2019-2020学年上海市徐汇区西南民办位育高二（上）期中数学试卷 （Word解析版）

2019-2020学年上海市徐汇区西南民办位育高二（上）期中数学试卷
一.填空题（共14小题）.
1．直线x﹣y+1＝0的倾斜角为　 　．
2．直线l过A（3，﹣1），且l的一个法向量，则直线l的点法向式方程为 　 　．
3．将代数式b2﹣4ac表示成一个二阶行列式 　 　．
4．已知＝（1，2），＝（4，6），是的单位向量，则的坐标为 　 　．
5．已知线性方程组的增广矩阵为，若该方程组的解为，则c1+c2＝　 　．
6．行列式中元素0的代数余子式的值为5，则k＝　 　．
7．已知直线l的法向量，若l与直线x﹣ay+1＝0的夹角为，则实数a＝　 　．
8．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，若BF2＝F1F2＝2，则该椭圆的标准方程为　 　．
9．已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣m与直线3x+4y+10＝0相切，则m＝　 　．
10．若，且与的夹角为，则　 　．
11．设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝k（x+2）与区域M有公共点，则实数k的取值范围是 　 　．
12．已知P（x，y）为直线y＝x上的动点，，则m的最小值为 　 　．
13．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为　 　．
14．已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1，直线l1、l2分别过圆心M、N，且l1与圆M相交于 A、B两点，l2与圆N相交于C、D两点，P是圆x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0上任意一点，则的最小值为 　 　．
二.选择题
15．已知梯形ABCD，AB∥CD，设，向量的起点和终点分别是 A、B、C、D中的两个点，若对平面内任意的非零向量，都可以唯一的表示为和的线性组合，下面几个选项中，不可以作为的是（　　）
A． B． C． D．
16．已知△ABC的周长为12，B（0，﹣2），C（0，2），则顶点A的轨迹方程为（　　）
A．（x≠0） B．（y≠0）
C．（x≠0） D．（y≠0）
17．已知向量均为非零向量，且在方向上的投影是2，则下列说法正确的是（　　）
A．在方向上的投影是﹣4
B．在方向上的投影是2
C．在方向上的投影是2
D．在方向上的投影是4
18．在直角坐标系xOy中，异于坐标原点的点P（xP，yP）和点Q（xQ，yQ）满足，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”，若若∠POQ＝θ，其中O为坐标原点，则m与θ的值（　　）
A．m不确定， B．，θ不确定
C． D．m不确定，θ不确定
三、解答题
19．已知向量．
（1）求与的坐标；
（2）求△ABC的面积．
20．已知曲线C：4x2+ay2＝4a（a∈R）．
（1）当a∈（4，+∞）时，求曲线C的焦点坐标（用a表示）；
（2）当a＞0时，讨论曲线C的类型．
21．已知关于x，y的二元一次方程组（a∈R），讨论方程组解的情况，并求解方程组．
22．如图，矩形ABCD的两条对角线交于M（3，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣7＝0，点E（0，1）在BC边所在直线上．
（1）求AD边所在的直线方程
（2）求点A的坐标以及矩形ABCD外圆的方程．
23．2019年国庆，甲同学在10月1日看完阅兵式之后，10月2号启程前往某一著名沿海城市O地旅游，10月3号从天气预报上看到该沿海城市附近海面有一台风“米娜”，据监测，当前台风中心位于城市O（看作一点）的西偏北角方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向东南方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问：
（1）10小时后，该台风是否开始侵袭城市O，说明理由；
（2）城市O受到该台风侵袭的持续时间为多久？
24．如图，已知A（6，6），B（0，0），C（12，0），直线．
（1）求直线l经过的定点坐标；
（2）若直线l等分△ABC的面积，求直线l的方程；
（3）若，点E、F分别在线段BC和AC上，上S△APF＝S△BPE，求的取值范围．
参考答案
一.填空题
1．直线x﹣y+1＝0的倾斜角为　　．
【分析】先将直线方程化为斜截式，可求斜率，再根据斜率与倾斜角的关系可求答案．
解：将直线方程化为斜截式得，，
故斜率为，∴，
故答案为
2．直线l过A（3，﹣1），且l的一个法向量，则直线l的点法向式方程为 　3（x﹣3）+2（y+1）＝0　．
