2021-2022学年人教版数学 九年级上册22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+ k的图象和性质 （第1课时）课件(共48张PPT)

(共48张PPT)
人教版数学 九年级上册
第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a（x-h） +k的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
这个函数的图象是如何画出来呢？
x
y
导入新知
1. 会画二次函数y=ax +k的图象.
2. 理解抛物线y=ax 与抛物线 y=ax +k之间的联系.
3. 能说出抛物线y=ax +k的开口方向、对称轴、顶点.
学习目标
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.
【解析】
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=x2+1 … …
y=x2-1 … …
10 5 2 1 2 5 10
8 3 0 -1 0 3 8
新知一 二次函数y=ax2+k图象的画法
1.列表：
合作探究
y=x2+1
10
8
6
4
2
-2
-5
5
x
y
y=x2-1
y=x2
O
2.描点，连线：
【思考】抛物线y=x2 、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
解：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2 向上 x=0 （0,0）
y=x2+1 向上 x=0 (0，1)
y=x2-1 向上 x=0 (0，-1)
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象.
典例精析
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
-1
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
【思考】
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2+1 向上 x=0 （0,1）
y=2x2-1 向上 x=0 （0，-1）
解答：
在同一坐标系中，画出二次函数 ， ，
的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
如图所示
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y= - x2 向下 x=0 （0,0）
y= - x2+2 向下 x=0 （0,2）
y= -x2-2 向下 x=0 （0，-2）
巩固练习
解：先列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象．
1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
新知二 二次函数y=ax2+k的图象和性质
合作探究
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
再描点、连线，画出这两个函数的图象：
【思考】抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
抛物线
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,0）
（0,1）
y轴
y轴
【想一想】通过观察图象，二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？
开口方向：向上.
对称轴：x=0.
顶点坐标：（0，k）.
最值：当x=0时，有最小值，y=k.
增减性：当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大.
二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质
y
-2
-2
4
2
2
-4
x
0
2.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 ;
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________;
(4) 从上而下顶点坐标分别是
_____________________;
抛物线
向下
直线x=0
( 0,0)
( 0，2)
( 0,-2)
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________;
(6) 函数的增减性都相同： __________________________
__________________________
高
大
y=0
y= -2
y=2
对称轴左侧y随x增大而增大,
对称轴右侧y随x增大而减小.
y=ax2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（x=0） y轴（x=0）
顶点坐标 （0,k） （0,k）
最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
注意：k带前面的符号！
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
例 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
c
【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
二次函数y=ax2+k的性质的应用
典例精析
抛物线y= 2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小.
（0,3）
y轴
对称轴左
对称轴右
巩固练习
解析式
y=2x2
y=2x2+1
y=2x2-1
+1
-1
点的坐标
函数对应值表
x … …
y=2x2-1 … …
y=2x2 … …
y=2x2+1 … …
4.5
-1.5
3.5
5.5
-1
2
1
3
x
2x2
2x2-1
(x, )
(x, )
(x, )
2x2-1
2x2
2x2+1
从数的角度探究
2x2+1
新知三 二次函数y=ax2+k的图象及平移
合作探究
4
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
观察图象可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
从形的角度探究
x
y
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移 个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移 个单位长度得到.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将 (　　 )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
D
巩固练习
1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，分两步即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax的图象向上（或向下）平移︱k ︱单位.
第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
【想一想】
1.抛物线 y=2x2 向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　
2.填表：
y = 2x2－4
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = 3x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
课堂练习
3.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上 ，点 (-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
在
=2
>2
<2
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
1.开口方向由a的符号决定；
2.k决定顶点位置；
3.对称轴是y轴.
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.
课堂小结
归纳新知
1．在下列二次函数中，其图象的对称轴为x＝－2的是( )
A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－1 D．y＝2(x－2)2
A
课后练习
2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－3)2(a≠0)的图象可能是( )
D
②④
①③
5
(－5，0)
－5
大
0
5．已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1____y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
＞
6．已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．
　解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.又∵此抛物线过(1，－3)，∴－3＝a(1－2)2，解得a＝－3，∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小
7．将抛物线y＝－x2平移得到抛物线y＝－(x＋2)2，这个平移过程正确的是( )
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
A
C
9．在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x－2)2的图象，写出对称轴及顶点，并说明三条抛物线的位置关系．
解：图象略，抛物线 y＝x2的对称轴是x＝0，顶点为(0，0)；抛物线y＝(x＋2)2的对称轴是x＝－2，顶点为(－2，0)；抛物线y＝(x－2)2的对称轴是x＝2，顶点为(2，0).位置关系略
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为( )
B
11．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
A．3或6 B．1或6
C．1或3 D．4或6
B
12．已知二次函数y＝3(x－a)2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是_______．
a≤2
14．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2相同．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)将上面的抛物线向右平移4个单位长度会得到怎样的抛物线的解析式？
(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线的解析式．
　解：(1)y＝3(x＋2)2　(2)y＝3(x－2)2　(3)y＝－3(x－2)2
15．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得到△AA1B1.
(1)求以点A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；
(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D，C的坐标．
解：(1)由题意，得A(1，0)，A1(2，0)，B1(2，1).设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2，∵抛物线经过点B1(2，1)，∴1＝a(2－1)2，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2
16．如图，抛物线顶点M在x轴上，与y轴交于点N，且OM＝ON＝4.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴右侧的抛物线上有一点P，且S△PMN＝12，求点P的坐标．
再 见