广东省佛山市顺德区2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案解析）
文档属性
| 名称 | 广东省佛山市顺德区2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 896.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-16 09:25:25 | ||
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文档简介
广东省佛山市顺德区2021-2022学年高二上学期期中考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案与在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第十章．选择性必修第一册第一章、第二章2.1～2.3．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l经过，两点，则直线l的斜率是
A． B． C．3 D．
2．点到直线的距离为
A．2 B． C．4 D．
3．某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为
A．72% B．74% C．75% D．76%
4．直线l：经过定点A，则A的纵坐标为
A． B． C．1 D．2
5．已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为
A．4 B．3 C．2 D．1
6．某工厂有甲、乙、丙三名工人进行零件安装比赛，甲每个零件的安装完成时间少于丙的概率为0.6．乙每个零件的安装完成时间少于丙的概率为0.5，比赛要求甲、乙、丙各安装一个零件，且他们安装每个零件相互独立，则甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率为
A．0.64 B．0.72 C．0.8 D．0.76
7．在三棱柱中，E是棱AC的三等分点，且，F是棱的中点，若，，，则
A． B． C． D．
8．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为．则
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则
A．事件A与B是独立事件 B．事件B与C是互斥事件
C．事件C与D是对立事件 D．
11．已知，，，则
A．直线与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于135°
C．△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为
D．△ABC的边BC上的高所在直线的方程为
12．正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点，下列说法不正确的是
A．平面 B．四边形面积的最大值为
C．若四边形的面积为，则 D．若，则四棱锥的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．某生物实验室有18颗开紫花的豌豆种和24颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机选取1颗，则这颗种子是开白花的豌豆种的概率为________
14．在平面直角坐标系xOy中，直线经过坐标原点，且l与直线：垂直，则的斜率为________，这两条直线的交点坐标为________．（本题第一空2分，第二空3分）
15．在平行六面体中，点P是AC与BD的交点，若，且，则________．
16．一个正方体的平面展开图如图所示，，则在原来的正方体中，线段CF的中点到直线AM的距离为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线l：．
（1）若直线l与直线：平行，求a的值；
（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
18．（12分）
如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N和P分别是，BC和的中点．
（1）证明：平面．
（2）求异面直线AN与PM所成角的余弦值．
19．（12分）
某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图．
甲生产线产品质量指数频率分布直方图 乙生产线产品质量指数频率分布直方图
（1）分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率。
20．（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，E是AD的中点，．
（1）证明：．
（2）当三棱锥P-ABD的体积为时，求DP与平面PAB所成角的正弦值
21．（12分）
（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界面射回原介质中的现象，被称为光的反射，如图1所示，一条光线从点出发，经过直线反射后到达点，如图2所示．求反射光线所在直线的方程，并在图2中作出光线从A到B的入射和反射路径．
图1 图2
（2）已知，直线l的斜率小于0，且l经过点，l与坐标轴交于M，N两点，试问△CMN的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由。
22．（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，且，E，F分别是线段PB，AC的中点，，平面平面ABCD．
（1）证明：平面ABCD．
（2）求平面ACE与平面ADE夹角的取值范围。
高二数学参考答案
1．B
由题意可得直线l的斜率．
2．D
点到直线的距离．
3．B
该同学这两场投篮的命中率为．
4．A
由，得，令，得．
5．D
因为，，所以，，
则点P到平面的距离．
6．C
根据题意，甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率为．
7．D
取BC的中点D，连接AD，AF，DF（图略）．．因为，所以．
8．A
由题可知，△ABC的重心为，AB边上高所在的直线方程为，AC边上高所在的直线方程为，则△ABC的垂心为，故△ABC的欧拉线方程为．
9．AD
由，得，则，即，故A正确，B错误；由，得，则，即，故C错误，D正确．
10．AB
由题意，，，所以事件A与B是独立事件．事件B与C是互斥事件，事件C与D是互斥事件不是对立事件，．故选AB．
11．BCD
因为，，所以直线与线段AB无公共点，A错误．因为，所以直线AB的倾斜角大于135°，B正确．因为线段BC的中点为，所以BC上的中线所在直线的方程为，C正确．因为，所以BC上的高所在直线的方程为，即，D正确．
12．ACD
因为与不垂直，所以与平面不垂直，A不正确．如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，．因为，所以．因为平面，所以，则，．若平面，则，即，，；若平面，则，即，，．因为，所以四边形的面积．当时，四边形的面积最大，且最大值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，故四棱锥的体积，B正确，D不正确．若四边形的面积为，则或，解得或，C不正确．
13．
这颗豌豆种是开白花的豌豆种的概率为．
14．；
因为的斜率为，且，所以的斜率为．又经过坐标原点，所以的方程为，代入，解得，故这两条直线的交点坐标为．
15．
由题意可得，，则，故．
16．
将展开图还原成正方体，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，设CF的中点为G，则，，．
故G到AM的距离．
17．解：（1）因为，所以，
解得．
（2）令，得，即直线l在y轴上的截距为．
令，得，即直线l在x轴上的截距为．
因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，
所以，解得或，
则直线l的方程或，即或．
18．（1）证明：取AC的中点D，连接ND，．
因为N和P分别是BC和的中点，所以，，，
因为，所以，，
所以四边形为平行四边形，则．
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：以点A为坐标原点，分别以AC，，AB所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则，，，，
，，
所以，
故AN与PM所成角的余弦值为．
19．解：
（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为；
乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为．
（2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有件，乙生产线的样品中优等品有件．从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为a，b，c，d；从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为E，F．
从这6件产品中随机抽取2件的情况有（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F），（c，d），（c，E），（c，F），（d，E），（d，F），（E，F），共15种；
其中符合条件的情况有（a，E），（a，F），（b，E），（b，F），（c，E），（c，F），（d，E），（d，F），共8种．
故所求概率．
20．
（1）证明：设F为CB的中点，连接PF，EF，因为，所以，所以，即．
因为，F为CB的中点，所以，
又因为，所以平面PEF，
因为PEC平面PEF，所以．
（2）解：因为，，，所以平面ABCD，
所以，则．
以的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则，，，，，
所以，，．
设平面PAB的法向量为，则，即，
令，得．
所以，
所以DP与平面PAB所成角的正弦值为．
21．解：
（1）设A关于直线的对称点为，
则，
解得，
所以反射光线所在直线为，
其方程为，即．
故光线从A到B的入射和反射路径如图所示：
（2）由题意可设直线l：．
不妨假设M在x轴上，则，，
则△CMN的面积，
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故△CMN的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为．
22．
（1）证明：取AD的中点O，连接OP，OB，OC，则．
由题意可知，则四边形ABCO是平行四边形．
因为F是线段AC的中点，所以F是OB的中点，所以．
因为，O为AD的中点，所以．
因为平面平面ABCD，且OPC平面PAD，所以平面ABCD．
因为，所以平面ABCD．
（2）解：因为，所以四边形ABCO是菱形，所以，则AC，OB，EF两两垂直，故以F为原点，分别以，，它的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz．
设，，则，，，，，从而，，．
设平面ADE的法向量为，
则，令，则．
平面ACE的一个法向量为．
设平面ACE与平面ADE的夹角为θ，
则．
因为，所以，所以．
因为，所以．
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案与在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第十章．选择性必修第一册第一章、第二章2.1～2.3．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l经过，两点，则直线l的斜率是
A． B． C．3 D．
2．点到直线的距离为
A．2 B． C．4 D．
3．某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为
A．72% B．74% C．75% D．76%
4．直线l：经过定点A，则A的纵坐标为
A． B． C．1 D．2
5．已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为
A．4 B．3 C．2 D．1
6．某工厂有甲、乙、丙三名工人进行零件安装比赛，甲每个零件的安装完成时间少于丙的概率为0.6．乙每个零件的安装完成时间少于丙的概率为0.5，比赛要求甲、乙、丙各安装一个零件，且他们安装每个零件相互独立，则甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率为
A．0.64 B．0.72 C．0.8 D．0.76
7．在三棱柱中，E是棱AC的三等分点，且，F是棱的中点，若，，，则
A． B． C． D．
8．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为．则
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则
A．事件A与B是独立事件 B．事件B与C是互斥事件
C．事件C与D是对立事件 D．
11．已知，，，则
A．直线与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于135°
C．△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为
D．△ABC的边BC上的高所在直线的方程为
12．正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点，下列说法不正确的是
A．平面 B．四边形面积的最大值为
C．若四边形的面积为，则 D．若，则四棱锥的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．某生物实验室有18颗开紫花的豌豆种和24颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机选取1颗，则这颗种子是开白花的豌豆种的概率为________
14．在平面直角坐标系xOy中，直线经过坐标原点，且l与直线：垂直，则的斜率为________，这两条直线的交点坐标为________．（本题第一空2分，第二空3分）
15．在平行六面体中，点P是AC与BD的交点，若，且，则________．
16．一个正方体的平面展开图如图所示，，则在原来的正方体中，线段CF的中点到直线AM的距离为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线l：．
（1）若直线l与直线：平行，求a的值；
（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
18．（12分）
