鲁教版（五四制）2021-2022学年九年级数学下册5.7切线长定理同步练习题（word版、含解析）

2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.7切线长定理》同步练习题（附答案）
1．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．如图，一个菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿此菱形的四边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，这个圆共转了（　　）
A．6圈 B．5圈 C．4.5圈 D．4圈
3．如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA＝7，则△PCD的周长为（　　）
A．7 B．14 C．10.5 D．10
4．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（　　）
A．AB＞CE＞CD B．AB＝CE＞CD C．AB＞CD＞CE D．AB＝CD＝CE
5．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为　 　．
6．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　 　．
7．如图菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为　 　．
8．一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5cm的圆环，当滚到与坡面BC开始相切时停止．其AB＝40cm，BC与水平面的夹角为60°．其圆心所经过的路线长是　 　cm（结果保留根号）．
9．如图，已知PA，PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，PO＝13，AO＝5，则△PCD周长为　 　．
10．如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，内公切线PC与外公切线AB（A、B分别是⊙O1和⊙O2上的切点）相交于点C，已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和4，则PC的长等于　 　．
11．已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
12．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
13．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
14．如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，梯形的两腰与上底均与半圆O相切，已知AD＝3，BC＝4，求CD．
15．如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数．
16．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE＝CE；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC＝4，BD＝，求⊙O的半径OC的长．
18．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．
（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；
（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
19．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，PA＝6，∠APB＝90°．点C是上一动点（C与点A、B不重合），过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点M、N，设AM＝x，BN＝y．
求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
20．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA＝2时，求AB的长．
参考答案
1．解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
∵BC＝BE+CE＝6，
∴BD+CF＝6，
∵AD＝AF，∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，
∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，
∴AB+AC＝10，
∵BD+CF＝6，
∴AD+AF＝4，
∵AD＝AF＝DF，
∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，
故选：A．
2．解：∵菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等
∴圆在菱形的边上转了4圈
∵圆在菱形的四个顶点处共转了360°，
∴圆在菱形的四个顶点处共转1圈
∴回到原出发位置时，这个圆共转了5圈．
故选：B．
3．解：∵PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，
∴PB＝PA＝7，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长＝PC+CD+PB
＝PC+CE+DE+PD
＝PC+CA+DB+PD
＝PA+PB＝14，
故选：B．
4．解：∵∠1＝60°，∠2＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣65°＝55°，
∴∠2＞∠1＞∠ABC，
∴AB＞BC＞AC，
∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，
∴AC＝CD，BC＝CE，
∴AB＞CE＞CD．
故选：A．
5．解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，
同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，
∴PA＝3；
故答案为：3．
6．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝25，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，
故答案为：50．
7．解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则OE⊥AB，OF⊥BC，
∵⊙O内切于菱形ABCD，
∴OE＝OF，
∴OB平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
同理得∠BAO＝60°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO＝AB＝2，OB＝2，
∴S△AOB＝AB OE＝AO OB，
4OE＝2×，
OE＝，
故答案为：．
8．解：连接OD、BD，作DE⊥AB，
∵BC与水平面的夹角为60°，
∴∠DBE＝60°，
∴∠BDE＝30°，
设BE＝x，则BD＝2x，
∴由勾股定理得4x2﹣x2＝25，
解得x＝，
∴OD＝AE＝40﹣，
故答案为40﹣．
9．解：连接OB．
∵PA是⊙O的切线，点A是切点，
∴PA⊥OA；
∴PA＝＝12；
∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB；
同理可得：DA＝DE，CE＝CB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CB+AD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝24；
故答案是：24．
10．解：连接AO1、BO2，作O1D⊥O2B于D，
