2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.1 坐标法基础过关练

第二章　平面解析几何
2.1　坐标法
基础过关练
题组一　中点坐标公式和两点间的距离公式
1.已知线段AB的中点为坐标原点,且A(x,2),B(3,y),则x+y等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5 B.-1 C.1 D.-5
2.(2019福建三明高二月考)点P(2,-1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为(　　)
A.(1,5) B.(4,9) C.(5,3) D.(9,4)
3.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点为P(2,-1),则|AB|等于(　　)
A.5 B.4 C.2 D.2
4.(2020四川成都高二月考)已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是(　　)
A.2 B.3+2 C.6+3 D.6+
5.设A(3,4),在x轴上有一点P(x,0),使得|PA|=5,则x等于(　　)
A.0 B.6 C.0或6 D.0或-6
6.(2019山东枣庄八中高二月考)已知A(1,2),B(-1,1),C(0,-1),D(2,0),则四边形ABCD的形状为(　　)
A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.正方形
7.(2020山西太原高二期中)在△ABC中,设A(3,7),B(-2,5),若AC,BC的中点都在坐标轴上,则C点坐标为　　　　.
8.已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),则当|AB|取得最小值时,实数a等于　　　　.
9.已知三角形的三个顶点分别为A(7,8),B(10,4),C(2,-4),则BC边上的中线AM的长为　　　　.
10.(2020河南濮阳高二期中)已知等腰三角形ABC的顶点是A(3,0),底边长|BC|=4,BC的中点是D(5,4),则此三角形的腰长等于　　　　.
11.(2019山西临汾一中高二检测)已知A(6,1),B(0,-7),C(-2,-3).
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)求△ABC的外心的坐标.
12.已知A(1,2),B(4,-2),试问在x轴上能否找到一点P,使∠APB为直角
题组二　坐标法及其应用
13.求证:三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
14.在△ABC中,AO是BC边上的中线,求证:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).
15.已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出最小值.
16.(2020江西南昌二中高二检测)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2.
题组三　坐标法中的数形结合思想
17.(2020安徽阜阳高二月考)已知A(-3,8)、B(2,2),点M在x轴上,则|MA|+|MB|的最小值是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.5 C. D.
18.(2019四川南充高二检测)光线从点A(-3,5)射到x轴上,经反射后过点B(2,10),则光线从A到B经过的路程为(　　)
A.5 B.2 C.5 D.10
19.(2020浙江杭州学军中学高二月考)函数f(x)=|x-3|+|x+5|的最小值等于(　　)
A.8 B.2 C.3 D.5
20.(2019河北衡水景县中学高二期中)若a,b,c,d∈R,M=|-|,N=,则(　　)
A.M≥N B.M=N C.M≤N D.M与N的大小不确定
21.(2020山东潍坊一中高二月考)函数f(x)=+的最小值等于　　　　.
22.(2019东北师大附中高二月考)已知0答案全解全析
基础过关练
1.D　易知x=-3,y=-2,故x+y=-5.
2.B　设点Q的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得所以故点Q的坐标为(4,9).
3.C　设A(a,0),B(0,b),由中点坐标公式,得所以即A(4,0),B(0,-2),故|AB|==2.
4.C　由题意知|AB|==3,|AC|==3,|BC|==3,故△ABC的周长为|AB|+|AC|+|BC|=6+3.
5.C　由|PA|=5,得(3-x)2+(4-0)2=25,解得x=6或x=0.
6.D　由两点间的距离公式可得|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=,|AC|=|BD|=,故四边形ABCD是正方形.
7.答案　 (2,-7)或(-3,-5)
解析　设C(a,b),则AC的中点为,BC的中点为.由题意知,AC的中点在x轴上,BC的中点在y轴上,或AC的中点在y轴上,BC的中点在x轴上,∴或
∴或
故点C的坐标为(2,-7)或(-3,-5).
8.答案　
解析　|AB|2=(a+1-5)2+(a-4-2a+1)2=2a2-2a+25=2+,所以当a=时, |AB|取得最小值.
