鲁教版（五四制）2021-2022学年九年级数学下册5.4圆周角与圆心角的关系 同步练习题（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）2021-2022学年九年级数学下册5.4圆周角与圆心角的关系 同步练习题（word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 511.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-16 16:22:10 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.4圆周角与圆心角的关系》同步练习题（附答案）
1．如图，AB为⊙O的直径，AC＝2，BC＝4，CD＝BD＝DE，则CE＝（ ）
A．3﹣ B． C．3﹣ D．3﹣
2．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，则∠CAB等于（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
3．如图，已知∠DEC＝80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（ ）
A．35° B．45° C．25° D．50°
4．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）个．
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为 ．
6．如图⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠BOD＝160°，则∠DCE＝ ．
7．如图四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB＝60°，∠ADC＝106°，则∠OCB＝ °．
8．如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD＝30°，且BE＝1，则CD＝ ．
9．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠AOE＝72°，则∠COD＝ °．
10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD的平分线交⊙O于点P，交DC的延长线于点E，若∠BAD＝86°，则∠PCE＝ °．
11．如图，半圆的半径OC＝2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC＝CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE＝2，则弦BD的长为 ．
12．如图，在⊙O中，AB是直径，∠C＝15°，则∠BAD＝ 度．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA＝ ．
15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝70°，∠OBC＝60°，则∠ODC＝ ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD＝2，则BE长为 ．
17．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连接OD、OE，若∠A＝65°，求∠DOE的度数．
18．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，＝．请连接线段CB，求四边形ABCD各内角的度数．
19．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
20．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
24．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
25．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过圆心O作OD⊥AC，D为垂足，E是BC上一点，G是DE的中点，OG的延长线交BC于F．
（1）图中线段OD，BC所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程；
（2）猜想线段BE，EF，FC三者之间有怎样的数量关系？写出你的结论，并给出证明过程．
26．如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为的中点，BF交AD于点E，且BE EF＝32，AD＝6．
（1）求证：AE＝BE；
（2）求DE的长；
（3）求BD的长．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．
28．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB．
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB＝2，∠AOE＝30°，求PE的长．
参考答案
1．解：解法一：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠CAD+∠ACE，∠DCE＝∠ECB+∠DCB，
∴∠CAD+∠ACE＝∠ECB+∠DCB，
∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠ECB＝45°，
∵CD＝BD，
∴，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴E是Rt△ABC的内心，
∴⊙E的半径为：＝3﹣，
∴CE＝（3﹣）＝3﹣；
解法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝2，BC＝4，
∴AB＝＝2，
∵CD＝BD，
∴，
∴∠CAD＝∠BAD，
过D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，连接OD，
∴PD＝DQ，
∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），
∴CP＝BQ，
易得△APD≌△AQD，
∴AP＝AQ，
设PC＝x，则AP＝2+x，AQ＝AB﹣BQ＝2﹣x，
∴2+x＝2﹣x，
x＝﹣1，
∴BQ＝CP＝﹣1，OQ＝1，
Rt△ODQ中，DQ＝PD＝＝2，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠CAD+∠ACE，∠DCE＝∠ECB+∠DCB，
∴∠CAD+∠ACE＝∠ECB+∠DCB，
∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠ECB＝45°，
过E作EF⊥AP于F，
∴△EFC是等腰直角三角形，
设EF＝FC＝a，则CE＝a，AF＝2﹣a，
∵EF∥PD，
∴△AFE∽△APD，
∴，
∴，
∴a＝3﹣，
∴CE＝a＝（3﹣）＝3﹣；
故选：D．
2．解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，
∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．
故选：D．
3．解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，
∴2（∠A﹣∠D）＝20°
即∠A﹣∠D＝10°
∵∠DEC＝80°
