上海市松江区九峰实验学校2021-2022学年九年级上学期9月月考数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年上海市松江区九峰实验学校九年级上学期
9月月考数学试卷
考生注意：
本试卷含三个大题，共25题。
除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤。
选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1、已知中，，,,那么的值是（ ）
【A】
【B】
【C】
【D】
2、如图，在等腰中，,是边上的高，，则与的面积比是（ ）
【A】
【B】
【C】
【D】
3、若点是线段的黄金分割点，则下列线段比中比值不可能为的是（ ）
【A】
【B】
【C】
【D】
4、下列命题中的真命题是（ ）
【A】两个直角三角形都相似
【B】一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，那么这两个直角三角形相似
【C】两个等腰三角形都相似
【D】两个等腰直角三角形都相似
5.如图，中，是中点，是中点，的延长线交于，则的值为（ ）
【A】2
【B】3
【C】
【D】
6.已知的三边分别是，，2，的两边长分别是1和，如果和相似，那么的第三边长应该是（ ）
【A】
【B】
【C】
【D】
填空题(本大题共12题，每题4分，共24分)
7.若，则= .
8.已知线段，，那么线段和的比例中项= .
9.两个相似三角形的相似比为，周长差为厘米，则较大三角形的周长为______
如图，在中，，过重心，且分别与、交于点、，如果的面积为，那么四边形的面积为______
已知线段=10，点是线段上的黄金分割点（），则长是______（精确到0.01）
如图，，已知，，，则_____
13、如图：相交于，且，若，，，则 .
14、如图，，，，，则的长度为 .
15、中边上有一点，如果，，，则 .
16、如图，平行四边形中，点在边上，且，，
，用，表示，则 .
17.在中，，,为边上的点，连接,如图，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是 .
18.如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为.如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于，若
则 .
19.如图，已知在平行四边形中，分别是边、 的中点，设,
（1）求向量,（用向量、表示）（2）求作向量在、方向上的分向量.
20、已知为的平分线，为的垂直平分线，求证：
如图，在正方形中，是边上一点（点与点、点均不重合），，交的延长线于点，连接交于点.
求证：
设正方形的边长为1，是否存在这样的点，使得，若存在，求出这时的长；若不存在，请说明理由。
22.如图，点、分别在的、边上，.
（1）若，，求；
（2）若，，求（用、表示）
23.已知：如图，在等腰中，，是延长线上的一点，点是的中点，与交于点.
（1）求证：
（2）求证：
如图，已知等腰，与轴交于点，
（1）求点的坐标；
（2）求的长；
（3）探究：在轴上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由。
25.如图 在矩形 中, 是对角线的中点,, ，点是射线上的一个动点,点在射线上,且满足 ,过点 作 ,交射线于点.
(1)求证: ;
(2)如图1,当点在线段上时,设,四边形的面积为 ,求与的函数解析式,并写出它的定义域.
(3)当时,求的长.
2021-2022学年上海市松江区九峰实验学校九年级上学期
9月月考数学试卷
考生注意：
本试卷含三个大题，共25题。
除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤。
选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1、已知中，，,,那么的值是（ ）
【A】
【B】
【C】
【D】
【答案】B
【解析】
2、如图，在等腰中，,是边上的高，，则与的面积比是（ ）
【A】
【B】
【C】
【D】
【答案】B
【解析】作于,解直角三角形得即可得到然后根据三角形
面积公式求得
3、若点是线段的黄金分割点，则下列线段比中比值不可能为的是（ ）
【A】
【B】
【C】
【D】
【答案】C
【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点
∴若AC为较长线段，则
若BC为较长线段，则
故选C
4、下列命题中的真命题是（ ）
【A】两个直角三角形都相似
【B】一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，那么这两个直角三角形相似
【C】两个等腰三角形都相似
【D】两个等腰直角三角形都相似
【答案】D
【解析】等腰直角三角形的三个内角都是满足三角形相似的判定定理，则D是真命题
5.如图，中，是中点，是中点，的延长线交于，则的值为（ ）
【A】2
【B】3
【C】
【D】
【答案】B
【解析】
过点作,交于点
是中点，是中点
为的中点，是中点
6.已知的三边分别是，，2，的两边长分别是1和，如果和相似，那么的第三边长应该是（ ）
【A】
【B】
【C】
【D】
【答案】A
【解析】根据题意相似比为，所以的第三边长
填空题(本大题共12题，每题4分，共24分)
7.若，则= .