如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N和P分别是，BC和的中点．
（1）证明：平面．
（2）求异面直线AN与PM所成角的余弦值．
19．（12分）
某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图．
甲生产线产品质量指数频率分布直方图 乙生产线产品质量指数频率分布直方图
（1）分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率。
20．（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，E是AD的中点，．
（1）证明：．
（2）当三棱锥P-ABD的体积为时，求DP与平面PAB所成角的正弦值
21．（12分）
（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界面射回原介质中的现象，被称为光的反射，如图1所示，一条光线从点出发，经过直线反射后到达点，如图2所示．求反射光线所在直线的方程，并在图2中作出光线从A到B的入射和反射路径．
图1 图2
（2）已知，直线l的斜率小于0，且l经过点，l与坐标轴交于M，N两点，试问△CMN的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由。
22．（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，且，E，F分别是线段PB，AC的中点，，平面平面ABCD．
（1）证明：平面ABCD．
（2）求平面ACE与平面ADE夹角的取值范围。
高二数学参考答案
1．B
由题意可得直线l的斜率．
2．D
点到直线的距离．
3．B
该同学这两场投篮的命中率为．
4．A
由，得，令，得．
5．D
因为，，所以，，
则点P到平面的距离．
6．C
根据题意，甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率为．
7．D
取BC的中点D，连接AD，AF，DF（图略）．．因为，所以．
8．A
由题可知，△ABC的重心为，AB边上高所在的直线方程为，AC边上高所在的直线方程为，则△ABC的垂心为，故△ABC的欧拉线方程为．
9．AD
由，得，则，即，故A正确，B错误；由，得，则，即，故C错误，D正确．
10．AB
由题意，，，所以事件A与B是独立事件．事件B与C是互斥事件，事件C与D是互斥事件不是对立事件，．故选AB．
11．BCD
因为，，所以直线与线段AB无公共点，A错误．因为，所以直线AB的倾斜角大于135°，B正确．因为线段BC的中点为，所以BC上的中线所在直线的方程为，C正确．因为，所以BC上的高所在直线的方程为，即，D正确．
12．ACD
因为与不垂直，所以与平面不垂直，A不正确．如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，．因为，所以．因为平面，所以，则，．若平面，则，即，，；若平面，则，即，，．因为，所以四边形的面积．当时，四边形的面积最大，且最大值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，故四棱锥的体积，B正确，D不正确．若四边形的面积为，则或，解得或，C不正确．
13．
这颗豌豆种是开白花的豌豆种的概率为．
14．；
因为的斜率为，且，所以的斜率为．又经过坐标原点，所以的方程为，代入，解得，故这两条直线的交点坐标为．
15．
由题意可得，，则，故．
16．
将展开图还原成正方体，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，设CF的中点为G，则，，．
故G到AM的距离．
17．解：（1）因为，所以，
解得．
（2）令，得，即直线l在y轴上的截距为．
令，得，即直线l在x轴上的截距为．
因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，
所以，解得或，
则直线l的方程或，即或．
18．（1）证明：取AC的中点D，连接ND，．
因为N和P分别是BC和的中点，所以，，，
因为，所以，，
所以四边形为平行四边形，则．
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：以点A为坐标原点，分别以AC，，AB所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则，，，，
，，
所以，
故AN与PM所成角的余弦值为．
19．解：
（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为；
乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为．
（2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有件，乙生产线的样品中优等品有件．从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为a，b，c，d；从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为E，F．
从这6件产品中随机抽取2件的情况有（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F），（c，d），（c，E），（c，F），（d，E），（d，F），（E，F），共15种；
其中符合条件的情况有（a，E），（a，F），（b，E），（b，F），（c，E），（c，F），（d，E），（d，F），共8种．
故所求概率．
20．
（1）证明：设F为CB的中点，连接PF，EF，因为，所以，所以，即．
因为，F为CB的中点，所以，
又因为，所以平面PEF，
因为PEC平面PEF，所以．
（2）解：因为，，，所以平面ABCD，
所以，则．
以的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则，，，，，
所以，，．
设平面PAB的法向量为，则，即，
令，得．
所以，
所以DP与平面PAB所成角的正弦值为．
21．解：
（1）设A关于直线的对称点为，
则，
解得，
所以反射光线所在直线为，
其方程为，即．
故光线从A到B的入射和反射路径如图所示：
（2）由题意可设直线l：．
不妨假设M在x轴上，则，，
则△CMN的面积，
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故△CMN的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为．
22．
（1）证明：取AD的中点O，连接OP，OB，OC，则．
由题意可知，则四边形ABCO是平行四边形．
因为F是线段AC的中点，所以F是OB的中点，所以．
因为，O为AD的中点，所以．
因为平面平面ABCD，且OPC平面PAD，所以平面ABCD．
因为，所以平面ABCD．
（2）解：因为，所以四边形ABCO是菱形，所以，则AC，OB，EF两两垂直，故以F为原点，分别以，，它的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz．
设，，则，，，，，从而，，．
设平面ADE的法向量为，
则，令，则．
平面ACE的一个法向量为．
设平面ACE与平面ADE的夹角为θ，
则．
因为，所以，所以．
因为，所以．
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