∴∠DEC＝∠D+∠A＝80°
∴∠A＝45°，∠D＝35°．
故选：B．
4．解：分三种情况考虑：
①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；
②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；
③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y轴相切，
则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7．
综上，所有满足题意的C有7个．
故选：B．
5．解：连接BC，作OH⊥BC于H，
则CH＝BH，
在Rt△ACB中，BC＝＝，
∴CH＝BC＝，
∵∠OCH＝∠BCA，
∴Rt△COH∽Rt△CBA，
∴＝，即＝，
解得，OC＝3.4．
故答案为：3.4cm．
6．解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝80°，
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝80°，
故答案为：80°．
7．解：∵OC∥AD，
∴∠OCD＝180°﹣∠ADC＝74°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＝180°﹣∠DAB＝120°，
∴∠OCB＝∠BCD﹣∠OCD＝46°，
故答案为：46．
8．解：连接OD，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠BAD＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∴OE＝OD＝OB，
∴OE＝BE＝1，OD＝2，
由勾股定理得，DE＝＝，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2DE＝2，
故答案为：2．
9．解：∵∠AOE＝72°，
∴∠EOB＝108°．
∵＝＝，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝∠EOB＝108°＝36°．
故答案为：36．
10．解：∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAD＝43°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠PCE＝∠DAE＝43°，
故答案为：43．
11． 解：如图，连接OD，AD，
∵BC＝DC，BO＝DO，
∴∠BDC＝∠DBC，∠BDO＝∠DBO，
∴∠CDO＝∠CBO，
又∵OC＝OB＝OD，
∴∠BCO＝∠DCO，即OC平分∠BCD，
又∵BC＝DC，
∴BD⊥CO，
又∵AB是直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥CO，
又∵AE＝AO＝2，
∴AD＝CO＝1，
∴Rt△ABD中，BD＝＝＝．
故答案为：．
12．解：连接BD，
由圆周角定理得，∠B＝∠C＝15°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝75°，
故答案为：75．
13．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，
∴CG＝GD，CF＝FG＝CG，
∵CF＝2，∴CG＝GD＝2×2＝4，FD＝2+4＝6，
由相交弦定理得EF AF＝CF FD（这里利用相似三角形的性质证明），
即EF＝＝＝4，
故EF的长是4．
14．解：∵点C是半径OA的中点，
∴OC＝OD，
∵DE⊥AB，
∴∠CDO＝30°，
∴∠DOA＝60°，
∴∠DFA＝30°，
故答案为：30°．
15．解：∵∠A＝70°
∴∠C＝180°﹣∠A＝110°，
∴∠BOD＝2∠A＝140°，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ODC＝360°﹣110°﹣140°﹣60°＝50°，
故答案为：50°．
16．解：连接AD，如图所示：
∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∴BM＝EM，
∴CE＝2MD＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝6，
∴BE＝＝＝8；
故答案为：8．
17．解：∵∠A＝65°，
∴∠B+∠C＝180°﹣65°＝115°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB+∠OEC＝115°，
∴∠BOD+∠COE＝360°﹣230°＝130°，
∴∠DOE＝180°﹣130°＝50°．
18．解：连接BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠B＝70°，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，
∵弧AD＝弧CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣110°）＝35°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝55°，∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝125°，
即四边形ABCD各内角的度数发你为55°，70°，125°，110°．
19．解：（1）∠E＝∠F，
∵∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（3）连接EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+α+β＝180°，
∴∠A＝90°﹣．
20．证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图1，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB＝AB PE，S△ABC＝AB CF，
∴S四边形APBC＝AB （PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×2×＝．
21．解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝＝＝55°
∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；
（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
又∵OA＝OB，
∴OE＝BC＝．
又∵OD＝AB＝2，
∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．
22．（1）解：∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝39°，
∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝39°+39°＝78°；
（2）证明：∵EC＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
而∠CEB＝∠2+∠BAE，∠CBE＝∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD，
∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，
∴∠1＝∠2．
