鲁教版（五四制） 2021-2022学年九年级数学下册5.6直线与圆的位置关系 同步练习题（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制） 2021-2022学年九年级数学下册5.6直线与圆的位置关系 同步练习题（word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 474.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-16 16:24:16 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.6直线与圆的位置关系》同步练习题（附答案）
1．如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P＝40°，则∠DOE等于（ ）度．
A．40 B．50 C．70 D．80
2．两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB＝8，则形成的圆环的面积为（ ）
A．无法求出 B．8 C．8π D．16π
3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
4．如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，点D为上一点，若∠P＝40°，则∠ADC等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
5．如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，则下列等式：
①∠EDF＝∠B；
②2∠EDF＝∠A+∠C；
③2∠A＝∠FED+∠EDF；
④∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，AC经过圆心O交⊙O于点D，AB与⊙O相切于点B．若∠A＝x（0°＜x＜90°）∠C＝y，则y与x之间的函数关系图象是（ ）
A．B． C．D．
7．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是（ ）A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
8．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A＝25°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
9．下列关于圆的切线的说法正确的是（ ）
A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B．与圆只有一个公共点的射线是圆的切线
C．经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
D．如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线
10．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（ ）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线 B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线 D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
11．下列说法错误的是（ ）
A．过圆上一点可以作一条直线和圆相切
B．过圆外一点可以作两条直线和圆相切
C．从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等
D．从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等
12．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
14．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（ ）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
15．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB上一点，⊙O与BC相切于点E，交AB于点F，连接AE，若AF＝2BF，则∠CAE的度数是 ．
17．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，且BD＝CD，DF⊥AC于点F．给出以下四个结论：
①DF是⊙O的切线；②CF＝EF；③＝；④∠A＝2∠FDC．
其中正确结论的序号是 ．
18．如图，已知点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC＝BC，AC＝OB．则AB （填“是”或“不是”）⊙O的切线．
19．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
20．如图所示，AB是⊙O的一条弦，DB切⊙O于点B，过点D作DC⊥OA于点C，DC与AB相交于点E．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠BDE＝70°，求∠AOB的大小．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若∠BEC＝30°，求证：以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．
22．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD＝OC．
（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；
（2）探究：
①当∠B＝ °时，四边形OCAD是菱形；
②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．
24．已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD；
（2）DF是⊙O的切线．
25．已知：AB是⊙O的直径，C是AB上一点，PC⊥AB，交⊙O于F，PDE是割线，交⊙O于D、E．求证：PC2＝PD PE+AC CB．
26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线．
27．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．
（1）若∠BAC＝70°，求∠CBD的度数；
（2）求证：DE＝DB．
参考答案
1．解：连接OA、OB、OF，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，
∴∠AOD＝∠FOD，∠BOE＝∠FOE，
∴∠DOE＝∠AOB＝×140°＝70°．
故选：C．
2．解：如图所示，
∵弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴AC＝BC＝AB＝4，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA2﹣OC2＝AC2＝16，
则形成圆环的面积为πOA2﹣πOC2＝π（OA2﹣OC2）＝16π，
故选：D．
3．解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2＝1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2＝5，
