2021-2022学年北师大版七年级数学上册第五章 一元一次方程 单元检测

北师大版七年级上册第五章
一元一次方程
一、单选题
1.若关于x的一元一次方程2k﹣x﹣4＝0的解是x＝﹣3，那么k的值是（ ）
A. B. C. 6 D. 10
2.把方程 去分母后，正确的是( )．
A. B.
C. D.
3.B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以 的速度运动．C是线段BD的中点． ．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（ ）
A. B. C. 或 D. 不能确定
4.一件商品按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为312元，设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A. x·30%×80%＝312 B. x·30%＝312×80%
C. 312×30%×80%＝x D. x（1＋30%）×80%＝312
5.某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100%，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是（ ）
A. 45% B. 50% C. 90% D. 95%
6.阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x= ；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. ±1 D. a≠1
7.甲车与乙车同时从A地出发去往B地，如图所示，折线O-A-B-C和射线OC分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往C地，两车同时到达C地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达B地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米。其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.在长方形 中，放入6个形状大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽 的长度为（ ） cm .
A. 1 B. 1.6 C. 2 D. 2.5
9.如图，点O在直线 上，过O作射线 ， ，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t的值为（ ）
A. 5 B. 4 C. 5或23 D. 4或22
10.下列说法：
①符号相反的数互为相反数；②有理数a、b、c满足 ，且 ，则化简 的值为5；③若 是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是 ；④若 是关于x的一元一次方程，则 ；
其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
11.如图所示，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，长的一根露出水面的长度是它的 ，短的一根露出水面的长度是它的 ，已知两根铁棒长度的和是55cm，此时木桶中水的深度是（ ）。
A. 25cm B. 20cm C. 30cm D. 35cm
二、填空题
12.若 是关于x的一元一次方程，则m=________.
13.已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于 的一元二次方程 的解 =________．
14.家住山脚下的小明从家出发登山游玩，他下山的速度比上山的速度快 ，他上山 到达的位置离山顶还有 ，到山顶后抄近路下山，下山路程比上山路程近 ，下山用了 ，那么小明上山的路程（到山顶）为 ．
15.当x=________时，式子 与 的值互为相反数．
16.已知关于x的一元一次方程 +5＝2019x+m的解为x＝2018，那么关于y的一元一次方程 ﹣5＝2019（5﹣y）﹣m的解为________.
17.如图，在数轴上A点表示数﹣2，B点表示数6，若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，则经过________秒，甲、乙两小球到原点的距离相等.
18.A、B两地之间的公路长108千米，小光骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都沿这条公路匀速前进，其中两人的速度都小于27千米/时．若同时出发3小时相遇，则经过________小时两人相距36千米．
三、解答题
19.列方程解应用题：
为参加学校运动会，七年级一班和七年级二班准备购买运动服. 下面是某服装厂给出的运动服价格表：
购买服装数（套） 1~35 36~60 61及61以上
每套服装价（元） 60 50 40
已知两班共有学生67人（每班学生人数都不超过60人），如果两班单独购买服装，每人只买一套，那么一共应付3650元. 问七年级一班和七年级二班各有学生多少人？
20.昨天老师带着我们班同学去深圳少年宫玩，我们一共去了 60人（包括老师），买门票共花了1240元.玩得可开心了！
小明：真羡慕你们，不过听说门票还是挺贵的.
小红：是的，老师票每张30元，学生票每张20元.那你能猜出我们去了几位老师，几位学生吗？
小明：去了……
根据以上的对话，你能用解方程的知识帮助小明回答小红的提问吗？
21.某地的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润4000元；经精加工后销售，每吨利润7000元．当地一家公司现有这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨；但每天两种方式不能同时进行．受季节等条件的限制，必须用15天时间将这批蔬菜
全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；
方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成．
如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，请说说理由．
22.一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了3小时，已知水流的速度是每小时3千米， 求船在静水中的平均速度.
23.甲、乙二人同时从相距 千米的A地去B地，甲骑车，乙步行.甲每小时的速度比乙每小时的速度的3倍多1千米，甲达到B地后停留45分，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3小时，求两人的速度各是多少？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【考点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵关于x的一元一次方程2k﹣x﹣4＝0的解是x＝﹣3，
∴2k+3﹣4＝0，
解得：k＝ ，
故答案为：A.
【分析】将x＝﹣3代入2k﹣x﹣4＝0中，即可求出k值.
2.【答案】 D
【考点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】去分母得：3x-2（x-1）=6，
故答案为：D．
【分析】将方程两边都乘以6去分母计算即可。
3.【答案】 B
【考点】线段的中点，一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】设运动时间为t，
则AB=2t，BD=10-2t，
∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点，
∴EB= =t，BC= =5-t，
∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm，
故答案为：B．
【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可求出线段EC．
4.【答案】 D
【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设这件商品的成本价为x元，成本价提高30%后的标价为x（1+30%），再打8折的售价表示为x（1+30%）×80%，又因售价为312元，
列方程为：x（1+30%）×80%=312．
故答案为：D．
【分析】按成本价的30%标价，则标价为成本价的（1+30%），打八折即用标价×80%，即可得到售价，进而列出方程.
5.【答案】 A
【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设药品的原价为a元，药品现在降价x，则根据题意可得：a（1+100%）（1-x）=a（1+10%），
解得x=45%，
故答案为：A．
【分析】设药品的原价为a元，药品现在降价x，根据提价后的价格×（1-x）=降价后的价格，列出方程，解之即可.
6.【答案】 A
【考点】解一元一次方程
【解析】【解答】要把原方程变形化简，去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6），
去括号得：2ax=2x+6，
移项，合并得，x= ，
因为无解，所以a﹣1=0，即a=1．
故答案为：A．
【分析】对方程去分母、去括号、移项、合并同类项进行求解，再根据方程无解得到关于a的方程，求解可得a的值.
7.【答案】 C
【考点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：① 、由图可知： V乙=3004=75 千米/时 ，故 ① 不正确；
② 、由图可知：甲车再次出发的速度，V甲=（300-60）（4-1.6）=100千米/时，故 ②正确；
③ 、 由图可知：两车在到达B地前不会相遇 ，故 ③正确；
④ 、 由图和①可知： 点B的时间=1+3660=1.6小时；V乙=75 千米/时，S乙=75 1.6=120千米， 甲车再次出发时， 两车之间的距 离=120-60=60千米，故 ④正确.
【分析】由图可知：总路程是300千米，乙车一直在匀速行驶，乙车用时4小时，甲车前一个小时匀速行驶，休息了36分钟（3660=0.6小时），再次提速匀速行驶，在4小时的时候甲乙两车同时到达目的地，即甲乙两车在目的地相遇.