【分析】由题意直接求出直线的点法式方程．
解：直线l过A（3，﹣1），且l的一个法向量，
则直线l的点法向式方程为 3×（x﹣3）+2×（y+1）＝0，
故答案为：3（x﹣3）+2（y+1）＝0．
3．将代数式b2﹣4ac表示成一个二阶行列式 　　．
【分析】将所给的代数式表示为一个二阶行列式即可．
解：由于b2 4ac＝b×b 2a×2c，
故将其表示为一个二阶行列式可以是：．
故答案为：．
4．已知＝（1，2），＝（4，6），是的单位向量，则的坐标为 　　．
【分析】直接利用向量的线性运算，单位向量的应用求出结果．
解：已知＝（1，2），＝（4，6），则，
故向量的单位向量为
故答案为：．
5．已知线性方程组的增广矩阵为，若该方程组的解为，则c1+c2＝　4　．
【分析】由题意首先求得c1，c2 的值，然后计算两者之和即可．
解：由题意可得：，
从而c1＝3，c2＝1，c1+c2＝4．
故答案为：4．
6．行列式中元素0的代数余子式的值为5，则k＝　5　．
【分析】由题意得到关于k的方程，解方程即可求得k的值．
解：由题意可得 ，
即 （15 4k）＝5，解得k＝5．
故答案为：5．
7．已知直线l的法向量，若l与直线x﹣ay+1＝0的夹角为，则实数a＝　﹣　．
【分析】求出直线的斜率，结合直线的法向量的倾斜角，利用夹角求解即可．
解：直线l的法向量，法向量的倾斜角为，若l与直线x﹣ay+1＝0的夹角为，
可得：直线x﹣ay+1＝0的倾斜角为，
所以，所以a＝﹣．
故答案为：﹣．
8．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，若BF2＝F1F2＝2，则该椭圆的标准方程为　　．
【分析】直接利用椭圆中a、b、c的关系，求出椭圆的方程．
解：由于椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，若BF2＝F1F2＝2，
所以：2c＝2，解得c＝1，a2＝4，
故椭圆的方程为．
故答案为：．
9．已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣m与直线3x+4y+10＝0相切，则m＝　4　．
【分析】由已知可得圆心C到直线3x+4y+10＝0的距离等于圆的半径，列方程即可求解m的值．
解：圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣m的圆心坐标为C（1，﹣2），半径r＝，
因为圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣m与直线3x+4y+10＝0相切，
所以圆心C到直线3x+4y+10＝0的距离d＝r，
所以＝，
解得m＝4．
故答案为：4．
10．若，且与的夹角为，则　2　．
【分析】由向量模的公式计算即可．
解：＝＝2，
故答案为：2．
11．设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝k（x+2）与区域M有公共点，则实数k的取值范围是 　[，1]　．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线和区域的关系即可得到结论．
解：作出不等式组对应的平面区域，
直线y＝k（x+2）过定点P（﹣2，0），
由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大，当经过点B时，直线斜率最小，
联立方程组解得A（2，4），B（2，2），
，，
∴实数k的取值范围是[，1]．
故答案为：[，1]．
12．已知P（x，y）为直线y＝x上的动点，，则m的最小值为 　　．
【分析】利用两点间的距离公式得到m即为点P（x，y）到点（2，4）和点（﹣2，1）的距离之和，求出点（2，4）关于直线y＝x的对称点，由两点间距离公式即可求解m的最小值．
解：表示点P（x，y）到点（2，4）和点（﹣2，1）的距离之和，
点（2，4）关于直线y＝x的对称点为（4，2），
所以点P（x，y）到点（2，4）和点（﹣2，1）的距离之和的最小值为点（4，2）与点（﹣2，1）之间的距离，
所以mmin＝＝．
故答案为：．
13．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为　3　．
【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合＝0求得a值得答案．
解：设A（a，2a），a＞0，
∵B（5，0），∴C（，a），
则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．
联立，解得D（1，2）．
∴＝．
解得：a＝3或a＝﹣1．
又a＞0，∴a＝3．
即A的横坐标为3．
故答案为：3．