故选：D．
4．解：连接BC．
∵PB是切线，
∴AB⊥PB，
∴∠ABP＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠P＝40°，
∴∠ADC＝∠ABC＝40°，
故选：C．
5．解：不妨设∠B＝80°，∠A＝40°，∠C＝60°．
∵△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，
∴BE＝BF，AE＝AD，CF＝CD，
∴∠BEF＝∠BFE＝∠EDF＝50°，∠CFD＝∠CDF＝∠FED＝60°，∠AED＝∠ADE＝∠EFD＝70°，
∴∠EDF≠∠B，2∠A≠∠FED+∠EDF，故①③不正确，
∵∠B+∠BEF+∠EFB＝180°，∠B+∠A+∠C＝180°，
∴∠BEF+∠BFE＝∠A+∠C，
∴2∠EDF＝∠A+∠C，故②正确，
∵∠AED＝∠EFD，∠BFE＝∠EDF，∠CDF＝∠FED，
∴∠AED+∠BFE+∠CDF＝∠EFD+∠EDF+∠FED＝180°，故④正确．
故选：B．
6．解：
连接OB，如图，则∠BOA＝2∠C＝2y，
∵AB为⊙O切线，
∴∠ABO＝90°，
∴∠A+∠BOA＝90°，
即x+2y＝90°，
∴y＝﹣x+45°，
当x＝0°时，y＝45°，当y＝0°时，x＝90°，
故选：A．
7．解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d＝8，
∵r＝5，
∴d＞r，
∴⊙P与x轴的相离．
故选：B．
8．解：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝25°．
∴∠DOC＝∠A+∠ACO＝50°．
∵CD是⊙的切线，
∴∠OCD＝90°．
∴∠D＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故选：C．
9．解：A、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误；
B、与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故原命题错误；
C、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误；
D、如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线，正确．
故选：D．
10．解：A、如图，连接OE，
则OB＝OE，
∵∠B＝60°
∴∠BOE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOE＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、∵∠B＝60°，OB＝OE，
∴BE＝OB，
∵BE＝CE，
∴BC＝AB＝2BO，
∴AO＝OB，
如图，过O作OH⊥AC于H，
∵∠BAC＝60°，
∴OH＝AO≠OB，
∴C选项错误；
D、如图，∵BE＝EC，
∴CE＝BE，
∵AB＝BC，BO＝BE，
∴AO＝CE＝OB，
∴OH＝AO＝OB，
∴AC是⊙O的切线，
∴D选项正确．
故选：C．
11．解：A、过圆上一点可以作一条直线和圆相切，所以A选项的说法正确；
B、过圆外一点可以作两条直线和圆相切，所以B选项的说法正确；
C、从圆外一点引圆的两条切线，切线长长相等，所以C选项的说法错误；
D、从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，所以D选项的说法正确．
故选：C．
12．解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE＝40°，
∴∠A＝∠CBE＝40°．
故选：B．
13．解：如图，连接AC，
由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝55°，
∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．
故选：A．
14．解：如图，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝55°，
当点C在劣弧AB上，
∵∠AOB＝110°，
∴弧ACB的度数为250°，
∴∠ACB＝125°．
故选：D．
15．解：∵直线MN切⊙O于C点，
∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．
故选：C．
16．解：连接OE、EF，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵AF是直径，
∴∠AEF＝90°，
∵OA＝OF＝AF，AF＝2BF，
∴OF＝BF，
∴OE＝OF＝EF，
∴∠OEF＝60°，
∴∠AEO＝90°﹣60°＝30°，
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠CAE＝∠AEO＝30°，
故答案为30°．
17．解：连接OD、DE、AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OB，
∵DB＝DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线，①正确；
∵DF是⊙O的切线，
∴∠CED＝∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵BD＝CD，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠CED＝∠C，
∴DC＝DE，
又∵DF⊥AC，
∴CF＝EF，②正确；
当∠EAD＝∠EDA时，，
此时△ABC为等边三角形，
当△ABC不是等边三角形时，
∠EAD≠∠EDA，
则≠，
∴＝不正确；
∵DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠FDC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠FDC＝∠CAD，
又AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠A＝2∠CAD＝2∠FDC，④正确；
故答案为：①②④．
18．解：∵OC＝BC，AC＝OB，
∴AC＝OA＝OC，
∴∠OAC＝60°；
∴∠OCA＝2∠CBA＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠OAB＝60°+30°＝90°；
∴AB是⊙O的切线．
19．（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴，
∴BC2＝CD CE，
∴CD＝＝，
∴OC＝＝，
∴⊙O的半径＝．
20．解（1）证明：∵DC⊥OA，
∴∠OAB+∠CEA＝90°，
∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBA+∠ABD＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠CEA＝∠ABD，
∵∠CEA＝∠BED，
∴∠BED＝∠ABD，
∴DE＝DB．
（2）∵DE＝DB，∠BDE＝70°，
∴∠BED＝∠ABD＝55°，
∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBA＝35°，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝180°﹣2×35°＝110°．
21．证明：（1）如图1，连接OC，
∵DP是⊙O的切线，
∴OC⊥DP，
又∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）∵PD是⊙O的切线，
∴∠BCP＝∠CAB，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴∠CAF+∠ACF＝∠BCF+∠PCB，
即∠CFP＝∠PCF，
∴PC＝PF，即△PCF为等腰三角形；
（3）如图2，连接AE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴AE＝BE，
又∵AB为直径，
∴BE＝AB，
∵∠CEB＝30°，
∴∠CAB＝30°，
∴在Rt△ABC中，BC＝AB，AC＝AB，
∴BC2+BE2＝AB2＝AC2，
∴以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．
22．解：（1）∵OA＝OC，AD＝OC，
∴OA＝AD，
∴∠OAC＝∠OCA，∠AOD＝∠ADO，
∵OD∥AC，
∴∠OAC＝∠AOD，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠AOD＝∠ADO，
∴∠AOC＝∠OAD，
∴OC∥AD，
∴四边形OCAD是平行四边形；
（2）①∵四边形OCAD是菱形，
∴OC＝AC，
又∵OC＝OA，
∴OC＝OA＝AC，
∴∠AOC＝60°，
∴∠B＝∠AOC＝30°；
故答案为30．
②∵AD与⊙O相切，
∴∠OAD＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝∠AOC＝45°；
23．（1）证明：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠DCA＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝∠A；
（2）当MC＝MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；
解：连接DO，
∵DO＝CO，
∴∠1＝∠2，
∵DM＝CM，
∴∠4＝∠3，
∵∠2+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴直线DM与⊙O相切，
故当MC＝MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．
24．证明：（1）连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
∵AC＝BC，
∴AD＝BD．
（2）连接OD；
∵AD＝BD，OB＝OC，
∴OD是△BCA的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
25．证明：延长PC交⊙O于G，
由割线定理，得PD PE＝PF PG．
由相交弦定理，得AC BC＝CF CG．
∵直径AB⊥FG，
∴CF＝CG，
∴AB BC＝CF2，
∴PD PE＝PF PG＝（PC﹣CF）（PC+CG）＝（PC﹣CF）（PC+CF）＝PC2﹣CF2，
∴PD PE+AC CB＝PC2﹣CF2+CF2＝PC2，
即 PC2＝PD PE+AC CB．
26．（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE．
（2）连接CD．
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵BD＝DF，
∴CD＝DB＝DF，
∴∠DBC＝∠DCB，∠F＝∠DCF，
∴2∠DBC+2∠F＝180°，
∴∠DBC+∠F＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
27．解：（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC＝70°，
∴∠CAD＝，
∵，
∴∠CBD＝∠CAD＝35°；
（2）∵E是内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE＝∠BED，∠CBE+∠CBD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BED，
∴DE＝DB；
1．如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P＝40°，则∠DOE等于（ ）度．
A．40 B．50 C．70 D．80
2．两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB＝8，则形成的圆环的面积为（ ）
A．无法求出 B．8 C．8π D．16π
3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
4．如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，点D为上一点，若∠P＝40°，则∠ADC等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
5．如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，则下列等式：
①∠EDF＝∠B；
②2∠EDF＝∠A+∠C；
③2∠A＝∠FED+∠EDF；
④∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，AC经过圆心O交⊙O于点D，AB与⊙O相切于点B．若∠A＝x（0°＜x＜90°）∠C＝y，则y与x之间的函数关系图象是（ ）
A．B． C．D．
7．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是（ ）A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
8．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A＝25°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
9．下列关于圆的切线的说法正确的是（ ）
A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B．与圆只有一个公共点的射线是圆的切线
C．经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
D．如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线
10．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（ ）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线 B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线 D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线
11．下列说法错误的是（ ）
A．过圆上一点可以作一条直线和圆相切
B．过圆外一点可以作两条直线和圆相切
C．从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等
D．从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等
12．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
14．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（ ）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
