2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.6利用三角函数测高 优生辅导训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.6利用三角函数测高 优生辅导训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 419.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-16 08:45:32 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》优生辅导训练（附答案）
1．一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB（结果保留3个有效数字，≈2.449）．
2．如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东的60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东的30°方向，已知该岛周围10海里内有暗礁．
（1）B处离岛C有多远？
（2）如果渔船继续向东航行，需要多长时间到达距离岛C最近的位置？
（3）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
3．一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？
4．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）
5．小亮一家到桃林口水库游玩．在岸边码头P处，小亮和爸爸租船到库区游玩，妈妈在岸边码头P处观看小亮与爸爸在水面划船，小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行，划行速度是20米/分钟，划行10分钟后到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处，在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
6．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行20海里到达C处时，测得小岛A在北船的北偏东30°的方向．
（1）若小岛A到这艘轮船航行路线BC的距离是AD，求AD的长．
（2）已知在小岛周围17海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）
7．如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛200海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量船从A处航行到B处的路程（结果保留根号）．
8．如图，在东西方向的海岸线MN上有A，B两艘船，船长都收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向36海里处，船P在船B顶点北偏西37°方向，若船A，船B分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发，匀速前往救援，通过计算判断哪艘船先到达船P处．（参考数据＝1.73，sin37°＝0.6，cos37°＝0.80）
9．4月12日上午，蓝鲸凌波，战舰驰骋，银鹰翱翔，中央军委在南海某海域举行海上阅兵，如图，军舰位于军舰P的北偏东60°方向上，两舰的距离为120海里，军舰B位于军舰A的正南方向，军舰P的南偏东45°方向上，求军舰B与军舰P之间的距离（结果保留根号）．
10．某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口240海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求：
（1）∠ACB的度数；
（2）此时刻船与B港口之间的距离CB的长（结果保留根号）．
11．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）
12．如图，为测量某建筑物AB的高度，在离该建筑物底部20m的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为38.5°，目高CD为1.6m．求建筑物AB的高度．（结果精确到1m）
【参考数据：sin38.5°＝0.623，cos38.5°＝0.783，tan38.5°＝0.795】
13．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了40m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（结果精确到1m）（参考数据：≈1.732，≈1.414）
14．敦煌莫高窟是甘肃省敦煌市境内的莫高窟、西千佛洞的总称，是我国著名的四大石窟之一，也是世界上现存规模最宏大、保存最完好的佛教艺术宝库，数学课外实践活动中，小明为测量莫高窟内佛像高度，分别在点D、H处用高为1.5米的测角仪对佛像进行了测量，如图，测得∠ACE＝42°，∠AFE＝61°，若DH＝15米，求佛像的高度AB．（结果精确到1米，参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80）
15．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C水平距离300米的D处，测得山顶A的仰角为30°，点B、C、D在同一条直线上，求小山岗的高AB（结果保留整数或保留精确值）（参考数据≈1.732）
