2021-2022学年上海市普陀区培佳双语学校八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年上海市普陀区培佳双语学校八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1．下列结论正确的是（　　）
A．的有理化因式可以是
B．
C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）
D．是最简二次根式
2．一元二次方程x2+2x+2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
3．把方程2x2﹣3x+1＝0变形为（x+a）2＝b的形式，正确的变形是（　　）
A．（x﹣）2＝16 B．（x﹣）2＝
C．2（x﹣）2＝ D．2（x﹣）2＝16
4．若方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠1 B．m≥0
C．m≥0且m≠1 D．m为任何实数
5．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　）
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．互为有理化因式
6．下列各条件中，不能够判定两个三角形必定全等的是（　　）
A．两边及其夹角对应相等
B．三边对应相等
C．两角及一角的对边对应相等
D．两边及﹣边的对角对应相等
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．化简：（a＞0）＝　 　．
8．若x2﹣3kx+9是一个完全平方式，则常数k＝　 　．
9．若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝　 　．
10．写出2﹣n的一个有理化因式：　 　．
11．计算：＝　 　．
12．方程x2＝2x的根为 　 　．
13．在实数范围内分解因式：x2+8x﹣11＝　 　．
14．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝　 　．
15．等腰三角形有两条边长分别为2cm、3cm，它的周长为 　 　．
16．农机厂计划用两年时间把产量提高44%，如果每年比上一年提高的百分数相同，这个百分数为 　 　．
17．若|a|+a＝0，化简＝　 　．
18．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则x1*x2＝　 　．
三、简答题（每题5分，共25分）
19．计算：．
20．计算：．
21．用配方法解方程：2x2﹣6x﹣7＝0．
22．解方程：（x+5）（x﹣2）＝1．
23．解方程：4x（x﹣6）+3（6﹣x）＝0．
四.解答题（7+7+7+11＝32分）
24．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣3＝0（m为实数）有两个实数根，求m的值．
25．如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，问AB和BC的边各应是多少？
26．求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．
27．已知等边三角形ABC，点D是边AC上任意一点，延长BC至E，使CE＝AD．
（1）如图1，点D是AC中点，求证：DB＝DE；
（2）如图2，点D不是AC中点，求证：DB＝DE；
（3）如图3，点D不是AC中点，点F是BD的中点，连接AE，AF，求证：AE＝2AF．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1．下列结论正确的是（　　）
A．的有理化因式可以是
B．
C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）
D．是最简二次根式
【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案．
解：A、的有理化因式可以是，故A不符合题意．
B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合题意．
C、∵（2﹣）x＞1，
∴x＜，
∴x＜﹣2﹣，故C不符合题意．
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
2．一元二次方程x2+2x+2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【分析】求出b2﹣4ac的值，根据b2﹣4ac的正负即可得出答案．
解：x2+2x+2＝0，
这里a＝1，b＝2，c＝2，
∵b2﹣4ac＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴方程无实数根，
故选：D．
3．把方程2x2﹣3x+1＝0变形为（x+a）2＝b的形式，正确的变形是（　　）
A．（x﹣）2＝16 B．（x﹣）2＝
C．2（x﹣）2＝ D．2（x﹣）2＝16
【分析】先移项，再将二次项系数化为1，最后配上一次项系数一半的平方即可．
解：2x2﹣3x＝﹣1，
x2﹣x＝﹣，
x2﹣x＝﹣+，即（x﹣）2＝，
故选：B．
4．若方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠1 B．m≥0
C．m≥0且m≠1 D．m为任何实数
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．结合二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求得．