15．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB上一点，⊙O与BC相切于点E，交AB于点F，连接AE，若AF＝2BF，则∠CAE的度数是 ．
17．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，且BD＝CD，DF⊥AC于点F．给出以下四个结论：
①DF是⊙O的切线；②CF＝EF；③＝；④∠A＝2∠FDC．
其中正确结论的序号是 ．
18．如图，已知点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC＝BC，AC＝OB．则AB （填“是”或“不是”）⊙O的切线．
19．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
20．如图所示，AB是⊙O的一条弦，DB切⊙O于点B，过点D作DC⊥OA于点C，DC与AB相交于点E．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠BDE＝70°，求∠AOB的大小．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若∠BEC＝30°，求证：以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．
22．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD＝OC．
（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；
（2）探究：
①当∠B＝ °时，四边形OCAD是菱形；
②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．
24．已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD；
（2）DF是⊙O的切线．
25．已知：AB是⊙O的直径，C是AB上一点，PC⊥AB，交⊙O于F，PDE是割线，交⊙O于D、E．求证：PC2＝PD PE+AC CB．
26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线．
27．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．
（1）若∠BAC＝70°，求∠CBD的度数；
（2）求证：DE＝DB．
参考答案
1．解：连接OA、OB、OF，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，
∴∠AOD＝∠FOD，∠BOE＝∠FOE，
∴∠DOE＝∠AOB＝×140°＝70°．
故选：C．
2．解：如图所示，
∵弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴AC＝BC＝AB＝4，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA2﹣OC2＝AC2＝16，
则形成圆环的面积为πOA2﹣πOC2＝π（OA2﹣OC2）＝16π，
故选：D．
3．解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2＝1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2＝5，
故选：D．
4．解：连接BC．
∵PB是切线，
∴AB⊥PB，
∴∠ABP＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠P＝40°，
∴∠ADC＝∠ABC＝40°，
故选：C．
5．解：不妨设∠B＝80°，∠A＝40°，∠C＝60°．
∵△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，
∴BE＝BF，AE＝AD，CF＝CD，
∴∠BEF＝∠BFE＝∠EDF＝50°，∠CFD＝∠CDF＝∠FED＝60°，∠AED＝∠ADE＝∠EFD＝70°，
∴∠EDF≠∠B，2∠A≠∠FED+∠EDF，故①③不正确，
∵∠B+∠BEF+∠EFB＝180°，∠B+∠A+∠C＝180°，
∴∠BEF+∠BFE＝∠A+∠C，
∴2∠EDF＝∠A+∠C，故②正确，
∵∠AED＝∠EFD，∠BFE＝∠EDF，∠CDF＝∠FED，
∴∠AED+∠BFE+∠CDF＝∠EFD+∠EDF+∠FED＝180°，故④正确．
故选：B．
6．解：
连接OB，如图，则∠BOA＝2∠C＝2y，
∵AB为⊙O切线，
∴∠ABO＝90°，
∴∠A+∠BOA＝90°，
即x+2y＝90°，
∴y＝﹣x+45°，
当x＝0°时，y＝45°，当y＝0°时，x＝90°，
故选：A．
7．解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d＝8，
∵r＝5，
∴d＞r，
∴⊙P与x轴的相离．
故选：B．
8．解：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝25°．
∴∠DOC＝∠A+∠ACO＝50°．
∵CD是⊙的切线，
∴∠OCD＝90°．
∴∠D＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故选：C．
9．解：A、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误；
B、与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故原命题错误；
C、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误；
D、如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线，正确．
故选：D．
10．解：A、如图，连接OE，
则OB＝OE，
∵∠B＝60°
∴∠BOE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOE＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、∵∠B＝60°，OB＝OE，
∴BE＝OB，
∵BE＝CE，
∴BC＝AB＝2BO，
∴AO＝OB，
如图，过O作OH⊥AC于H，
∵∠BAC＝60°，
∴OH＝AO≠OB，
∴C选项错误；
D、如图，∵BE＝EC，
∴CE＝BE，
∵AB＝BC，BO＝BE，
∴AO＝CE＝OB，
∴OH＝AO＝OB，
∴AC是⊙O的切线，
∴D选项正确．
故选：C．
11．解：A、过圆上一点可以作一条直线和圆相切，所以A选项的说法正确；
B、过圆外一点可以作两条直线和圆相切，所以B选项的说法正确；
C、从圆外一点引圆的两条切线，切线长长相等，所以C选项的说法错误；
D、从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，所以D选项的说法正确．
故选：C．
12．解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE＝40°，
∴∠A＝∠CBE＝40°．
故选：B．
13．解：如图，连接AC，
由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝55°，
∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．
故选：A．
14．解：如图，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝55°，
当点C在劣弧AB上，
∵∠AOB＝110°，
∴弧ACB的度数为250°，
∴∠ACB＝125°．
故选：D．
15．解：∵直线MN切⊙O于C点，
∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．
故选：C．
16．解：连接OE、EF，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵AF是直径，
∴∠AEF＝90°，
∵OA＝OF＝AF，AF＝2BF，
∴OF＝BF，
∴OE＝OF＝EF，
∴∠OEF＝60°，
∴∠AEO＝90°﹣60°＝30°，
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠CAE＝∠AEO＝30°，
故答案为30°．
17．解：连接OD、DE、AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OB，
∵DB＝DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线，①正确；
∵DF是⊙O的切线，
∴∠CED＝∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵BD＝CD，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠CED＝∠C，
∴DC＝DE，
又∵DF⊥AC，
∴CF＝EF，②正确；
当∠EAD＝∠EDA时，，
此时△ABC为等边三角形，
当△ABC不是等边三角形时，
∠EAD≠∠EDA，
则≠，
∴＝不正确；
∵DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠FDC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠FDC＝∠CAD，
又AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠A＝2∠CAD＝2∠FDC，④正确；
故答案为：①②④．
18．解：∵OC＝BC，AC＝OB，
∴AC＝OA＝OC，
∴∠OAC＝60°；
∴∠OCA＝2∠CBA＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠OAB＝60°+30°＝90°；
∴AB是⊙O的切线．
19．（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴，
∴BC2＝CD CE，
∴CD＝＝，
∴OC＝＝，
∴⊙O的半径＝．
20．解（1）证明：∵DC⊥OA，
∴∠OAB+∠CEA＝90°，
∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBA+∠ABD＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠CEA＝∠ABD，
∵∠CEA＝∠BED，
∴∠BED＝∠ABD，
∴DE＝DB．
（2）∵DE＝DB，∠BDE＝70°，
∴∠BED＝∠ABD＝55°，
∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBA＝35°，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝180°﹣2×35°＝110°．
21．证明：（1）如图1，连接OC，
∵DP是⊙O的切线，
∴OC⊥DP，
又∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）∵PD是⊙O的切线，
∴∠BCP＝∠CAB，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴∠CAF+∠ACF＝∠BCF+∠PCB，
即∠CFP＝∠PCF，
∴PC＝PF，即△PCF为等腰三角形；
（3）如图2，连接AE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴AE＝BE，
又∵AB为直径，
∴BE＝AB，
∵∠CEB＝30°，
∴∠CAB＝30°，
∴在Rt△ABC中，BC＝AB，AC＝AB，
∴BC2+BE2＝AB2＝AC2，
∴以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．
22．解：（1）∵OA＝OC，AD＝OC，
∴OA＝AD，
∴∠OAC＝∠OCA，∠AOD＝∠ADO，
∵OD∥AC，
∴∠OAC＝∠AOD，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠AOD＝∠ADO，
∴∠AOC＝∠OAD，
∴OC∥AD，
∴四边形OCAD是平行四边形；
（2）①∵四边形OCAD是菱形，
∴OC＝AC，
又∵OC＝OA，
∴OC＝OA＝AC，
∴∠AOC＝60°，
∴∠B＝∠AOC＝30°；
故答案为30．
②∵AD与⊙O相切，
∴∠OAD＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝∠AOC＝45°；
23．（1）证明：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠DCA＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝∠A；
（2）当MC＝MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；
解：连接DO，
∵DO＝CO，
∴∠1＝∠2，
∵DM＝CM，
∴∠4＝∠3，
∵∠2+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴直线DM与⊙O相切，
故当MC＝MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．
24．证明：（1）连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
∵AC＝BC，
∴AD＝BD．
（2）连接OD；
∵AD＝BD，OB＝OC，
∴OD是△BCA的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
25．证明：延长PC交⊙O于G，
由割线定理，得PD PE＝PF PG．
由相交弦定理，得AC BC＝CF CG．
∵直径AB⊥FG，
∴CF＝CG，
∴AB BC＝CF2，
∴PD PE＝PF PG＝（PC﹣CF）（PC+CG）＝（PC﹣CF）（PC+CF）＝PC2﹣CF2，
∴PD PE+AC CB＝PC2﹣CF2+CF2＝PC2，
即 PC2＝PD PE+AC CB．
26．（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE．
（2）连接CD．
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵BD＝DF，
∴CD＝DB＝DF，
∴∠DBC＝∠DCB，∠F＝∠DCF，
∴2∠DBC+2∠F＝180°，
∴∠DBC+∠F＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
27．解：（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC＝70°，
∴∠CAD＝，
∵，
∴∠CBD＝∠CAD＝35°；
（2）∵E是内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE＝∠BED，∠CBE+∠CBD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BED，
∴DE＝DB；