23．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠AEB，
∴∠A＝∠AEB；
（2）∵∠A＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF＝DF，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED＝EC，
∵DC＝DE，
∴DC＝DE＝EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
24．（1）证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）方法一：
解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB＝AC，
∴BE＝CE＝BC＝，
∵△CDE∽△CBA，
∴，
∴CE CB＝CD CA，AC＝AB＝4，
∴ 2＝4CD，
∴CD＝．
方法二：
解：连接BD，
∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
设CD＝a，
由（1）知AC＝AB＝4，
则AD＝4﹣a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2
在Rt△CBD中，由勾股定理可得：
BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2
∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2
整理得：a＝，
即：CD＝．
25．解：（1）结论：OD∥BC，
证明：∵AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°．
即BC⊥AC．
∵OD⊥AC，
∴OD∥BC．
（2）结论：EF＝BE+FC，
证明：∵OD⊥AC，
∴AD＝DC．
∵O为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线．
∴BC＝2OD．
∵，∠ODG＝∠FEG，DG＝EG，∠GOD＝∠GFE，
∴△ODG≌△FEG．
∴OD＝EF．
∴BE+EF+FC＝BC＝2OD＝2EF．
∴EF＝BE+FC．
26．（1）证明：连AF，AB，AC．因为A是的中点，
∴∠ABE＝∠AFB．
又∠AFB＝∠ACB，
∴∠ABE＝∠ACB．
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，AH⊥BC．
∴∠BAE＝∠ACB．
∴∠ABE＝∠BAE．
∴AE＝BE．
（2）解：设DE＝x（x＞0），由AD＝6，BE EF＝32，AE EH＝BE EF，
则（6﹣x）（6+x）＝32，
解得x＝2，
即DE的长为2；
（3）解：由（1）、（2）有：BE＝AE＝6﹣2＝4，
在Rt△BDE中，BD＝＝．
27．（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
∵AE＝EF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AC＝AB，
∴四边形ABFC是菱形．
（2）设CD＝x．连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，
∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，
解得x＝1或﹣8（舍弃）
∴AC＝8，BD＝＝，
∴S菱形ABFC＝8．
∴S半圆＝ π 42＝8π．
28．（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C＝∠BAC．
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC．
∴∠BAC＝∠OAC．
即AC平分∠OAB．
（2）解：∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝1．
又∵∠AOE＝30°，∠PEA＝90°，
∴∠OAE＝60°．
∴∠EAP＝∠OAE＝30°，
∴PE＝AE×tan30°＝1×＝，
即PE的长是．
1．如图，AB为⊙O的直径，AC＝2，BC＝4，CD＝BD＝DE，则CE＝（ ）
A．3﹣ B． C．3﹣ D．3﹣
2．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，则∠CAB等于（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
3．如图，已知∠DEC＝80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（ ）
A．35° B．45° C．25° D．50°
4．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）个．
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为 ．
6．如图⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠BOD＝160°，则∠DCE＝ ．
7．如图四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB＝60°，∠ADC＝106°，则∠OCB＝ °．
8．如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD＝30°，且BE＝1，则CD＝ ．
9．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠AOE＝72°，则∠COD＝ °．
10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD的平分线交⊙O于点P，交DC的延长线于点E，若∠BAD＝86°，则∠PCE＝ °．
11．如图，半圆的半径OC＝2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC＝CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE＝2，则弦BD的长为 ．
12．如图，在⊙O中，AB是直径，∠C＝15°，则∠BAD＝ 度．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA＝ ．
15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝70°，∠OBC＝60°，则∠ODC＝ ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD＝2，则BE长为 ．
17．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连接OD、OE，若∠A＝65°，求∠DOE的度数．
18．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，＝．请连接线段CB，求四边形ABCD各内角的度数．
19．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
20．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
24．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
25．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过圆心O作OD⊥AC，D为垂足，E是BC上一点，G是DE的中点，OG的延长线交BC于F．