8.【答案】 C
【考点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AE=xcm，
依题意，得：6+2x=x+（14 3x），
解得：x=2
故答案为：C.
【分析】设AE=xcm，得出大长方形的宽为（6+2x）cm，小长方形的长为（14-3x）cm，从而得出大长方形的宽为（x+14-3x）cm，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子应该相等，从而列出方程，解方程求出x的值，即可求解.
9.【答案】 C
【考点】角的运算，一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
①如图，
当 的反向延长线恰好平分锐角 时，
∴ ，
此时，三角板旋转的角度为 ，
∴ ；
②如图，
当 在 的内部时，
∴∠CON= ∠AOC=40°，
∴三角板旋转的角度为90°+100°+40°=230°，
∴ ；
∴t的值为：5或23．
故答案为： C ．
【分析】先求出 ，再分类讨论，进行计算求解即可。
10.【答案】 D
【考点】相反数及有理数的相反数，绝对值及有理数的绝对值，一元一次方程的定义
【解析】【解答】解：仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，故①错误；
由 ，且 ，
所以：

＜ ＜ ＜


故②错误；
是关于x的一元一次方程，
或 （ ）或 ，
或 或
或
当 时，原方程为：

当 时，原方程化为：
，不合题意舍去，
当 时，原方程化为：


综上：方程的解为： 或 故③错误；
是关于x的一元一次方程，



，
故④正确；
故答案为：D
【分析】
11.【答案】 B
【考点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设木桶中水的深度为h，由题意有
整理得：
解得：h=20
故答案为：B
【分析】根据题意长的铁棒在水里的长度为它的 ， 所以长的铁棒的长度为 ， 短的铁棒在水里的长度为它的 ， 所以短的铁棒的长度为 ， 根据两根铁棒长度的和是55cm列方程即可得到答案.
二、填空题
12.【答案】 1
【考点】一元一次方程的定义
【解析】【解答】∵ 是关于x的一元一次方程，
∴2m-1=1
解得m=1
故填：1.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程，据此解答即可.
13.【答案】 -1
【考点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：根据题意可得：
对原方程进行变形：
，
，
，
再把 代入上式得出： ，
故答案为： .
【分析】对原方程进行变形可以得出一个等式： ，此时 ，与所求方程进行比较可得出结果.
14.【答案】 5
【考点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小明上山的速度为xkm/h，
根据题意得：2x+1=(x+1)+2，
解这个方程得：x=2km/h，
经检验符合题意，
2x+1=4+1=5km，
答：小明上山的路程为5km，
故答案为：5．
【分析】先求出2x+1=(x+1)+2，再解方程求解即可。
15.【答案】
【考点】相反数及有理数的相反数，解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】由题意得： ，去分母得：2（2x+5）+3（x+11）+12x=0，去括号得：4x+10+3x+33+12x=0，移项、合并同类项得：19x=﹣43，系数化1得：x= ．故答案为 ．
【分析】先根据互为相反数的和为0列出方程 ， 然后再根据解方程的一般步骤①两边同时乘以各分母的最小公倍数去分母；②根据乘法的分配律去括号（不要漏乘）；③移项（注意改变符号）；④ 合并同类项；⑤系数化为1解方程即可.
16.【答案】 2023
【考点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：根据题意得：
方程 可整理得： ，
则该方程的解为x＝2018，
方程 可整理得： ，
令n＝5﹣y，
则原方程可整理得： ，
则n＝﹣2018，
即5﹣y＝﹣2018，
解得：y＝2023，
故答案为：2023.
