2021-2022学年山东省济南市莱芜实验中学片区教研共同体八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2021-2022学年山东省济南市莱芜实验中学片区教研共同体八年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．下列变形：①x（x﹣2y）＝x2﹣2xy，②x2+2xy+y2＝x2+y（2x+y），③x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），④x2y＝x x y，其中是因式分解的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．分式，，，中，最简分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若分式的值为0，则a的值为（　　）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
4．把分式中的a，b都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．扩大4倍 C．扩大2倍 D．不变
5．小明在七年级第二学期的数学成绩如下表．如果按如图所示的权重计算总评得分，那么小明该学期的总评得分为（　　）
姓名 平时 期中 期末 总评
小明 90 90 85
A．86分 B．87分 C．88分 D．89分
6．式子3x2y﹣3y因式分解的最后结果是（　　）
A．3y（x﹣1）（x+1） B．3（x2y﹣y）
C．3y（x2﹣1） D．y（3x2﹣3）
7．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
8．已知﹣＝1，则代数式的值为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
9．为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表：则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法错误的是（　　）
每天锻炼时间（分钟） 20 40 60 90
学生数 2 3 4 1
A．众数是60 B．平均数是21
C．抽查了10个同学 D．中位数是50
10．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足ac+bc＝b2+ab，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
11．甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（　　）
A．2 B．5 C．20 D．9
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　 　．
14．若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，则的值为　 　．
15．某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图所示的条形统计图．由图可知，11名成员射击成绩的中位数是　 　环．
16．如果x﹣＝5，那么x2+＝　 　．
17．关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是　 　．
18．式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，则二阶行列式＝　 　．
三、解答题（共80分）
19．计算：
（1）+（ab﹣b2） ；
（2）（﹣x﹣1）÷．
20．将下列各式因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）9（a+b）2﹣（a﹣b）2．
21．解方程：
（1）+＝3；
（2）﹣1＝．
22．已知△ABC三边长a，b，c满足a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝0，试判断△ABC的形状．
23．某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调制了如图的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为 　 　，图1中m的值是 　 　；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
24．已知：a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数．求代数式÷（）的值．
25．若关于x的方程：+＝．
（1）有增根，求a的值；
（2）无解，求a的值．
26．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
27．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
……
（1）计算＝　 　；
（2）探究＝　 　；（用含有n的式子表示）
（3）若的值为，求n的值．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．下列变形：①x（x﹣2y）＝x2﹣2xy，②x2+2xy+y2＝x2+y（2x+y），③x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），④x2y＝x x y，其中是因式分解的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：属于因式分解的是x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），共1个，
故选：A．
2．分式，，，中，最简分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简分式（分式的分子和分母中不含有公因式）的概念进行分析判断．
解：的分子和分母中不含有公因式，是最简分式；
的分子和分母中含有公因式（a+b），不是最简分式；
的分子和分母中含有公因数3，不是最简分式；
的分子和分母中不含有公因式，是最简分式；
最简分式有2个，
故选：B．
3．若分式的值为0，则a的值为（　　）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
【分析】根据分式值为零及分式有意义的条件列方程及不等式求解．
解：由题意可得，
解得：a＝﹣1，
故选：C．
4．把分式中的a，b都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．扩大4倍 C．扩大2倍 D．不变
【分析】根据分式的性质，可得答案．
解：中的a，b都扩大2倍，得
＝，
故选：C．
5．小明在七年级第二学期的数学成绩如下表．如果按如图所示的权重计算总评得分，那么小明该学期的总评得分为（　　）
姓名 平时 期中 期末 总评
小明 90 90 85
A．86分 B．87分 C．88分 D．89分