（1）图中线段OD，BC所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程；
（2）猜想线段BE，EF，FC三者之间有怎样的数量关系？写出你的结论，并给出证明过程．
26．如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为的中点，BF交AD于点E，且BE EF＝32，AD＝6．
（1）求证：AE＝BE；
（2）求DE的长；
（3）求BD的长．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．
28．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB．
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB＝2，∠AOE＝30°，求PE的长．
参考答案
1．解：解法一：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠CAD+∠ACE，∠DCE＝∠ECB+∠DCB，
∴∠CAD+∠ACE＝∠ECB+∠DCB，
∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠ECB＝45°，
∵CD＝BD，
∴，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴E是Rt△ABC的内心，
∴⊙E的半径为：＝3﹣，
∴CE＝（3﹣）＝3﹣；
解法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝2，BC＝4，
∴AB＝＝2，
∵CD＝BD，
∴，
∴∠CAD＝∠BAD，
过D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，连接OD，
∴PD＝DQ，
∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），
∴CP＝BQ，
易得△APD≌△AQD，
∴AP＝AQ，
设PC＝x，则AP＝2+x，AQ＝AB﹣BQ＝2﹣x，
∴2+x＝2﹣x，
x＝﹣1，
∴BQ＝CP＝﹣1，OQ＝1，
Rt△ODQ中，DQ＝PD＝＝2，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠CAD+∠ACE，∠DCE＝∠ECB+∠DCB，
∴∠CAD+∠ACE＝∠ECB+∠DCB，
∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠ECB＝45°，
过E作EF⊥AP于F，
∴△EFC是等腰直角三角形，
设EF＝FC＝a，则CE＝a，AF＝2﹣a，
∵EF∥PD，
∴△AFE∽△APD，
∴，
∴，
∴a＝3﹣，
∴CE＝a＝（3﹣）＝3﹣；
故选：D．
2．解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，
∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．
故选：D．
3．解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，
∴2（∠A﹣∠D）＝20°
即∠A﹣∠D＝10°
∵∠DEC＝80°
∴∠DEC＝∠D+∠A＝80°
∴∠A＝45°，∠D＝35°．
故选：B．
4．解：分三种情况考虑：
①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；
②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；
③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y轴相切，
则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7．
综上，所有满足题意的C有7个．
故选：B．
5．解：连接BC，作OH⊥BC于H，
则CH＝BH，
在Rt△ACB中，BC＝＝，
∴CH＝BC＝，
∵∠OCH＝∠BCA，
∴Rt△COH∽Rt△CBA，
∴＝，即＝，
解得，OC＝3.4．
故答案为：3.4cm．
6．解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝80°，
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝80°，
故答案为：80°．
7．解：∵OC∥AD，
∴∠OCD＝180°﹣∠ADC＝74°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＝180°﹣∠DAB＝120°，
∴∠OCB＝∠BCD﹣∠OCD＝46°，
故答案为：46．
8．解：连接OD，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠BAD＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∴OE＝OD＝OB，
∴OE＝BE＝1，OD＝2，
由勾股定理得，DE＝＝，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2DE＝2，
故答案为：2．
9．解：∵∠AOE＝72°，
∴∠EOB＝108°．
∵＝＝，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝∠EOB＝108°＝36°．
故答案为：36．
10．解：∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAD＝43°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠PCE＝∠DAE＝43°，
故答案为：43．
11． 解：如图，连接OD，AD，
∵BC＝DC，BO＝DO，
∴∠BDC＝∠DBC，∠BDO＝∠DBO，
∴∠CDO＝∠CBO，
又∵OC＝OB＝OD，
∴∠BCO＝∠DCO，即OC平分∠BCD，
又∵BC＝DC，
∴BD⊥CO，
又∵AB是直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥CO，
又∵AE＝AO＝2，
∴AD＝CO＝1，
∴Rt△ABD中，BD＝＝＝．
故答案为：．
12．解：连接BD，
由圆周角定理得，∠B＝∠C＝15°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝75°，
故答案为：75．
13．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，
∴CG＝GD，CF＝FG＝CG，
∵CF＝2，∴CG＝GD＝2×2＝4，FD＝2+4＝6，
由相交弦定理得EF AF＝CF FD（这里利用相似三角形的性质证明），
即EF＝＝＝4，
故EF的长是4．
14．解：∵点C是半径OA的中点，
∴OC＝OD，
∵DE⊥AB，
∴∠CDO＝30°，
∴∠DOA＝60°，
∴∠DFA＝30°，
故答案为：30°．
15．解：∵∠A＝70°
∴∠C＝180°﹣∠A＝110°，
∴∠BOD＝2∠A＝140°，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ODC＝360°﹣110°﹣140°﹣60°＝50°，
故答案为：50°．
16．解：连接AD，如图所示：
∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∴BM＝EM，
∴CE＝2MD＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝6，
∴BE＝＝＝8；
故答案为：8．
17．解：∵∠A＝65°，
∴∠B+∠C＝180°﹣65°＝115°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB+∠OEC＝115°，
∴∠BOD+∠COE＝360°﹣230°＝130°，
∴∠DOE＝180°﹣130°＝50°．
18．解：连接BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠B＝70°，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，
∵弧AD＝弧CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣110°）＝35°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝55°，∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝125°，
即四边形ABCD各内角的度数发你为55°，70°，125°，110°．
19．解：（1）∠E＝∠F，
∵∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（3）连接EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+α+β＝180°，
∴∠A＝90°﹣．
20．证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图1，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB＝AB PE，S△ABC＝AB CF，
∴S四边形APBC＝AB （PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×2×＝．
21．解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝＝＝55°
∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；
（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
又∵OA＝OB，
∴OE＝BC＝．
又∵OD＝AB＝2，
∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．
22．（1）解：∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝39°，
∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝39°+39°＝78°；
（2）证明：∵EC＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
而∠CEB＝∠2+∠BAE，∠CBE＝∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD，
∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，
∴∠1＝∠2．
23．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠AEB，
∴∠A＝∠AEB；
（2）∵∠A＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF＝DF，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED＝EC，
∵DC＝DE，
∴DC＝DE＝EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
24．（1）证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）方法一：
解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB＝AC，
∴BE＝CE＝BC＝，
∵△CDE∽△CBA，
∴，
∴CE CB＝CD CA，AC＝AB＝4，
∴ 2＝4CD，
∴CD＝．
方法二：
解：连接BD，
∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
设CD＝a，
由（1）知AC＝AB＝4，
则AD＝4﹣a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2
在Rt△CBD中，由勾股定理可得：
BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2
∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2
整理得：a＝，
即：CD＝．
25．解：（1）结论：OD∥BC，
证明：∵AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°．
即BC⊥AC．
∵OD⊥AC，
∴OD∥BC．
（2）结论：EF＝BE+FC，
证明：∵OD⊥AC，
∴AD＝DC．
∵O为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线．
∴BC＝2OD．
∵，∠ODG＝∠FEG，DG＝EG，∠GOD＝∠GFE，
∴△ODG≌△FEG．
∴OD＝EF．
∴BE+EF+FC＝BC＝2OD＝2EF．
∴EF＝BE+FC．
26．（1）证明：连AF，AB，AC．因为A是的中点，
∴∠ABE＝∠AFB．
又∠AFB＝∠ACB，
∴∠ABE＝∠ACB．
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，AH⊥BC．
∴∠BAE＝∠ACB．
∴∠ABE＝∠BAE．
∴AE＝BE．
（2）解：设DE＝x（x＞0），由AD＝6，BE EF＝32，AE EH＝BE EF，
则（6﹣x）（6+x）＝32，
解得x＝2，
即DE的长为2；
（3）解：由（1）、（2）有：BE＝AE＝6﹣2＝4，
在Rt△BDE中，BD＝＝．
27．（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
∵AE＝EF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AC＝AB，
∴四边形ABFC是菱形．
（2）设CD＝x．连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，
∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，
解得x＝1或﹣8（舍弃）
∴AC＝8，BD＝＝，
∴S菱形ABFC＝8．
∴S半圆＝ π 42＝8π．
28．（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C＝∠BAC．
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC．
∴∠BAC＝∠OAC．
即AC平分∠OAB．
（2）解：∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝1．
又∵∠AOE＝30°，∠PEA＝90°，
∴∠OAE＝60°．
∴∠EAP＝∠OAE＝30°，
∴PE＝AE×tan30°＝1×＝，
即PE的长是．