2021-2022学年北师大版九年级数学上册第一章 特殊的平行四边形 第1-2节 同步练习（word版含答案）

1.1菱形的性质与判定
1．菱形的对角线不一定具有的性质是（　　）
A．互相平分 B．互相垂直 C．每一条对角线平分一组对角 D．相等
2．菱形ABCD的周长为24cm，其中一条对角线的长为8cm，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．48cm2
3．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE＝∠B＝80°，那么∠CDE的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（　　）
A．（0，﹣5） B．（0，﹣6） C．（0，﹣7） D．（0，﹣8）
5．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
6．已知 ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（　　）
A．AB＝AC B．AB＝CD
C．对角线互相垂直 D．∠A+∠C＝180°
7．下列说法不正确的是（　　）
A．四边都相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
8．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（3，﹣4），要使四边形AOBC是菱形，则满足条件的点C的坐标是（　　）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（6，0） D．（5，0）
9．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB，且AB＝2，点G、H分别在AD、BC上，连接BG、DH，若四边形BHDG是菱形，则AG的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
10．在 ABCD中，AB＝5，AC＝6，当BD＝　 　时，四边形ABCD是菱形．
11．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　 　时，平行四边形CDEB为菱形．
12．菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且BE＝CE，AD＝4cm．
（1）求BD的长；
（2）求菱形ABCD的面积．
13．如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，∠BAE＝30°，AD＝4cm．
（1）求菱形ABCD的各角的度数；
（2）求AE的长．
14．如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF交AD于M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：EF、AD互相平分；
（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD和CE，BD与CE交于点F．
（1）∠AEC的度数；
（2）求证：四边形ABFE是菱形．
16．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若BA⊥AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
参考答案
1．【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，
∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等；
故选：D．
2．【解答】解：∵菱形ABCD的周长等于24cm，∴边长＝24÷4＝6（cm），
∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，BD＝8cm，∴BO＝4cm，∴OA＝＝2（cm），
∴AC＝4cm，∴菱形的面积为8×4÷2＝16（cm2）．
故选：B．
3．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝∠B＝80°，∴AE＝AB＝AD，
在三角形AED中，AE＝AD，∠DAE＝80°，∴∠ADE＝50°，
又∵∠B＝80°，∴∠ADC＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．
故选：C．
4．【解答】解：∵A（12，13），∴OD＝12，AD＝13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝13，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝5，∴C（0，﹣5）．
故选：A．
5．【解答】解：如图，菱形ABCD中，∵AB＝2，∠A＝120°，∴AD＝2，∠ADC＝60°，
过A作AE⊥CD于E，则AE＝P′Q，∵AE＝AD cos60°＝2×＝，∴点P′到CD的距离为，
∴PK+QK的最小值为．
故选：B．
6．【解答】解：A、添加AB＝AC，不能证明 ABCD是菱形，故此选项错误；
B、添加AB＝CD，不能证明 ABCD是菱形，故此选项错误；
C、添加对角线互相垂直，可以证明 ABCD是菱形，故此选项正确；
D、添加∠A+∠C＝180°不能证明 ABCD是菱形，故此选项错误；
故选：C．
7．【解答】解：∵四边都相等的四边形是菱形，∴选项A不符合题意；
∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴选项B不符合题意；
∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项C不符合题意；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意；
故选：D．
8．【解答】解：如图，连接AB交OC于D，∵四边形AOBC是菱形，∴AD⊥OC，OD＝CD，
∵点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（3，﹣4），∴OD＝3，∴OC＝6，∴C（6，0），
故选：C．
9．【解答】解：∵四边形BGDH是菱形，∴BG＝GD，∵AD＝3AB，且AB＝2，∴AD＝6，
设AG＝y，则GD＝BG＝6﹣y，∵在Rt△AGB中，AG2+AB2＝GB2，∴y2+22＝（6﹣y）2，解得：y＝，
故选：A．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC、BD互相垂直平分，∵AC＝6，∴OA＝AC＝3，
∴OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8．
故答案是：8．
11．【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．
∵AB OC＝AC BC，∴OC＝．∴OB＝＝
∴AD＝AB﹣2OB＝
故答案为：
12．【解答】解：（1）连接AC，交BD于点O，
∵AE⊥BC于点E，且BE＝CE，∴AB＝AC，∵在菱形ABCD中，∴AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABO＝30°，∵AD＝4，∴AB＝4，BO＝2，∴BD＝4；
（2）菱形ABCD的面积为：AC BD＝×4×4＝8．
13．【解答】解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵∠BAE＝30°，∴∠B＝60°，
∵菱形ABCD，∴∠D＝∠B＝60°，AB∥CD，∴∠BAD＝∠C＝120°，
答：菱形各角的度数为60°、120°、60°、120°；
（2）∵菱形ABCD，∴AB＝AD＝4，∵∠BAE＝30°，∴BE＝2，∴AE＝2，
答：AE的长为2cm．
14．【解答】（1）证明：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EM⊥AC，∴EM∥BD，
∵E为AB的中点，∴EM是△ABD的中位线，∴M为AD的中点，EM＝BD．
∵EB∥FD，EM∥BD，∴四边形FDBE是平行四边形，∴EF＝BD，
∴MF＝EF﹣EM＝BD﹣BD＝BD，∴EM＝FM，∴点M是EF的中点，∴EF、AD互相平分；
（2）解：∵由（1）知，四边形FDBE是平行四边形，∴FD＝BE，∵DF＝2，∴BE＝2，
∴AB＝2BE＝2×2＝4，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×4＝16．
15．【解答】（1）解：根据旋转可得∠CAE＝100°，AC＝AE，
∵∠AEC+∠ACE+∠CAE＝180°，∴∠AEC＝（180°﹣100°）＝40°；
（2）证明：证明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°．
∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝140°，∴∠BFE＝360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC＝140°，
∴∠BAE＝∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．
16．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．
∵E为AD的中点，∴AE＝DE．∴有，∴△AFE≌△DCE（AAS）．∴AF＝CD．
∵AF＝BD，∴BD＝CD，即D是BC的中点；
（2）四边形AFBD是菱形．理由如下：连接FD．∵AF∥BD且AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
同理可证四边形AFDC是平行四边形．∴FD∥AC．∵BA⊥AC，∴BA⊥FD．∴四边形AFBD是菱形．
1.2矩形的性质与判定
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OB
2．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.4km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．0.6km B．1.2km C．1.5km D．2.4km
3．已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE：∠CDE＝1：2，那么∠BDC等于（　　）
A．60° B．45° C．22.5° D．30°
4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行且相等 B．邻角互补 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
5．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AD和CD的中点，EF＝3，则BD的长为　 　．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为　 　．
7．如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．求证：∠BDA＝∠EDA．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．
参考答案
1．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AC＝BD，OA＝OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D正确，选项C错误；
故选：C．
2．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝AB，
∵AB＝2.4km，∴CM＝1.2km，
故选：B．
3．【解答】解：由题意矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE：∠CDE＝1：2，
∴∠ADE＝∠ACD＝30°，∠CDE＝60°，∴∠BDC＝30°．
故选：D．
4．【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：C．
5．【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BD∵E，F分别是边AD和CD的中点，EF＝3，∴AC＝2EF＝6∴BD＝6
故答案为：6
6．【解答】解：连接EF，如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，∠A＝∠D＝90°，
∵点E为AD中点，∴AE＝DE＝1，∴BE＝＝，
在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴BE＝CE＝，
∵△BCE的面积＝△BEF的面积+△CEF的面积，∴BC×AB＝BE×FG+CE×FH，
即BE（FG+FH）＝BC×AB，即（FG+FH）＝2×3，解得FG+FH＝．
故答案为：．
7．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝，OD＝，
∴OA＝OD，∴∠CAD＝∠BDA，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠EDA，∴∠BDA＝∠EDA．
8．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OC＝OD，∴ OCED是菱形；
（2）方法一：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，∴BC＝2，AB＝2，
∵S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED，∴S菱形OCED＝×2×2＝2．
方法二：解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，∴BC＝2，∴AB＝DC＝2，
如图，连接OE，交CD于点F，
∵四边形OCED为菱形，∴F为CD中点，∵O为BD中点，∴OF＝BC＝1，∴OE＝2OF＝2，
∴S菱形OCED＝×OE×CD＝×2×2＝2．
同步检测卷
1．若菱形的一条边长为5cm，则这个菱形的周长为（　　）
A．20cm B．18cm C．16cm D．12cm
2．下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等
3．如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝8则矩形的边长为（　　）
A．4，4 B．4，4 C．4，4 D．4，4
4．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．对角线相等的四边形
C．矩形 D．对角线互相垂直的四边
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20，则△CDE的周长为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
6．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（　　）
A． B．4 C．4.5 D．5
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（　　）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B．向左平移（2﹣1）个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
8．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠AOE的度数为（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
9．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若MN＝4，则AC的长为　 　．
10．已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为　 　．
11．如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是　 　形．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是11，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝　 　．
13．已知：在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E在直线AD上，连接BE，CE，若BE＝AD，则∠BEC的大小为　 　度．
14．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；…按此规律所作的第2021个菱形的边长为 　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），B（10，6），BC⊥y轴，垂足为C，点D在线段BC上，且AD＝AO．
（1）试说明：DO平分∠CDA；
（2）求点D的坐标．
17．如图，在菱形ABCD中，点E在边CD上，AE与BD相交于点F，连接CF．
（1）求证：∠AED＝∠BCF；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求菱形ABCD的面积．
18．如图．在△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作与DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、E，连接EC．
（1）求证：AD＝EC；
（2）当△ABC满足　 　时，四边形ADCE是菱形．
19．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．
（1）求证：△ADO≌△CBO．
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．
20．问题情境：
两张矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE，AD＞AB．
操作发现：
（1）如图1，点D在GC上，连接AC、CF、CG、AG，则AC和CF有何数量关系和位置关系？并说明理由．
实践探究：
（2）如图2，将图1中的纸片CEFG以点C为旋转中心逆时针旋转，当点D落在GE上时停止旋转，则AG和GF在同一条直线上吗？请判断，并说明理由．
参考答案
1．【解答】解：∵菱形的四条边都相等，∴其边长都为5cm，∴菱形的周长＝4×5＝20cm．
故选：A．
2．【解答】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．∵菱形的对角线互相垂直且平分，∴选项C不正确；D．菱形的邻边相等；正确；
故选：C．
3．【解答】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AO＝OC，BO＝DO，AC＝BD，
∵AC＝8，∴OA＝OB＝4，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，
即AD＝BC＝4，AB＝CD＝4，所以矩形ABCD的边长为4，4，
故选：C．
4．【解答】解：∵四边形EFGH是菱形，∴EH＝FG＝EF＝HG＝BD＝AC，故AC＝BD．
故选：B．
5．【解答】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的高，∴BD＝DC，
∵△ABC的周长为20，∴AC+CD＝10，在Rt△ADC中，点E为AC的中点，∴DE＝AC＝AE，
∴△CDE的周长＝DE+EC+DC＝AE+EC+CD＝AC+CD＝10，
故选：A．
6．【解答】解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x，
∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD＝BC＝6，C′D＝3．
在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3，
∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32，解得：x＝5．
故选：D．
7．【解答】解：过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC＝OA，则四边形OACB是平行四边形，
过B作BH⊥x轴于H，
∵B（1，1），∴OB＝＝，∵A（，0），∴C（1+，1）∴OA＝OB，
∴则四边形OACB是菱形，∴平移点A到点C，向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到，
故选：D．
8．【解答】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形中OA＝OB，∴△ABO是等边三角形，∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，∴OB＝BE，
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE，＝60°+75°，＝135°．
故选：B．
9．【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO＝2MN＝8．
∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2BO＝16．
故答案为16．
10．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC＝1，OB＝OD，AC⊥BD，
∴OB＝＝＝2，∴BD＝2OB＝4；
故答案为：4．
11．【解答】证明：连接AC和BD．∵△ADE和△BCE都是等边三角形，
点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴MN∥AC，且，PQ∥AC，且PQ＝AC，
∴MN∥PQ，MN＝PQ同理MQ∥BD，且MQ＝BD，PN∥BD，且PN＝BD，
∴MQ∥PN，MQ＝PN∴四边形PQMN是平行四边形．
∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，EC＝EB＝BC，∠DEA＝∠CEB＝60°，
∴∠AEC＝∠DEB＝60°+∠DEC＝120°，∴△AEC≌△DEB，∴AC＝BD，
∵MN＝AC，MQ＝BD，
∴MN＝MQ，
∴四边形PQMN是菱形．
12．【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，
∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝BC＝3，
∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，
由勾股定理知 AF＝＝＝＝．
故答案为：．
13．【解答】解：分两种情况：
①当点E在线段AD上时，BE＝AD，如图1所示：
∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝BE＝2AB，∠BAE＝90°，AD∥BC，
∴BE＝2AB，∠BEC＝∠BCE，∠CBE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴∠AEB＝30°，∴∠CBE＝30°，
∴∠BEC＝∠CBE＝（180°﹣30°）＝75°；
②点E在DA延长线上时，BE＝AD，如图2所示：
∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝BE＝2AB，∠ABC＝∠BAE＝∠BAD＝90°，
∴BE＝2AB，∠BEC＝∠BCE，∴AB＝BE，∴∠AEB＝30°，∴∠ABE＝60°，
∴∠CBE＝90°+60°＝150°，∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣150°）＝15°；
故答案为：75或15．
14．【解答】解：连接DB，交AC于点M，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．AC⊥DB，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，
∴DB＝AD＝1，∴BM＝，∴AM＝，∴AC＝，
同理可得AC1＝AC＝（）2，AC2＝AC1＝3＝（）3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1，
则第2021个菱形的边长为（）2020，
故答案为：（）2020．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，
∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．
（2）解：∵DM＝AM，DO＝OB，∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，∴DN＝EN，ON＝BE，设DE＝EB＝x，
在Rt△ADE中，则有x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴ON＝．
16．【解答】解：（1）∵BC⊥y轴，∴BC∥OA，∴∠ODC＝∠AOD，∵AD＝AO，∴∠AOD＝∠ADO，
∴∠ODC＝∠ADO，∴OD平分∠CDA；
（2）∵A（10，0），B（10，6），∴BC＝OA＝AD＝10，AB＝6，∴BD＝，
∴CD＝BC﹣BD＝10﹣8＝2，∴D（2，6）．
17．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，AB∥CD．
在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF＝∠BCF，
∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠AED．∴∠AED＝∠BCF；
（2）过点A作AG⊥BC，垂足为G，∴∠AGB＝90°．∴∠ABC＝60°，
∴∠BAG＝30°．
∵AB＝2，∴BG＝1．∵在Rt△ABG中，AG2+BG2＝AB2．
∴．∴．
18．【解答】证明：（1）∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE＝BD
又∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，
∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝EC；
（2）∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD，
又∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形．
故答案为∠BAC＝90°．
19．【解答】解：（1）证明：∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，
∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，在△AOD和△COB中，，∴△ADO≌△CBO（ASA）；
（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，∴AD＝CB，又∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM∥BN，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABN，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝CB，
又DE⊥BD，∴AC∥DE，∵AM∥BN，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE＝2，AD＝EC，
∴EC＝CB，
∵四边形ABCD是菱形，∴EC＝CB＝AB＝2，∴EB＝4，
在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝，
∴．
20．【解答】解：（1）AC＝CF，AC⊥CF．理由如下：
如图1，∵矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE，∴BC＝EF，∠B＝∠CEF＝90°，
在△ABC和△CEF中，，∴△ABC≌△CEF（SAS），∴AC＝CF，∠ACB＝∠CFE，
∵Rt△CEF中，∠CFE+∠ECF＝90°，∴∠ACB+∠ECF＝90°，
∴∠ACF＝∠BCD+∠ECG﹣（∠ACB+∠ECF）＝90°+90°﹣90°＝90°，∴AC⊥CF；
（2）AG和GF在同一条直线上．理由如下：
如图2，∵矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE，∴AD＝GC，CD＝CE，∠ADC＝∠GCE＝90°，
在△ACD和△GEC中，，∴△ACD≌△GEC（SAS），∴∠ACD＝∠GEC，DC＝EC，AC＝GE，
∴∠CDE＝∠DEC，∴∠ACD＝∠CDE，∴GE∥AC，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG∥CE，
又∵矩形CEFG中，GF∥CE，
∴AG和GF在同一条直线上．（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）