贵州省万峰中学2013届高三上学期8月月考（数学理）

贵州省万峰中学2013届高三上学期8月月考理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∩B＝B，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1，－1或0
【答案】D
2．已知集合则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
3．已知f(x)在R上是奇函数，f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )．
A．－2 B．2 C．－98 D．98
【答案】A
4．函数的定义域为
A． B C D。
【答案】D
5．下列四个函数中，在区间，上是减函数的是( )
. . . .
【答案】B
6．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】C
7．函数（x≤0）的反函数是 ( ）
A． B．
C． D．
【答案】D
8．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称
C．坐标原点对称 D．直线对称
【答案】C
9．函数在［0，+）内 ( ）
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
【答案】B
10．设函数（、为常数）的图象关于直线对称，则有 ( ）
A． B．
C． D．
【答案】A
11．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是（ ）
【答案】A
12．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
；；中满足“倒负”变换的函数是( )
A． B． C． D．只有
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数的定义域是 ．
【答案】{x| x≥1}
14．设是R上的奇函数，且=,当时，,则等于__________
【答案】
15．定义映射其中,,已知对所有的有序正整数对满足下述条件:
则的值为 。
【答案】6
16．有下列命题： ①函数y=f (-x+2)与y=f (x-2)的图象关于轴对称；
②若函数f（x）＝，则，都有；
③若函数f（x）＝loga| x |在（0，＋∞）上单调递增，
则f（－2）> f（a＋1）；
④若函数 (x∈)，则函数f(x)的最小值为.
其中真命题的序号是 .
【答案】②④
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．设n为正整数，规定：fn(x)＝f(f(…f(x)…)，已知f(x)＝
(1)解不等式f(x)≤x；
(2)设集合A＝{0,1,2}，对任意x∈A，证明：f3(x)＝x；
(3)探求f2012；
(4)若集合B＝{x|f12(x)＝x，x∈[0,2]}，证明：B中至少包含8个元素．
【答案】(1)①当0≤x≤1时，由2(1－x)≤x得x≥，∴≤x≤1.
②当1由①②得f(x)≤x的解集为．
(2)∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1，
∴当x＝0时，f3(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0；
当x＝1时，f3(1)＝f(f(f(1)))＝f(f(0))＝f(2)＝1；
当x＝2时，f3(2)＝f(f(f(2)))＝f(f(1))＝f(0)＝2.
即对任意x∈A，恒有f3(x)＝x.
(3)f1＝2＝，
f2＝f＝f＝，
f3＝f＝f ＝－1＝，
f4＝f＝f＝2＝，
一般地，f4k＋r＝fr(k，r∈N)．
∴f2012＝f4＝．
(4)∵f＝，∴fn＝，
则f12＝，∴∈B.
由(2)知，对x＝0或1或2，恒有f3(x)＝x，
∴f12(x)＝f4×3(x)＝x，
则0,1,2∈B.
由(3)知，对x＝，，，，恒有f12(x)＝f4×3(x)＝x，
∴，，，∈B.
综上所述，，0,1,2，，，，∈B.
∴B中至少含有8个元素．
18．已知函数f(x)＝(x∈R)为奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若f(x)＝k在(－∞，0)上有解，求实数k的范围．
【答案】(1)令x＝0，得f(0)＝0，即0.5(m＋m－2)＝0，所以m＝1，
当m＝1时，f(x)＝＝－f(－x)，
所以当m＝1时，f(x)为奇函数，所以m＝1.
(2)k＝f(x)＝＝＝1－．
∵x∈(－∞，0)，∴1<2x＋1<2.
∴1>>，∴－119．已知奇函数f(x)在定义域[－2,2]上单调递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
【答案】由f(1－m)＋f(1－m2)<0，
得f(1－m)<－f(1－m2)．
又f(x)为奇函数，
∴f(1－m)又∵f(x)在[－2,2]上单调递减，
∴解得－1≤m<1.
∴实数m的取值范围为[－1,1)．
20．学校要建一个面积为的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为和的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。
【答案】设游泳池的长为，则游泳池的宽为, 又设占地面积为，
依题意，
得
当且仅当,即时,取“=”.
答：游泳池的长为,宽为时，占地面积最小为648
21．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)用定义证明在上为减函数.
(3)若对于任意,不等式恒成立,求的范围.
【答案】（1）
经检验符合题意.
(2)任取
则
=
(3) ,不等式恒成立,
为奇函数,
为减函数,
即恒成立,而
(2）定义域关于原点对称，且，所以为奇函数. (3)当
，
又
所以 相等 .
22．设
求证：
(1）过函数图象上任意两点直线的斜率恒大于0；
(2）。
【答案】（1）令t=，则x=，f（x）= (t∈R）
∴f（x）= (x∈R）
设，f（）－f（）=
(1）a>1时，…，f（）(2）0∴<时，恒有f（）0
(2）f（3）=
∵a>0，a≠1 ∴ ∴上述不等式不能取等号，∴f（x）>3．