【分析】根据平时，期中以及期末的成绩乘以各自的百分比，结果相加即可得到总得分．
解：根据题意得：
90×10%+90×30%+85×60%＝9+27+51＝87（分），
则小明该学期的总评得分为87．
故选：B．
6．式子3x2y﹣3y因式分解的最后结果是（　　）
A．3y（x﹣1）（x+1） B．3（x2y﹣y）
C．3y（x2﹣1） D．y（3x2﹣3）
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝3y（x2﹣1）
＝3y（x+1）（x﹣1）．
故选：A．
7．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
解：去分母得：2﹣a＝x﹣1，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
代入整式方程得：a＝2，
故选：C．
8．已知﹣＝1，则代数式的值为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【分析】由﹣＝1利用分式的加减运算法则得出m﹣n＝﹣mn，代入原式＝计算可得．
解：∵﹣＝1，
∴﹣＝1，
则＝1，
∴mn＝n﹣m，即m﹣n＝﹣mn，
则原式＝
＝
＝
＝﹣3，
故选：D．
9．为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表：则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法错误的是（　　）
每天锻炼时间（分钟） 20 40 60 90
学生数 2 3 4 1
A．众数是60 B．平均数是21
C．抽查了10个同学 D．中位数是50
【分析】根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可．
解：A、60出现了4次，出现的次数最多，则众数是60的说法正确，不符合题意；
B、这组数据的平均数是：（20×2+40×3+60×4+90×1）÷10＝49，原来的说法错误，符合题意；
C、调查的学生数是2+3+4+1＝10，故说法正确，不符合题意；
D、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是（40+60）÷2＝50，则中位数是50，故说法正确，不符合题意．
故选：B．
10．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足ac+bc＝b2+ab，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【分析】把等式的两边分别因式分解，可得c（a+b）＝b（a+b），据此可得b＝c，可得△ABC是等腰三角形．
解：由ac+bc＝b2+ab得，c（a+b）＝b（a+b），
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：D．
11．甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工（x+6）个，根据甲加工240个零件所用的时间与乙加工300个零件所用的时间相等，列方程．
解：设甲每小时加工x个零件，根据题意可得：
＝．
故选：B．
12．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（　　）
A．2 B．5 C．20 D．9
【分析】根据完全平方公式和平方差公式将a2+2ab+b2﹣c2＝10的左边因式分解得到（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，再将a+b+c＝5整体代入即可求解．
解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，
（a+b）2﹣c2＝10，
（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，
∵a+b+c＝5，
∴5（a+b﹣c）＝10，
解得a+b﹣c＝2．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　9或﹣7　．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
解：∵多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，
∴m﹣1＝±8，
解得：m＝9或m＝﹣7，
故答案为：9或﹣7
14．若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，则的值为　　．
【分析】根据完全平方公式把已知条件变形得到（m+n）2+（n﹣3）2＝0，再根据非负数的性质求出m、n，然后把m、n的值代入计算即可．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0且n﹣3＝0，
∴m＝﹣3，n＝3，
∴＝＝﹣．
故答案为﹣．
15．某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图所示的条形统计图．由图可知，11名成员射击成绩的中位数是　8　环．
【分析】11名成员射击成绩处在第6位的是8，则中位数为8．
解：∵按大小排列在中间的射击成绩为8环，则中位数为8．
故答案为：8．
16．如果x﹣＝5，那么x2+＝　27　．
【分析】将已知等式两边平方，再两边都加上2即可．
解：∵x﹣＝5，
∴（x﹣）2＝25，即x2﹣2+＝25，
∴x2+＝27，
故答案为：27．
17．关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是　a＜﹣1且a≠﹣2　．
【分析】先去分母得2x+a＝x﹣1，可解得x＝﹣a﹣1，由于关于x的方程的解是正数，则x＞0并且x﹣1≠0，即﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2．
解：去分母得2x+a＝x﹣1，
解得x＝﹣a﹣1，
∵关于x的方程的解是正数，
∴x＞0且x≠1，
∴﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2，
∴a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2．
故答案为：a＜﹣1且a≠﹣2．
18．式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，则二阶行列式＝　﹣　．
【分析】先根据题意进行变形，再根据分式的乘法法则和整式的乘法法则算乘法，最后算减法即可．
解：
＝（a2﹣a） ﹣a×1
＝a（a﹣1） ﹣a
＝﹣a
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题（共80分）
19．计算：
（1）+（ab﹣b2） ；
（2）（﹣x﹣1）÷．
【分析】（1）先根据分式的乘方算乘方，再根据分式的乘法和除法法则进行计算，最后根据分式的加法法则进行计算即可；
（2）先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法进行计算，最后求出答案即可．
解：（1）原式＝ +b（a﹣b）
＝﹣+
＝0；
（2）原式＝
＝
＝
＝﹣（x+2）（x﹣1）
＝﹣（x2+x﹣2）
＝﹣x2﹣x+2．
20．将下列各式因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）9（a+b）2﹣（a﹣b）2．
【分析】（1）先提公因式，再应用平方差公式；
（2）直接利用平方差公式即可．
解：（1）原式＝2x（x2﹣4）
＝2x（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝[3（a+b）+（a﹣b）][3（a+b）﹣（a﹣b）]
＝（4a+2b）（2a+4b）
＝4（2a+b）（a+2b）．
21．解方程：
（1）+＝3；
（2）﹣1＝．
【分析】（1）方程两边都乘以x﹣3得出2﹣x﹣1＝3（x﹣3），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘以（x+3）（x﹣1）得出x（x+3）﹣（x+3）（x﹣1）＝4，求出方程的解，再进行检验即可．
解：（1）方程两边都乘以x﹣3，得2﹣x﹣1＝3（x﹣3），
解得：x＝2.5，
检验：当x＝2.5时，x﹣3≠0，所以x＝2.5是原方程的解，
即原方程的解是x＝2.5；
（2）原方程化为：﹣1＝，
方程两边都乘以（x+3）（x﹣1），得x（x+3）﹣（x+3）（x﹣1）＝4，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+3）（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，
即原方程无解．
22．已知△ABC三边长a，b，c满足a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝0，试判断△ABC的形状．
【分析】由a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝0整理可得：（a﹣3）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0，由非负数的性质可求得a、b、c的值，可判断出三角形的形状．
解：
∵a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43
＝a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+c2﹣10c+25
＝（a﹣3）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2
＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣3＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝3，c＝5，
∴△ABC为等腰三角形．
23．某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调制了如图的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为 　50人　，图1中m的值是 　32　；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【分析】（1）由捐款5元的人数及其所占百分比可得总人数，再用捐款10元的人数除以总人数可得m的值；
（2）根据平均数、众数和中位数的概念求解可得答案；
（3）用总人数乘以样本中捐款10元的人数所占比例即可．
解：（1）本次接受随机调查的学生人数为4÷8%＝50（人），
∴m%＝×100%＝32%，即m＝32，
故答案为：50人，32；
（2）本次调查获取的样本数据的平均数是：×（4×5+16×10+12×15+10×20+8×30）＝16（元），
本次调查获取的样本数据的众数是：10元，
本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；
（3）估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为3000×＝960（人）．
24．已知：a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数．求代数式÷（）的值．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后求出a的值，最后代入原式即可求出答案．
解：原式＝﹣÷[﹣]
＝﹣÷
＝﹣
＝﹣
＝﹣，
由题意可知：a2﹣6a+9+|b﹣1|＝0，
∴（a﹣3）2+|b﹣1|＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴原式＝＝．
25．若关于x的方程：+＝．
（1）有增根，求a的值；
（2）无解，求a的值．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，
（1）由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；
（2）整式方程变形后，由分式方程无解，确定出a的值即可．
解：分式方程去分母得：3x+9+ax＝4x﹣12，
（1）由分式方程有增根，得到（x+3）（x﹣3）＝0，即x＝3或x＝﹣3，
把x＝3代入整式方程得：18+3a＝0，即a＝﹣6；
把x＝﹣3代入整式方程得：﹣3a＝﹣24，即a＝8，
综上，a的值为﹣6或8；
（2）整式方程整理得：（a﹣1）x＝﹣21，
由方程无解，得到a﹣1＝0，即a＝1或8或﹣6．
26．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；
（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．
解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得，＝，
解得 x＝40．
经检验，x＝40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）甲乙两种商品的销售量为＝50．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，
解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
27．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
……
（1）计算＝　　；
（2）探究＝　　；（用含有n的式子表示）
（3）若的值为，求n的值．
【分析】通过观察数据找到规律，并以规律解题即可．
解：（1）原式＝1﹣﹣+﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；
（2）原式＝1﹣﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；
（3）
＝+…+
＝＝
由＝，解得n＝17，
经检验n＝17是方程的根，
∴n＝17．