知,当P,M',N三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值,
且|PM|+|PN|的最小值为圆C'1与圆C2的圆心距减去两个圆的半径之和,
即|C'1C2|-3-1=-4=5-4,故选D.
4.B　圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1的圆心为C1(1,-1),半径为1,
圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9的圆心为C2(4,5),半径为3.
要使|PN|-|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,|PN|的最大值为|PC2|+3,|PM|的最小值为|PC1|-1,故|PN|-|PM|的最大值是 (|PC2|+3)-(|PC1|-1)=|PC2|-|PC1|+4,C2(4,5)关于x轴对称的点为C'2(4,-5),|PC2|-|PC1|=|PC'2|-|PC1|≤|C1C'2|==5,故|PN|-|PM|的最大值为5+4=9,故选B.
5.答案　3
解析　由于两圆的公共弦的垂直平分线为两圆心所在的直线,所以=-1,解得m=5.因为两公共点(1,3)和(m,-1)的中点(3,1)在直线x-y+c=0上,所以c=-2.所以m+c=3.
6.答案　1
解析　x2+y2+2ay-6=0与x2+y2=4相减得2ay=2,则y=,由已知条件得=,解得a=1.
7.答案　4;5
解析　因为两圆外切,所以=r+1,所以r=4.
因为点A(x0,y0)在圆C1上,所以+=1,
所以+-4x0=1-4x0,因为-1≤x0≤1,所以+-4x0的最大值为5.
8.答案　2或6
解析　易知圆M的圆心为M(-m,-1),半径r=1,圆心M到直线l的距离d==,
由题可知2=2-2,即|m-4|=2,解得m=2或m=6.
9.解析　设圆O1,O2的半径分别为r1,r2.
(1)由两圆外切可知|O1O2|=r1+r2,所以r2=|O1O2|-r1=2(-1),
故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=12-8,
两圆的方程相减并整理,即得两圆内公切线的方程为x+y+1-2=0.
(2)易得圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=,
因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,
两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程为4x+4y+-8=0.
作O1H⊥AB,则AH=AB=,所以O1H==,
由圆心(0,-1)到直线4x+4y+-8=0的距离为=,得=4或=20,
故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
10.解析　(1)解法一:由圆O1:x2+y2+2x+8y-8=0得圆O1:(x+1)2+(y+4)2=25,
由圆O2:x2+y2-4x-4y-2=0得圆O2:(x-2)2+(y-2)2=10,
两圆的圆心距|O1O2|==3,又5-<3<5+,所以两圆相交.
解法二:由得或所以两圆相交.
(2)存在.易得直线O1O2的方程为y=2x-2,设A(a,2a-2)(a≠-1),P(x,y),结合题意,设==
λ(λ>0,λ≠1),化简得x2+y2+x+y+=0,
显然上式与圆O2的方程为同一方程,
所以所以
故所求点A的坐标为.