解：根据题意得：
解得：m≥0且m≠1．
故选：C．
5．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　）
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．互为有理化因式
【分析】求出a与b的值即可求出答案．
解：∵a＝＝+2，b＝2+，
∴a＝b，
故选：A．
6．下列各条件中，不能够判定两个三角形必定全等的是（　　）
A．两边及其夹角对应相等
B．三边对应相等
C．两角及一角的对边对应相等
D．两边及﹣边的对角对应相等
【分析】针对选项提供的已知条件要认真分析，符合全等三角形判定方法要求的是正确的，反之，是错误的，本题中选项D，满足的是SSA是不能判定三角形全等的，与是答案可得．
解：A、符合ASA；
B、符合SSS；
C、符合AAS；
D、符合SSA，所以不能够判定．
故选：D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．化简：（a＞0）＝　2a　．
【分析】依据二次根式的性质化简即可．
解：原式＝＝2a．
故答案为：2a．
8．若x2﹣3kx+9是一个完全平方式，则常数k＝　±2　．
【分析】根据完全平方式的结构特征解决此题．
解：x2﹣3kx+9＝x2﹣3kx+32．
∵x2﹣3kx+9是一个完全平方式，
∴﹣3kx＝±6x．
∴﹣3k＝±6．
∴k＝±2．
故答案为：±2．
9．若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝　9　．
【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2a﹣4＝2，
3a+b＝a﹣b，
解得：a＝3，b＝﹣3．
∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．
故答案为：9．
10．写出2﹣n的一个有理化因式：　2+n　．
【分析】根据平方差公式即可得出答案．
解：2﹣n的有理化因式2+n，
故答案为2﹣n．
11．计算：＝　x　．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式除法运算法则求出答案．
解：＝ 2÷2
＝×
＝x．
故答案为：x．
12．方程x2＝2x的根为 　x1＝0，x2＝2　．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：x2＝2x，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0，或x﹣2＝0，
x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
13．在实数范围内分解因式：x2+8x﹣11＝　（x+4+3）（x+4﹣3）　．
【分析】先将x2+8x配方，然后根据平方差公式求解．
解：x2+8x﹣11＝x2+8x+16﹣16﹣11＝（x+4）2﹣27＝（x+4+3）（x+4﹣3）．
故答案为：（x+4+3）（x+4﹣3）．
14．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝　25°　．
【分析】由∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，可求得∠ACE的度数，又由三角形外角的性质，可得∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F，继而求得答案．
解：∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵∠EDF＝90°，∠E＝30°，
∴∠F＝90°﹣∠E＝60°，
∵∠ACE＝∠CDF+∠F，∠BCE＝40°，
∴∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F＝45°+40°﹣60°＝25°．
故答案为：25°．
15．等腰三角形有两条边长分别为2cm、3cm，它的周长为 　（2+6）cm　．
【分析】根据2cm、3cm可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
解：当2为腰时，三边为2，2，3，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当3为腰时，三边为3，3，2，符合三角形三边关系定理，周长为：2+3+3＝（2+6）（cm）．
故答案为：（2+6）cm．
16．农机厂计划用两年时间把产量提高44%，如果每年比上一年提高的百分数相同，这个百分数为 　20%　．
【分析】设每年比上一年提高的百分数为x，根据农机厂计划用两年时间把产量提高44%，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设每年比上一年提高的百分数为x，
依题意得：（1+x）2＝1+44%，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意）．
故答案为：20%．
17．若|a|+a＝0，化简＝　1　．
【分析】根据绝对值得性质得出a的取值范围，进而取绝对值以及开平方即可．
解：∵|a|+a＝0，
∴|a|＝﹣a，
∴a≤0，
∴＝＝1．
故答案为：1．
18．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则x1*x2＝　﹣4或4　．
【分析】首先求出方程的根，进而利用a*b＝进而求出即可．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x＝4或3，
当x1＝3，x2＝4，
则x1*x2＝3×4﹣42﹣4，
当x1＝4，x2＝3，
则x1*x2＝42﹣4×3＝4，
故答案为：﹣4或4．
三、简答题（每题5分，共25分）
19．计算：．
【分析】先开方，再合并同类二次根式即可．
解：原式＝14﹣20++9
＝．
20．计算：．
【分析】利用二次根式的性质得到x＝（）2，y＝（）2，则可利用平方差公式和完全平方公式把分子分解，然后约分后合并即可．
解：原式＝﹣
＝﹣﹣（﹣）
＝0．
21．用配方法解方程：2x2﹣6x﹣7＝0．
【分析】根绝一元二次方程配方法的一般步骤求解即可．
解：移项，得2x2﹣6x＝7，
二次项系数化为1，得x2﹣3x＝，
配方，得x2﹣3x+＝+，
∴（x﹣）2＝．
∴x﹣＝±．
∴x＝±．
∴x1＝，x2＝．
22．解方程：（x+5）（x﹣2）＝1．
【分析】整理为一般式，再根据公式法解一元二次方程的步骤依次计算即可．
解：整理为一般式，得：x2+3x﹣11＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝﹣11，
∴Δ＝32﹣4×1×（﹣11）＝50＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
23．解方程：4x（x﹣6）+3（6﹣x）＝0．
【分析】由4x（x﹣6）+3（6﹣x）＝0知4x（x﹣6）﹣3（x﹣6）＝0，继而得（x﹣6）（4x﹣3）＝0，据此得出x﹣6＝0或4x﹣3＝0，再进一步求解即可．
解：∵4x（x﹣6）+3（6﹣x）＝0，
∴4x（x﹣6）﹣3（x﹣6）＝0，
∴（x﹣6）（4x﹣3）＝0，
则x﹣6＝0或4x﹣3＝0，
解得x1＝6，x2＝．
四.解答题（7+7+7+11＝32分）
24．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣3＝0（m为实数）有两个实数根，求m的值．
【分析】由题意得m﹣1≠0且Δ≥0，由此求得m的值．
解：根据题意，得．
解得m或m≥且m≠1．
即m的值为：m或m≥且m≠1．
25．如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，问AB和BC的边各应是多少？
【分析】设AB长为x米，则BC长为（36﹣3x）米，根据长方形的面积公式结合长方形ABCD的面积为96平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
解：设AB长为x米，则BC长为（36﹣3x）米，
根据题意得：x（36﹣3x）＝96，
整理得：x2﹣12x+32＝0，
解得：x1＝4，x2＝8．
∵BC＜22，
∴x＝8．
答：AB长8米，BC长12米．
26．求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．
【分析】将原命题写出已知和求证，然后进行证明，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠A′B′D′＝∠B，然后证明△ABD≌△A′B′D′可得AB＝A′B′，再证明△ABC≌△A′B′C′即可．
【解答】已知：△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B′，∠B、∠B′的角平分线BD＝B′D′，
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：∵∠B＝∠B'且∠B、∠B′的角平分线分别为BD和B′D′，
∴∠ABD＝∠A′B′D′＝∠B，
∵在△ABD和△A′B′D′中，
∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），
∴AB＝A′B′，
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．
27．已知等边三角形ABC，点D是边AC上任意一点，延长BC至E，使CE＝AD．
（1）如图1，点D是AC中点，求证：DB＝DE；
（2）如图2，点D不是AC中点，求证：DB＝DE；
（3）如图3，点D不是AC中点，点F是BD的中点，连接AE，AF，求证：AE＝2AF．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到BD为∠ABC的角平分线，∠ABC＝∠ACB＝60°，根据等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理证明；
（2）过D作EF∥DG交AB，交BC于G，证明△BDC≌△EDG，根据全等三角形的性质证明结论；
（3）延长AF至H，使FH＝AF，连接DH，证明△ABF≌△HDF，得到AB＝HD，∠ABF＝∠HDF，证明△ADH≌△ECA，得到AE＝AH，证明结论．
【解答】证明：（1）∵在等边△ABC中，D是AC的中点，
∴BD为∠ABC的角平分线，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠CDE+∠CED＝∠ACB，
∴∠CDE＝∠CED＝∠ACB＝30°，
∴∠CBD＝∠CED＝30°，
∴BD＝DE；
（2）过D作EF∥DG交AB，交BC于G，
∴∠DGC＝∠ABC＝60°，又∠DCG＝60°，
∴△DGC为等边三角形，
∴DG＝GC＝CD，
∴BC﹣GC＝AC﹣AD，即AD＝BG，
∵AD＝CE，
∴BG＝CE，
∴BC＝GE，
在△BDC和△EDG中，
，
∴△BDC≌△EDG（SAS）
∴BD＝DE；
（3）延长AF至H，使FH＝AF，连接DH，
在△ABF和△HDF中，
，
∴△ABF≌△HDF（SAS）
∴AB＝HD，∠ABF＝∠HDF，
∴AC＝HD，AB∥DH，
∴∠ADH＝180°﹣∠BAC＝120°，
在△ADH和△ECA中，
∴△ADH≌△ECA（SAS）
∴AE＝AH，
∵AH＝2AF，
∴AE＝2AF．