16．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米．
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
17．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为45°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为60°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.732，≈1.414）
18．如图，线段AB、CD分别表示在同一水平线上的甲、乙两建筑物的高，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D．从B点测到C点的仰角α为60°，从A点测得C点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米．
（1）求甲、乙两建筑物之间的距离BD．
（2）求乙建筑物的高CD．
19．如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为30°，60°，求CD的高度．（结果保留根号）
20．热气球的探测器显示，从热气球底部a处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部俯角为60°，热气球a处与地面距离为420米，求这栋楼的高度．
21．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是多少m？（结果用根式表示）
参考答案
1．解：由示意图可知：∠ACB＝60°，
由平行线的性质可知∠ABC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
则∠A＝180°﹣∠C﹣∠B＝45°，BC＝80×＝40（海里），
过B作BD⊥AC于点D，
则∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，
∴DC＝BC＝20海里，
由勾股定理得：BD＝20海里，
∵∠A＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠A＝45°，
∴AD＝BD＝20海里，
由勾股定理得：AB＝＝＝20≈49.0（海里），
答：此时货轮距灯塔A的距离AB为49.0海里．
2．解：（1）过C作CO⊥AB于O，则CO为渔船向东航行到C道最短距离，
∵在A处测得岛C在北偏东的60°，
∴∠CAB＝30°，
又∵B处测得岛C在北偏东30°，
∴∠CBO＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝∠CAB＝30°，
∴AB＝BC＝12×1＝12（海里）（等边对等角）；
（2）∵CO⊥AB，∠CBO＝60°
∴BO＝BC×cos∠CBO＝12×＝6（海里），
6÷12＝0.5（小时），
答：如果渔船继续向东航行，需要0.5小时到达距离岛C最近的位置；
（3）∵CO⊥AB，∠CBO＝60°
∴CO＝BC×sin∠CBO＝12×sin60°＝6（海里），
∵6＞10，
∴如果渔船继续向东航行，没有触礁危险；
3．解：如图，作PD⊥AB交AB延长线于D点，
∵∠PBC＝30°，
∴∠PAB＝15°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝15°，
∴PB＝AB＝20×2＝40 （海里），
在Rt△BPD中，
∴PD＝PB＝20（海里），
∵20＞18，
∴不会触礁．
4．解：若渔船继续向东航行，无触礁的危险．理由如下：
如图，过点A作AD⊥BC于点D．
由题意得：∠ABD＝45°，∠ACD＝30°．
设AD＝x海里．
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝x海里．
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，
∴CD＝AD＝x海里．
∵BD+DC＝30，
∴x+x＝30，
解得x＝15（﹣1），
15（﹣1）≈10.5海里＞8海里，
即：若渔船继续向东航行，无触礁危险．
5．解：作PQ⊥AB于Q，根据已知，∠APQ＝30°．
则AQ＝AP
∵AP＝20×10＝200
∴AQ＝100
∴PQ＝＝100，
在Rt△BPQ中，sinB＝，
∴PB＝100÷0.60≈288米
∴此时，小亮与妈妈相距288米．
6．解：（1）如图所示．
则有∠ABD＝30°，∠ACD＝60°．
∴∠CAB＝∠ABD，
∴BC＝AC＝20海里．
在Rt△ACD中，设CD＝x海里，
则AC＝2x，AD＝＝x，
在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2x，
BD＝＝3x，
又∵BD＝BC+CD，
∴3x＝20+x，
∴x＝10．
∴AD＝x＝10≈17.32（海里）；
（2）∵17.32海里＞17海里，
∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．
7．解：设东西方向为PQ，则PQ⊥AB，设垂足为Q，
Rt△APQ中，∠APQ＝90°﹣60o＝30o，
∴AQ＝AP＝100海里．PQ＝AP＝100海里．
Rt△PBQ中，∠BPQ＝90°﹣45o＝45o，
∴BQ＝PQ＝100海里，
∴AB＝（100+100）海里，
答：从A处到B处路程为（100+100）海里．
8．解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，
则有∠APE＝60°，∠BPE＝37°，