【答案】
【解析】设，那么，则
8.已知线段，，那么线段和的比例中项= .
【答案】
【解析】根据比例中项的概念得：，所以=
9.两个相似三角形的相似比为，周长差为厘米，则较大三角形的周长为______
【答案】
【解析】相似三角形周长比等于相似比，故周长比为，可分别设为和，相减为可得，故较大三角形的周长为
如图，在中，，过重心，且分别与、交于点、，如果的面积为，那么四边形的面积为______
【答案】20
【解析】由重心的性质可知，则，
面积比等于相似比的平方，故，
所以，则四边形的面积为
已知线段=10，点是线段上的黄金分割点（），则长是______（精确到0.01）
【答案】3.82
【解析】因为点是线段上的黄金分割点，且，，可得长是3.82
如图，，已知，，，则_____
【答案】5
【解析】由，，又因为，故
13、如图：相交于，且，若，，，则 .
【答案】
【解析】根据相似三角形的对应边成比例，得到
14、如图，，，，，则的长度为 .
【答案】
【解析】略
15、中边上有一点，如果，，，则 .
【答案】
【解析】由题意可得，，因为，，所以，则
16、如图，平行四边形中，点在边上，且，，
，用，表示，则 .
【答案】
【解析】∵，
∴
∵
∴
17.在中，，,为边上的点，连接,如图，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是 .
【答案】2.
【解析】如图所示，利用图形前后翻折不发生变化，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点到的距离即可。
18.如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为.如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于，若
则 .
【答案】.
【解析】考察翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角比，设的长然后利用勾股定理列出方程.
19.如图，已知在平行四边形中，分别是边、 的中点，设,
（1）求向量,（用向量、表示）（2）求作向量在、方向上的分向量.
【答案】：(1)
(2)如图所示
【解析】：(1)分别是边的中点，
,,
,,
,，
（2）如图所示，为在方向上的分向量，为在方向上的分向量，
20、已知为的平分线，为的垂直平分线，求证：
【答案】见解析
【解析】∵为的平分线，
∴
∵为的垂直平分线，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
如图，在正方形中，是边上一点（点与点、点均不重合），，交的延长线于点，连接交于点.
求证：
设正方形的边长为1，是否存在这样的点，使得，若存在，求出这时的长；若不存在，请说明理由。
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵正方形，
∴，，
又∵，∴
∴，可得
∴，∴
∵
∴
∴
即
（2）设，则，，
若，则，
∵
∴，
∴
又
∴
∴，即
∴
解得：（负根舍去）
22.如图，点、分别在的、边上，.
（1）若，，求；
（2）若，，求（用、表示）
【答案】（1）3；（2）
【解析】（1）设
，
（2）根据第一问得：
设，，
23.已知：如图，在等腰中，，是延长线上的一点，点是的中点，与交于点.
（1）求证：
（2）求证：
【答案及解析】
证明：（1）点是的中点，，
（2）证明：
如图，已知等腰，与轴交于点，
（1）求点的坐标；
（2）求的长；
（3）探究：在轴上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由。
【答案】（1）；（2）；（3）满足条件的点的坐标为
【解析】
过点作轴于，
由（1）知，
过点作轴于，过点作轴于，
由（1）知，由（2）知，，
在中，
由（2）知，
由（1）知，
以为顶点的三角形与相似，
①当时，
②当时
所以满足条件的点的坐标为
25.如图 在矩形 中, 是对角线的中点,, ，点是射线上的一个动点,点在射线上,且满足 ,过点 作 ,交射线于点.
(1)求证: ;
(2)如图1,当点在线段上时,设,四边形的面积为 ,求与的函数解析式,并写出它的定义域.
(3)当时,求的长.
【答案】（1）略；（2）；（3）
【解析】
(1)证明：是斜边上的中线，
又
且
.
（2）
设则
由（1）知：
设边设上的高为设，
（3）如图2，过点作，交于点,