【分析】将方程整理可得 ， 则该方程的解为x＝2018；将关于y的方程整理为 ， 令n＝5﹣y，可得出 ， 从而可得5﹣y＝n﹣2018，求出y值即可.
17.【答案】 或8
【考点】数轴及有理数在数轴上的表示，一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设经过t秒，甲、乙两小球到原点的距离相等.
∵甲球运动的路程为：1 t=t，OA=2，
∴甲球与原点的距离为：t+2；
乙球到原点的距离分两种情况：当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，
∵OB=6，乙球运动的路程为：2 t=2t，乙到原点的距离：6﹣2t（0≤t≤3）；
当t＞3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t﹣6 （t＞3）.
分两种情况：
①当0＜t≤3时，得t+2=6﹣2t，解得t= ；
当t＞3时，得t+2=2t﹣6，解得t=8.
故当t= 或8秒时，甲乙两小球到原点的距离相等.
故答案为 或8.
【分析】设经过t秒，甲、乙两小球到原点的距离相等.分两种情况：①0＜t≤3，②t＞3，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可.
18.【答案】 2或4
【考点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】设经过x小时两人相距36千米，
∵同时出发3小时相遇，
∴可得两人的速度和为： 千米/小时，
①两人相遇前相距36千米，
解得： ；
②两人相遇后相距36千米，
解得： ；
综上，经过2小时或4小时两人相距36千米，
故答案为：2或4．
【分析】先求出两人的速度和为36千米/小时，再分类讨论，列方程求解即可。
三、解答题
19.【答案】 解：∵
∴所以一定有一个班的人数大于35人.
设大于35人的班有学生x人，则另一班有学生（67-x）人，
依题意得
答：七年级一班有37人，七年级二班有30人；或者七年级一班有30人，七年级二班有37人.
【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】首先根据题中表格数据得出有一个班的人数大于35人，接着设大于35人的班有学生x人，根据等量关系列出方程，求解即可.
20.【答案】 解：设去了x名学生，（60-x）名老师，依题意得：
30（60-x）+20x=1240，
解之得：x=56，
所以老师： 60-56=4名，
答：共去了4位老师,56位学生.
【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设去了x名学生，（60-x）名老师，根据买门票共花了1240元，列方程进行求解即可得.
21.【答案】 解：方案一：获利 元，
方案二：获利 元；
方案三：设x天进行精加工，（15－x）天进行粗加工，
，
解得： ，
获利： ，
，
选择方案三.
【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】方案（1）和方案（2）的获利情况可直接算出，方案三：设精加工x天，则粗加工(15－x)天，根据精加工吨数＋粗加工吨数＝140列出方程，解方程求出精加工和粗加工各多少天，从而求出获利．然后比较可得出答案．
22.【答案】 解：设船在静水中的平均速度为每小时x千米，则顺流速度为（x+3）千米每小时，逆流速度为（x-3）千米每小时，根据往返路程相等，列得2（ x+3）=3（ x-3）解得: x=15.答：船在静水中的平均速度为每小时15千米
【考点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设船在静水中的平均速度为每小时x千米，则顺流速度为（x+3）千米每小时，逆流速度为（x-3）千米每小时，根据等量关系式：往返路程相等列出方程，解之即可.
23.【答案】 解：设乙的速度是x千米/小时，则甲的速度为（3x+1）千米/小时，
由题意得 ，
解得 x=5，
3x+1=16，
答：甲的速度为16千米/小时，乙的速度是5千米/小时.
【考点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设乙的速度是x千米/小时，则甲的速度为（3x+1）千米/小时，根据二人行走路程之和为A、B两地路程的二倍列出方程，解方程即可.