在Rt△APE中，∠APE＝60°，
∴∠PAE＝30°，
∴PE＝PA＝18，
在Rt△PBE中，
∴PB＝＝＝22.5，
∵＝1.2（小时），22.5÷20＝1.125（小时），
所以，船B先到达船P处．
9．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，
根据题意可得出：∠A＝60°，∠B＝45°，AP＝120，
在Rt△APC中，∵cos∠A＝，
∴PC＝PA cos∠A＝60（海里），
在Rt△PCB中，∵∠b＝45°，
∴PC＝BC，
∴PB＝（海里）．
答：军舰B与军舰P之间的距离约为60海里．
10．解：（1）如图，∵∠EAB＝30°，AE∥BF，
∴∠FBA＝30°，
又∵∠FBC＝75°，
∴∠ABC＝45°
又∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝30°+45°＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣45°﹣75°＝60°；
（2）如图，作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝45°，AB＝240
∴AD＝BD＝（海里）
在Rt△ACD中，∵∠C＝60°，AD＝
∴（海里）
∴BC＝BD+CD＝+（海里）
答：该船与B港口之间的距离CB的长为（+）海里．
11．解：作PC⊥AB于C点，
∴∠APC＝30°，∠BPC＝45° AP＝80（海里）．
在Rt△APC中，cos∠APC＝，
∴PC＝PA cos∠APC＝40（海里）．
在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，
∴PB＝＝＝40≈98（海里）．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
12．解：过D作DE⊥AB于点E，
∴四边形BCDE为矩形，
DE＝BC＝20米，CD＝BE＝1.6米，
在Rt△ADE中，
∵∠ADE＝38.5°，
∴tan∠ADE＝＝tan38.5°＝0.795，
∴AE＝DE tan38.5°＝20×0.795＝15.9（米），
∴AB＝AE+EB＝15.9+1.6＝17.5≈18（米）．
答：建筑物的高度AB约为18米．
13．解：设CE的长为xm，
在Rt△CBE中，∵∠CBE＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴CE＝BE＝xm，
∴AE＝AB+BE＝40+x（m）
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，
∴tan30°＝
即＝，
解得，x＝20+20
≈20×1.732+20
＝54.64（m）
所以CD＝CE+ED
＝54.65+1.5＝56.15≈56（m）
答：该建筑物的高度约为56m．
14．解：Rt△AFE中，tan∠AFE＝tan61°＝，
设AE＝x，则EF＝，
由已知得：CF＝DH＝15，
Rt△ACE中，tan∠ACE＝，
∵∠ACE＝42°，
∴tan42°＝0.90＝，
解得：x＝27，
∴AB＝BE+AE＝1.5+27＝28.5≈29；
答：佛像的高度AB是29米．
15．解：∵tanα＝，
∴设AB＝3a，则BC＝4a，
∵tan30°＝，即＝
解得，a＝，
∴AB＝3a＝≈752，
则小山岗的高AB为752米．
16．解：（1）Rt△ABH中，i＝tan∠BAH＝＝，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝5；
（2）过B作BG⊥DE于G，
由（1）得：BH＝5，AH＝5，
∴BG＝AH+AE＝5+15，
Rt△BGC中，∠CBG＝45°，
∴CG＝BG＝5+15．
Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15，
∴DE＝AE＝15．
∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝20﹣10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
17．解：设AB＝x米
∵∠C＝45°
∴在Rt△ABC中，BC＝AB＝x米，
∵∠ADB＝60°，
又∵CD＝6米，
∴在Rt△ADB中
tan∠ADB＝
tan60°＝
解得
答，建筑物的高度为14.2米．
18．解：（1）作AE⊥CD于点E，
设CE＝x，
在Rt△ACE中，∠CAE＝30°，则AE＝x，可得BD＝AE＝x；
在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则CD＝BD＝3x，
∵CD＝CE+DE，
∴3x＝30+x，
解得：x＝15，
∴BD＝15（米），
答：甲、乙两建筑物之间的距离BD为15米；
（2）由（1）知，CD＝3x＝45（米），
答：乙建筑物的高CD为45米．
19．解：作BF⊥CD于点F，设DF＝x米，
在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，
则BF＝＝＝x，
在直角△DCE中，DC＝x+CF＝3+x（米），
在直角△DCE中，tan∠DEC＝，则EC＝＝＝（x+3）米．
∵BF﹣CE＝AE，即x﹣（x+3）＝18．
解得：x＝9+，
则CD＝9++3＝9+（米）．
答：CD的高度是（9+）米．
20．解：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝420米，
∴CD＝AD tan30°＝420×＝140（米），
∴AE＝CD＝140米．
在Rt△ABE中，
∵∠BAE＝30°，AE＝140米，