在Rt△O1O2D中，O1O2＝7，O2D＝1，
根据勾股定理得O1D＝4，则AB＝4；
根据切线长定理得：PC＝AC＝BC，
所以AB＝2PC，即PC＝AB＝2．
故答案为：2．
11．解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝6，ED＝BD，CE＝AC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12；
（2）连接OE，如图所示：
由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，
∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，
由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝×130°＝65°．
12．解：（1）连接OE，
∵PA、PB与圆O相切，
∴PA＝PB＝6，
同理可得：AC＝CE，BD＝DE，
△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；
（2）∵PA PB与圆O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠AOC＝∠COE，
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝65°．
13．解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC＝DA，
同理EC＝EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°
∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．
答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；
（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．
14．解：如图，连接OE、OA、OF、OB、OG，
∵梯形的两腰与上底均与半圆O相切，
∴OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥BC，
∵AB∥CD，
∴OF是梯形ABCD的高，
∴×AD×OE+×AB×OF+×BC×OG＝×（AB+CD）×OF，
∴×（AB+3+4）×OF＝×（AB+CD）×OF，
解得，CD＝7．
15．解：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
连接AH和DH，作AM⊥BC，垂足为M．
∵E为切点，∴EH必过圆心，即EH是直径，
∴DH⊥DE，
∵D、E是切点，∴BD＝BE，
∵∠B＝60°，∴△DBE是正三角形，
∴∠BDE＝∠BAC＝60°，
∴DE∥AC，DH⊥AC，
由已知得，AM＝EH，又AM∥EH，∴四边形AMEH是矩形，
∴AH⊥HE，即AH是切线，
∴AD＝AH，AC垂直平分DH，AC必过圆心，
∴AC与EH的交点O是圆心，
∴OE＝OF，
∵∠COE＝90°﹣∠C＝30°，∴∠OEF＝75°，
∵∠DEO＝∠EOC＝30°，
∴∠DEF＝30°+75°＝105°
法二：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
∵BC为切线
∴O为圆心，OE⊥BC．
∵OE＝OF
∴∠OFE＝∠OEF．
∴∠OEF＝∠C+∠FEC，∠FEC＝∠OEF﹣∠C
又∵∠OEC＝90°，
∴∠OEF+∠FEC＝90°
即2∠OEF﹣∠C＝90°．
∵∠C＝60°，
∴∠OEF＝75°，∠CEF＝15°．
又∵AC∥DE，∠C＝60°，
∴∠DEC＝120°．
∵∠CEF＝15°，
∴∠DEF＝105°
16．（1）答：△OBC是直角三角形．
证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF+∠GCF＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是直角三角形；
（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，
∴BC＝＝10；
（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴OF⊥BC，
∴OF＝＝＝4.8．
17．（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB；
DE、CE都是切线，所以DE＝CE，∠EDC＝∠ECD；
又∠B+∠ECD＝90°，∠BDE+∠EDC＝90°；
所以∠B＝∠BDE，所以BE＝DE，从而BE＝CE；
（2）解：连接OD，
当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，DE＝EC＝OC＝OD＝r；
从而BE＝r，即△ABC是一个等腰直角三角形；
AC＝AB＝2r，S△ABC＝2r2；
（3）解：若EC＝4，BD＝4，则BC＝8；
在Rt△BDC中，cos∠CBD＝＝；所以∠CBD＝30°；
在Rt△ABC中，＝tan30°，即AC＝BCtan30°＝8×＝，OC＝＝；
另解：设OC＝r，AD＝x；由EC＝4，BD＝4得BC＝8，DC＝4；
则：，解得；即OC＝．
18．（1）证明：连接BD．
由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得
ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，
∴OE垂直平分BD．
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD．
∴AD∥OE．
即OE∥AC．
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BE＝EC，
∴EB＝EC＝ED．
（2）解：在△DEC中，由于ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°﹣2∠C．
①当∠DEC＞∠C时，有180°﹣2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F
满足条件．
在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．
这是因为：
在△DCE和△DEF中，
∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，
∴△DEF∽△DCE．
∴DE2＝DF DC．
即（BC）2＝DF DC
∴BC2＝4DF DC．（6分）
②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°，
此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF DC．（7分）
③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点
F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．（8分）
19．解：∵MA＝MC＝x，BN＝CN＝y，则MN＝x+y．
∴MP＝6﹣x，NP＝6﹣y．
在直角△MNP中，根据勾股定理可得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2．
即72﹣12x﹣12y＝2xy
∴y＝
即y＝，（0＜x＜6）
20．解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AP＝BP，
∵∠P＝60°，
∴∠PAB＝60°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠PAC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°．
（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，
∴OP＝4，
由勾股定理得：，
∵AP＝BP，∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴．