湖南省永州市冷水滩区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）

2021-2022学年湖南省永州市初三（上）期中考试数学试卷
一、选择题

1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.

2. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A.图象经过 B.图象位于一、三象限
C.图象关于直线对称 D.随的增大而增大

3. 已知是方程的两根，则的值为（ ）
A. B. C. D.

4. 如图，在 中，，，，则的长为( )
A. B. C. D.

5. 在同一坐标系中，函数和的图象大致是( )
A. B. C. D.

6. 已知与是位似三角形，且，则与的周长之比为（ ）
A. B. C. D.

7. 永州市年底城市绿地面积是万平方米，计划到年底城市绿地面积提高到万平方米，则平均每年的增长率为（ ）
A. B. C. D.

8. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( )
A. B.
C. D.

9. 如图，直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点是轴上任意一点，则的面积是（ ）
A. B. C. D.不确定

10. 如图，矩形中，，在边上取一点，使得与相似，则这样的点共有（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个

11. 若点都在双曲线上，则大小关系为________.
二、填空题

若，则________.

如图，小孔成像示意图：根据图中标注的尺寸，如果物体的高度为，那么它在暗盒中所成的像的高度为________．

若关于的方程为一元二次方程，则________．

现测得身高为米的甲同学的影长为米，那么同一时刻影长为米的乙旗杆的高度是________米．

如图，为反比例函数图象上一点，轴于，且，则________.

若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的范围是________.

如图，四边形中，，、交于点，，则________.
三、解答题

解方程：（）;
（2）.

阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离，窗口高，求窗口底边离地面的高．

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
求一次函数的表达式；
请根据图象，直接写出时的取值范围．

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售件，每件盈利元．为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出个．如果商场平均每天销售这种衬衫要想盈利元，试问每件衬衫应降价多少元？

如图，在中，，，点从点开始沿向以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，经过几秒钟与相似？

如图，直角坐标系中，点坐标为，且轴于点，过作轴交过点的双曲线于点，连接交 于点，交于点．
求双曲线的表达式；
求的值．

阅读下列材料：
已知实数、满足，且，求的值．
解：∵ ,∴ 每一项都除以得,
又∵ 且
∴ 、是方程的两实根 ，由根与系数关系得，
∴ .
根据材料中所提供的方法，解答下列问题：
已知实数、满足，求的值；
已知实数、满足且，求的值．

如图，正方形的边长为，动点在边上从点沿向运动，以为边，在上方作正方形，连接．
求证：；
若设，当取何值时，最大？并求出的最大值．
连接，试探究：当点运动到边的什么位置时，？并说明理由．
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省永州市初三（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
2.
【答案】
D
【考点】
反比例函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
3.
【答案】
C
【考点】
根与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
4.
【答案】
C
【考点】
相似三角形的性质与判定
平行四边形的性质
【解析】
由得，根据，可证，已知，利用相似比可求，由平行四边形的性质求解．
【解答】
解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即，
解得，
由平行四边形的性质，
得．
故选．
5.
【答案】
A
【考点】
反比例函数的性质
一次函数的性质
【解析】
根据反比例函数的图象与系数的关系，当时，反比例函数的图象在第一、三象限；当时，反比例函数的图象在第二、四象限；根据一次函数的图像与系数的关系，当，一次函数的图象经过第一、二、三象限，当 ，时，一次函数的图象经过第、一、二、四象限，即可——判断得出答案．
【解答】
解：当时，反比例函数的图象在第一、三象限，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
可知项符合；，不符合题意；
当时，反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，则不符合题意.
故选．
6.
【答案】
C
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
7.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
8.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的判定
【解析】
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】
解：∵ ，
∴ ，
∴ 当，时，，
故，选项不符合题意；
当时，可以判定三角形相似，
当时，不能判定三角形相似，
故选项不符合题意，选项符合题意.
故选.
9.
【答案】
C
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
三角形的面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
10.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的判定
矩形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
11.
【答案】
＞
【考点】
反比例函数的性质
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
＞
二、填空题
【答案】
【考点】
比例的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【答案】
16
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
16
【答案】
-2
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
-2
【答案】
12
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
12
【答案】
-10
【考点】
反比例函数系数k的几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
-10
【答案】
且
【考点】
一元二次方程的定义
根的判别式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
且
【答案】
1:3
【考点】
相似三角形的性质与判定
三角形的面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
1:3
三、解答题
【答案】
（1) , ;
（2） ,.
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
解一元二次方程-配方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1) , ;
（2） ,.
【答案】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即窗口底边离地面的高为．
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
因为光线、是一组平行光线，即，所以，则有，从而算出的长．
【解答】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即窗口底边离地面的高为．
【答案】
解：点，
，
．
在中，当时，，
点，
解得：
．
由图可得或．
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：点，
，
．
在中，当时，，
点，
解得：
．
由图可得或．
【答案】
解：设每件衬衫应降价元，则销售量为件，每件利润为元，
依题意，得，
整理，得，
解得或（为了减少库存，不符合题意舍去）．
故每件衬衫应降价元．
【考点】
一元二次方程的应用——利润问题
【解析】
设每件衬衫应降价元，根据平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价元，商场每天可多售件．若商场平均每天要盈利元，可列方程求解．
【解答】
解：设每件衬衫应降价元，则销售量为件，每件利润为元，
依题意，得，
整理，得，
解得或（为了减少库存，不符合题意舍去）．
故每件衬衫应降价元．
【答案】
解：设在开始运动后第秒，与相似，
由题意得：，，，
分两种情况考虑：
①当，时，，
∴ ，
即,
解得：，
则当秒时，与相似；
②当，时，，
∴ ，
即，
解得：，
则当秒时，与相似．
综上，当秒或秒时，与相似．
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果．
【解答】
解：设在开始运动后第秒，与相似，
由题意得：，，，
分两种情况考虑：
①当，时，，
∴ ，
即,
解得：，
则当秒时，与相似；
②当，时，，
∴ ，
即，
解得：，
则当秒时，与相似．
综上，当秒或秒时，与相似．
【答案】
（1）A（，），双曲线表达式.
（2） ， .
【考点】
待定系数法求反比例函数解析式
相似三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）A（，），双曲线表达式.
（2） ， .
【答案】
（1） ，
∴ 、是方程的根，
第种情形，时，由根与系数关系得，
∴ ；
第种情形，时， ，故值为或
（2）∵ ， ∴ 每一项都除以得，
又，且，
∴ 、是方程的两实根，
由根与系数关系得，
∴ .
【考点】
根与系数的关系
一元二次方程的解
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1） ，
∴ 、是方程的根，
第种情形，时，由根与系数关系得，
∴ ；
第种情形，时， ，故值为或
（2）∵ ， ∴ 每一项都除以得，
又，且，
∴ 、是方程的两实根，
由根与系数关系得，
∴ .
【答案】
解：∵ ， ， .
．
∴ ．
∴ ．
∴
当时，有最大值为．
当点是的中点时，，
理由：∵ 是中点，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
又，
∴ ．
【考点】
相似三角形的判定
正方形的性质
相似三角形的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）＝，要证结论，必证，由正方形的性质很快确定＝，又＝，＝，符合即证．
（2）先证，所以，即可求出函数解析式＝，继而求出最值．
（3）要使，需，又因为，所以，即，所以当点是的中点时，．
【解答】
解：∵ ， ， .
．
∴ ．
∴ ．
∴
当时，有最大值为．
当点是的中点时，，
理由：∵ 是中点，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
又，
∴ ．