∴BE＝AE tan30°＝140×＝140（米），
∴BC＝AD﹣BE＝420﹣140＝280（米），
答：这栋楼的高度为280米．
21．解：设DB＝xm，
在Rt△ADB中，AB＝xtan60°＝xm，
在Rt△ACB中，＝tan30°，即＝，
整理得，3x＝x+20，
解得，x＝10，
则AB＝10m．
故建筑物AB的高度是10m．
1．一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB（结果保留3个有效数字，≈2.449）．
2．如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东的60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东的30°方向，已知该岛周围10海里内有暗礁．
（1）B处离岛C有多远？
（2）如果渔船继续向东航行，需要多长时间到达距离岛C最近的位置？
（3）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
3．一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？
4．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）
5．小亮一家到桃林口水库游玩．在岸边码头P处，小亮和爸爸租船到库区游玩，妈妈在岸边码头P处观看小亮与爸爸在水面划船，小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行，划行速度是20米/分钟，划行10分钟后到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处，在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
6．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行20海里到达C处时，测得小岛A在北船的北偏东30°的方向．
（1）若小岛A到这艘轮船航行路线BC的距离是AD，求AD的长．
（2）已知在小岛周围17海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）
7．如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛200海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量船从A处航行到B处的路程（结果保留根号）．
8．如图，在东西方向的海岸线MN上有A，B两艘船，船长都收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向36海里处，船P在船B顶点北偏西37°方向，若船A，船B分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发，匀速前往救援，通过计算判断哪艘船先到达船P处．（参考数据＝1.73，sin37°＝0.6，cos37°＝0.80）
9．4月12日上午，蓝鲸凌波，战舰驰骋，银鹰翱翔，中央军委在南海某海域举行海上阅兵，如图，军舰位于军舰P的北偏东60°方向上，两舰的距离为120海里，军舰B位于军舰A的正南方向，军舰P的南偏东45°方向上，求军舰B与军舰P之间的距离（结果保留根号）．
10．某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口240海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求：
（1）∠ACB的度数；
（2）此时刻船与B港口之间的距离CB的长（结果保留根号）．
11．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）
12．如图，为测量某建筑物AB的高度，在离该建筑物底部20m的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为38.5°，目高CD为1.6m．求建筑物AB的高度．（结果精确到1m）
【参考数据：sin38.5°＝0.623，cos38.5°＝0.783，tan38.5°＝0.795】
13．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了40m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（结果精确到1m）（参考数据：≈1.732，≈1.414）
14．敦煌莫高窟是甘肃省敦煌市境内的莫高窟、西千佛洞的总称，是我国著名的四大石窟之一，也是世界上现存规模最宏大、保存最完好的佛教艺术宝库，数学课外实践活动中，小明为测量莫高窟内佛像高度，分别在点D、H处用高为1.5米的测角仪对佛像进行了测量，如图，测得∠ACE＝42°，∠AFE＝61°，若DH＝15米，求佛像的高度AB．（结果精确到1米，参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80）
15．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C水平距离300米的D处，测得山顶A的仰角为30°，点B、C、D在同一条直线上，求小山岗的高AB（结果保留整数或保留精确值）（参考数据≈1.732）
16．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米．
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
