贵州省沧江中学2013届高三上学期8月月考数学（理）试题

贵州省沧江中学2013届高三上学期8月月考理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A={－1, 0, 1}，集合B={0, 1, 2, 3}，定义A＊B={(x, y)| x∈A∩B, y∈A∪B}，则A＊B中元素个数是（ ）
A．7 B．10 C．25 D．52
【答案】B
2．已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则 (　　）
A．{5,8} B．{7,9} C．{0,1,3} D．{2,4,6}
【答案】B
3．集合A＝|＝，其中＋＝5，且、∈N所有真子集个数（ ）
A．3 B．7 C．15 D．31
【答案】C
4．函数的零点所在的一个区间是 ( ）
A．（一2，一1） B．（一1，0） C．（0，1） D．（1，2）
【答案】B
5． 设是偶函数，是奇函数，那么的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
6．已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．[-,+∞) B．[-,0)∪(0,+∞)
C． [-,+∞) D．(-,0)∪(0,+∞)
【答案】B
7．已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
8． 函数的图象如图所示，其中a.b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
9．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
【答案】A
10．已知，若关于的方程没有实根，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
11．已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
12．已知函数，又为锐角三角形两锐角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知x∈R，y>0，集合A＝{x2＋x＋1，－x，－x－1}，集合B＝－y，－，y＋1，若A＝B，则x2＋y2的值为________．
【答案】5
14．已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k, 对定义域中的任意，等式＝＋恒成立．现有两个函数，，则函数、与集合的关系为
【答案】
15．设函数的定义域为，其中．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则在区间上的最大值与最小值的和为__ _．
【答案】或
16．函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 .
【答案】
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．设全集，集合，集合
(Ⅰ)求集合与； (Ⅱ)求、
【答案】(Ⅰ)，
不等式的解为，
，
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，
，
18．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【答案】（1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为 ＝12，所以这时租出了88辆.
(2）设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为
f(x)＝(100－)(x－150)－×50
整理得:f(x)＝－＋162x－2100＝－(x－4050)2＋307050
∴当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050 元
19．已知函数．
(1）若，求曲线在处切线的斜率；
(2）求的单调区间；
(3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）由已知，
．
故曲线在处切线的斜率为．
(Ⅱ）．
①当时，由于，故，
所以，的单调递增区间为．
②当时，由，得．
在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
(Ⅲ）由已知，转化为．
由（Ⅱ）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．
(或者举出反例：存在，故不符合题意．）
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，
所以，解得．
20．已知函数f(x)＝－x＋log2，求f()＋f(－)的值．
【答案】f(x)的定义域为(－1,1)，
∵f(－x)＝－(－x)＋log2
＝－(－x＋log2)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f()＋f(－)＝0.
21．某公司为了实现2011年1000万元的利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，现有二个奖励模型：，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？说明理由。（解题提示：公司要求的模型只需满足：当时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③，参考数据：）
【答案】由题意，符合公司要求的模型只需满足：当时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5 ； ③％．
(1）对于，易知满足①，但当时，，．
不满足公司要求；…（5分）
(2）对于 ，易知满足①，
当时，．
又，满足②
而％（1）
设
在为减函数．
（1）式成立，
满足③ ．
综上，只有奖励模型：能完全符合公司的要求
22．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)，
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值．
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
【答案】(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
求导，得f′(x)＝1－，
在[1，＋∞)上恒有f′(x)>0，
故f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝．
(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立 x2＋2x＋a>0恒成立，
设g(x)＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
配方，得g(x)＝(x＋1)2＋a－1，
显然g(x)在[1，＋∞)为增函数．
故在区间[1，＋∞)上，要使x2＋2x＋a>0恒成立，只要g(1)>0即可．
由g(1)＝3＋a>0，解得a>－3.
故实数a的取值范围为(－3，＋∞)．