贵州省洛万中学2013届高三上学期8月月考数学（理）试题

贵州省洛万中学2013届高三上学期8月月考理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数的最小值为（ ）
A． 1103×1104 B． 1104×1105 C． 2006×2007 D． 2005×2006
【答案】A
2．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有(　　)
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
【答案】B
4．函数f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．
C． D．
【答案】B
5．若是幂函数，且满足，则= .
A． 3
B．-3
C． D．
【答案】C
6．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f＝2，则不等式f(log4x)>2的解集为(　　)
A．∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．∪(，＋∞)
D．
【答案】A
7．若函数为奇函数，则的值为（ ）
A． 2 B． 1 C． -1 D． 0
【答案】B
8．设函数是定义在R上周期为3的奇函数，若，则有
A .且 B． 或 C． D.
【答案】B
9．函数的零点所在的大致区间是
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【答案】B
10．函数的大致图像是（ ）
【答案】B
11．函数的定义域为（ ）
A B C D
【答案】B
12．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”。下面4个函数中，能够被用来构造“同族函数”的是 ( ）
A． B． C． D．
【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知集合A＝{x|1≤log2x≤2}，B＝[a，b]，若A B，则实数a－b的取值范围是________．
【答案】(－∞，－2]
14．函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 .
【答案】
15．设是R上的奇函数，且=,当时，,则等于__________
【答案】
16．若，则实数的取值范围是 。
【答案】
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
【答案】(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解，得∴a>，
即实数a的取值范围是(，＋∞)．
(2)当a＝0时，方程只有一解，方程的解为x＝；
当a≠0时，应有Δ＝0，
∴a＝，此时方程有两个相等的实数根，A中只有一个元素，
∴当a＝0或a＝时，A中只有一个元素，分别是和．
(3)A中至多有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a＝0或a≥，即a的取值范围是{a|a＝0或a≥}．
18．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝．
(1)求a、b、c的值；
(2)试判断函数f(x)在(0，)上的单调性并说明理由；
(3)试求函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值．
【答案】(1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0.
即－ax－＋c＋ax＋＋c＝0，∴c＝0.
由f(1)＝，f(2)＝，
得a＋b＝，2a＋＝，解得a＝2，b＝．
∴a＝2，b＝，c＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝2x＋，∴f′(x)＝2－．
当x∈(0，)时，0<2x2<，则>2.
∴f′(x)<0.∴函数f(x)在(0，)上为减函数．
(3)由f′(x)＝2－＝0，x>0，得x＝．
∵当x>时，<2，∴f′(x)>0，
即函数f(x)在(，＋∞)上为增函数．
又由(2)知x＝处是函数的最小值点，
即函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f()＝2.
19．记函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg(x－a－1)(2a－x) (a<1)的定义域为B.
(1)求A；(2)若B A，求实数a的取值范围．
【答案】(1)由2－≥0，得≥0.
解上式得x<－1或x≥1，
即A＝(－∞，－1)∪1，＋∞)．
(2)由(x－a－1)(2a－x)>0，
得(x－a－1)(x－2a)<0.
由a<1，得a＋1>2a.
所以g(x)的定义域B＝(2a，a＋1)．
又因为B A，则可得2a≥1或a＋1≤－1，
即a≥或a≤－2.
因为a<1，所以≤a<1或a≤－2.
故当B A时，实数a的取值范围是
(－∞，－2∪．
20．某公司计划投资、两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方要成正比例，其关系如图2.（注：利润与投资量的单位：万元）
(1）分别将、两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
(2）该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
【答案】（1）设投资万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
依题意可设.
由图1，得即.
由图2，得即
故.
(1）设B产品投入万元，则A产品投入10-万元，设企业利润为万元，
由（1）得
，
当，即时，.
因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元。
21．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.
(Ⅰ）当时，求函数的表达式；
(Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
【答案】（Ⅰ）由题意当时，；当时，设，
显然在是减函数，由已知得，
解得
故函数的表达式为=
(Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立．
所以，当时，在区间上取得最大值．
综上，当时，在区间上取得最大值，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
22．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足a·b≠0.
(1)若a·b>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若a·b<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
【答案】(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1∵2x1<2x2，a>0 a(2x1－2x2)<0,3x1<3x2，b>0 b(3x1－3x2)<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．
当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，
当a<0，b>0时，()x>－，则x>log1.5(－)；
当a>0，b<0时，()x<－，则x