17．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为45°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为60°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.732，≈1.414）
18．如图，线段AB、CD分别表示在同一水平线上的甲、乙两建筑物的高，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D．从B点测到C点的仰角α为60°，从A点测得C点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米．
（1）求甲、乙两建筑物之间的距离BD．
（2）求乙建筑物的高CD．
19．如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为30°，60°，求CD的高度．（结果保留根号）
20．热气球的探测器显示，从热气球底部a处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部俯角为60°，热气球a处与地面距离为420米，求这栋楼的高度．
21．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是多少m？（结果用根式表示）
参考答案
1．解：由示意图可知：∠ACB＝60°，
由平行线的性质可知∠ABC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
则∠A＝180°﹣∠C﹣∠B＝45°，BC＝80×＝40（海里），
过B作BD⊥AC于点D，
则∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，
∴DC＝BC＝20海里，
由勾股定理得：BD＝20海里，
∵∠A＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠A＝45°，
∴AD＝BD＝20海里，
由勾股定理得：AB＝＝＝20≈49.0（海里），
答：此时货轮距灯塔A的距离AB为49.0海里．
2．解：（1）过C作CO⊥AB于O，则CO为渔船向东航行到C道最短距离，
∵在A处测得岛C在北偏东的60°，
∴∠CAB＝30°，
又∵B处测得岛C在北偏东30°，
∴∠CBO＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝∠CAB＝30°，
∴AB＝BC＝12×1＝12（海里）（等边对等角）；
（2）∵CO⊥AB，∠CBO＝60°
∴BO＝BC×cos∠CBO＝12×＝6（海里），
6÷12＝0.5（小时），
答：如果渔船继续向东航行，需要0.5小时到达距离岛C最近的位置；
（3）∵CO⊥AB，∠CBO＝60°
∴CO＝BC×sin∠CBO＝12×sin60°＝6（海里），
∵6＞10，
∴如果渔船继续向东航行，没有触礁危险；
3．解：如图，作PD⊥AB交AB延长线于D点，
∵∠PBC＝30°，
∴∠PAB＝15°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝15°，
∴PB＝AB＝20×2＝40 （海里），
在Rt△BPD中，
∴PD＝PB＝20（海里），
∵20＞18，
∴不会触礁．
4．解：若渔船继续向东航行，无触礁的危险．理由如下：
如图，过点A作AD⊥BC于点D．
由题意得：∠ABD＝45°，∠ACD＝30°．
设AD＝x海里．
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝x海里．
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，
∴CD＝AD＝x海里．
∵BD+DC＝30，
∴x+x＝30，
解得x＝15（﹣1），
15（﹣1）≈10.5海里＞8海里，
即：若渔船继续向东航行，无触礁危险．
5．解：作PQ⊥AB于Q，根据已知，∠APQ＝30°．
则AQ＝AP
∵AP＝20×10＝200
∴AQ＝100
∴PQ＝＝100，
在Rt△BPQ中，sinB＝，
∴PB＝100÷0.60≈288米
∴此时，小亮与妈妈相距288米．
6．解：（1）如图所示．
则有∠ABD＝30°，∠ACD＝60°．
∴∠CAB＝∠ABD，
∴BC＝AC＝20海里．
在Rt△ACD中，设CD＝x海里，
则AC＝2x，AD＝＝x，
在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2x，
BD＝＝3x，
又∵BD＝BC+CD，
∴3x＝20+x，
∴x＝10．
∴AD＝x＝10≈17.32（海里）；
（2）∵17.32海里＞17海里，
∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．
7．解：设东西方向为PQ，则PQ⊥AB，设垂足为Q，
Rt△APQ中，∠APQ＝90°﹣60o＝30o，
∴AQ＝AP＝100海里．PQ＝AP＝100海里．
Rt△PBQ中，∠BPQ＝90°﹣45o＝45o，
∴BQ＝PQ＝100海里，
∴AB＝（100+100）海里，
答：从A处到B处路程为（100+100）海里．
8．解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，
则有∠APE＝60°，∠BPE＝37°，
在Rt△APE中，∠APE＝60°，
∴∠PAE＝30°，
∴PE＝PA＝18，
在Rt△PBE中，
∴PB＝＝＝22.5，
∵＝1.2（小时），22.5÷20＝1.125（小时），
所以，船B先到达船P处．
9．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，