9.答案　
解析　设BC的中点M的坐标为(x,y),则即M的坐标为(6,0),所以|AM|==.
10.答案　2
解析　依题意知|BD|=|BC|=2,|AD|==2,所以在Rt△ADB中,|AB|==2.
11.解析　(1)证明:|AB|2=(0-6)2+(-7-1)2=100,|BC|2=(-2-0)2+(-3+7)2=20,
|AC|2=(-2-6)2+(-3-1)2=80.
因为|AB|2=|BC|2+|AC|2,所以∠C=90°,故△ABC为直角三角形.
(2)由(1)可知△ABC为直角三角形,所以其外心是斜边AB的中点,所以外心坐标为,即(3,-3).
12.解析　假设在x轴上能找到点P(x,0),使∠APB为直角,
则|AP|2+|BP|2=|AB|2,即(x-1)2+4+(x-4)2+4=25,化简得x2-5x=0,解得x=0或x=5,
所以在x轴上存在点P(0,0)或P(5,0),使∠APB为直角.
13.证明　如图所示,在△ABC中,D,E分别为边AC,BC的中点,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
则A(0,0),设B(c,0),C(m,n),
则|AB|=c,又由中点坐标公式,可得D,E,
所以|DE|=-=,所以|DE|=|AB|,
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
14.证明　以BC的中点O为坐标原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图,则O(0,0),设B(-a,0),C(a,0),A(m,n),其中a>0,
则|AB|2+|AC|2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+n2+a2),
|AO|2+|OC|2=m2+n2+a2,
故|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).
15.解析　记AB的中点为O,以O为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系(如图所示).
则A,B,C.
设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2=+y2++y2+x2+=3x2+3y2-ay+a2=3x2+3+a2,
所以当x=0,y=a时,|PA|2+|PB|2+|PC|2有最小值a2,此时P.
16.证明　如图,以C为坐标原点,CA所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则C(0,0),设A(3a,0),B(0,3b),P(x,y).
因为S△PCA=S△PBC=,所以S△PCA=S△ABC,
即×3ay=××3a×3b,所以y=b.
S△PBC=S△ABC,即×3bx=××3a×3b,所以x=a.
所以符合条件的点P的坐标为(a,b).
此时,|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2,|PB|2=a2+(3b-b)2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2,
所以|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2,
故结论成立.
17.B　如图,点A关于x轴的对称点为A'(-3,-8),则当点M为A'B与x轴的交点时,|MA|+|MB|取得最小值,即(|MA|+|MB|)min=|A'B|==5.
C　设点A(-3,5)关于x轴的对称点为A',则A'(-3,-5),
又|A'B|==5,所以光线从A到B经过的路程为5.
19.A　|x-3|+|x+5|表示点P(x,0)到M(3,0)与N(-5,0)的距离的和,因此当P在线段MN上时,|x-3|+|x+5|取得最小值|3-(-5)|=8.
20.C　易知M=|-|表示点(a,b),(c,d)到原点O的距离之差的绝对值,N=表示两点(a,b),(c,d)之间的距离,根据三角形两边之差小于第三边(M、N、O三点共线时相等),可得M≤N.
21.答案　
解析　由于f(x)=+=+,因此f(x)表示点P(x,0)到两点A(0,-1),B(2,2)的距离的和,当P,A,B三点共线时,f(x)取得最小值,最小值为|AB|==,故函数f(x)的最小值为.
22.解析　易知表示点(x,y)到点(0,0)的距离,表示点(x,y)到点(0,1)的距离,表示点(x,y)到点(1,0)的距离,表示点(x,y)到点(1,1)的距离.
设O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),P(x,y),显然四边形OABC是正方形.
由于0则|PO|=,|PB|=,|PA|=,|PC|=,
由平面几何知识可知:|PO|+|PB|≥|OB|,|PA|+|PC|≥|AC|,
因此|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥|OB|+|AC|,又|OB|=|AC|=,
所以+++≥2,
当且仅当|PO|+|PB|=|OB|,|PA|+|PC|=|AC|时取等号,
此时点P既在OB上,又在AC上,即P为正方形OABC的中心,故x=y=.