根据题意可得出：∠A＝60°，∠B＝45°，AP＝120，
在Rt△APC中，∵cos∠A＝，
∴PC＝PA cos∠A＝60（海里），
在Rt△PCB中，∵∠b＝45°，
∴PC＝BC，
∴PB＝（海里）．
答：军舰B与军舰P之间的距离约为60海里．
10．解：（1）如图，∵∠EAB＝30°，AE∥BF，
∴∠FBA＝30°，
又∵∠FBC＝75°，
∴∠ABC＝45°
又∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝30°+45°＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣45°﹣75°＝60°；
（2）如图，作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝45°，AB＝240
∴AD＝BD＝（海里）
在Rt△ACD中，∵∠C＝60°，AD＝
∴（海里）
∴BC＝BD+CD＝+（海里）
答：该船与B港口之间的距离CB的长为（+）海里．
11．解：作PC⊥AB于C点，
∴∠APC＝30°，∠BPC＝45° AP＝80（海里）．
在Rt△APC中，cos∠APC＝，
∴PC＝PA cos∠APC＝40（海里）．
在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，
∴PB＝＝＝40≈98（海里）．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
12．解：过D作DE⊥AB于点E，
∴四边形BCDE为矩形，
DE＝BC＝20米，CD＝BE＝1.6米，
在Rt△ADE中，
∵∠ADE＝38.5°，
∴tan∠ADE＝＝tan38.5°＝0.795，
∴AE＝DE tan38.5°＝20×0.795＝15.9（米），
∴AB＝AE+EB＝15.9+1.6＝17.5≈18（米）．
答：建筑物的高度AB约为18米．
13．解：设CE的长为xm，
在Rt△CBE中，∵∠CBE＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴CE＝BE＝xm，
∴AE＝AB+BE＝40+x（m）
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，
∴tan30°＝
即＝，
解得，x＝20+20
≈20×1.732+20
＝54.64（m）
所以CD＝CE+ED
＝54.65+1.5＝56.15≈56（m）
答：该建筑物的高度约为56m．
14．解：Rt△AFE中，tan∠AFE＝tan61°＝，
设AE＝x，则EF＝，
由已知得：CF＝DH＝15，
Rt△ACE中，tan∠ACE＝，
∵∠ACE＝42°，
∴tan42°＝0.90＝，
解得：x＝27，
∴AB＝BE+AE＝1.5+27＝28.5≈29；
答：佛像的高度AB是29米．
15．解：∵tanα＝，
∴设AB＝3a，则BC＝4a，
∵tan30°＝，即＝
解得，a＝，
∴AB＝3a＝≈752，
则小山岗的高AB为752米．
16．解：（1）Rt△ABH中，i＝tan∠BAH＝＝，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝5；
（2）过B作BG⊥DE于G，
由（1）得：BH＝5，AH＝5，
∴BG＝AH+AE＝5+15，
Rt△BGC中，∠CBG＝45°，
∴CG＝BG＝5+15．
Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15，
∴DE＝AE＝15．
∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝20﹣10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
17．解：设AB＝x米
∵∠C＝45°
∴在Rt△ABC中，BC＝AB＝x米，
∵∠ADB＝60°，
又∵CD＝6米，
∴在Rt△ADB中
tan∠ADB＝
tan60°＝
解得
答，建筑物的高度为14.2米．
18．解：（1）作AE⊥CD于点E，
设CE＝x，
在Rt△ACE中，∠CAE＝30°，则AE＝x，可得BD＝AE＝x；
在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则CD＝BD＝3x，
∵CD＝CE+DE，
∴3x＝30+x，
解得：x＝15，
∴BD＝15（米），
答：甲、乙两建筑物之间的距离BD为15米；
（2）由（1）知，CD＝3x＝45（米），
答：乙建筑物的高CD为45米．
19．解：作BF⊥CD于点F，设DF＝x米，
在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，
则BF＝＝＝x，
在直角△DCE中，DC＝x+CF＝3+x（米），
在直角△DCE中，tan∠DEC＝，则EC＝＝＝（x+3）米．
∵BF﹣CE＝AE，即x﹣（x+3）＝18．
解得：x＝9+，
则CD＝9++3＝9+（米）．
答：CD的高度是（9+）米．
20．解：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝420米，
∴CD＝AD tan30°＝420×＝140（米），
∴AE＝CD＝140米．
在Rt△ABE中，
∵∠BAE＝30°，AE＝140米，
∴BE＝AE tan30°＝140×＝140（米），
∴BC＝AD﹣BE＝420﹣140＝280（米），
答：这栋楼的高度为280米．
21．解：设DB＝xm，
在Rt△ADB中，AB＝xtan60°＝xm，
在Rt△ACB中，＝tan30°，即＝，
整理得，3x＝x+20，
解得，x＝10，
则AB＝10m．
故建筑物AB的高度是10m．