14．已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1，直线l1、l2分别过圆心M、N，且l1与圆M相交于 A、B两点，l2与圆N相交于C、D两点，P是圆x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0上任意一点，则的最小值为 　32　．
【分析】由题意可知，＝﹣1，＝﹣1，结合P为圆x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0上任意一点，可用P的坐标表示，然后结合圆的性质即可求解．
解：由题意可得，M（0，1），N（0，﹣1），rM＝rN＝1，
则＝（） （）＝+ （）+＝﹣1，
＝（） （）＝+ （）+＝﹣1，
∵P是圆x2+y2﹣6x﹣8y+24＝0上任意一点，圆方程可化为（x﹣3） +（y﹣4） ＝1，
不妨设P（﹣cosx+3，﹣sinx+4），
∴＝+﹣2＝（cosx﹣3） +（sinx﹣3） +（cosx﹣3） +（sinx﹣5） ﹣2
＝50+2﹣12cosx﹣16sinx
＝52﹣20sin（x+φ），其中sinφ＝，cosφ＝，
所以当sin（x+φ）＝1时，上式取最小值52﹣20＝32，
故答案为：32．
二.选择题
15．已知梯形ABCD，AB∥CD，设，向量的起点和终点分别是 A、B、C、D中的两个点，若对平面内任意的非零向量，都可以唯一的表示为和的线性组合，下面几个选项中，不可以作为的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用平面向量基本定理以及基底的定义可知，与不共线，再利用向量共线的定义分析判断即可．
解：由基底的定义可知，与不共线，
因为AB∥CD，，向量的起点和终点分别是 A、B、C、D中的两个点，
所以，
故不可以作为．
故选：B．
16．已知△ABC的周长为12，B（0，﹣2），C（0，2），则顶点A的轨迹方程为（　　）
A．（x≠0） B．（y≠0）
C．（x≠0） D．（y≠0）
【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
解：∵△ABC的周长为12，顶点B（0，﹣2），C（0，2），
∴BC＝4，AB+AC＝12﹣4＝8，
∵8＞4，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝4，c＝2
∴b2＝12，
∴椭圆的方程：（x≠0）
故选：A．
17．已知向量均为非零向量，且在方向上的投影是2，则下列说法正确的是（　　）
A．在方向上的投影是﹣4
B．在方向上的投影是2
C．在方向上的投影是2
D．在方向上的投影是4
【分析】根据向量的投影的概念可得结果．
解：因为向量均为非零向量，且在方向上的投影是2，
所以||cos＝2，
而＝，
所以在2方向上的投影为||cos＝||cos＝2，
故选：C．
18．在直角坐标系xOy中，异于坐标原点的点P（xP，yP）和点Q（xQ，yQ）满足，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”，若若∠POQ＝θ，其中O为坐标原点，则m与θ的值（　　）
A．m不确定， B．，θ不确定
C． D．m不确定，θ不确定
【分析】可以根据条件求出|OQ|＝ ＝|OP|，从而求出m的值，并可求出 ＝xP2+yP2，，从而可根据cosθ＝求出cosθ，进而得出θ．
解：|OQ|＝＝＝ ＝|OP|，
可得 ＝（xP，yP） （yP+xP，yP﹣xP）＝xP2+yP2，
所以m＝，cosθ＝＝，
又0≤θ≤π，
所以θ＝．
故选：C．
三、解答题
19．已知向量．
（1）求与的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用平面向量坐标运算法则能求出向量与的坐标．
（2）由cos∠ABC＝＝0，得到AB⊥AC，由此能求出△ABC的面积．
解：（1）∵向量．
∴＝（2，﹣1），＝（2，4）；
（2）cos∠ABC＝＝0，
∴AB⊥AC，
∴△ABC的面积S＝＝＝5．
20．已知曲线C：4x2+ay2＝4a（a∈R）．
（1）当a∈（4，+∞）时，求曲线C的焦点坐标（用a表示）；
（2）当a＞0时，讨论曲线C的类型．
【分析】（1）由曲线C：+＝1，当a∈（4，+∞）时，曲线为椭圆，则c2＝a2﹣b2＝a﹣4，即可得出答案．
（2）分三种情况：当a＝4时，当a＞4时，当0＜a＜4时，讨论曲线C的类型..
解：（1）因为曲线C：+＝1，
当a∈（4，+∞）时，曲线为椭圆，
所以c2＝a2﹣b2＝a﹣4，
所以曲线C的焦点的坐标为（﹣，0），（，0）．
（2）曲线C：+＝1，
当a＝4时，曲线为圆，
当a＞4时，曲线为焦点在x轴上的椭圆，
当0＜a＜4时，曲线为焦点在y轴上的椭圆．
21．已知关于x，y的二元一次方程组（a∈R），讨论方程组解的情况，并求解方程组．
【分析】分a＝2，a＝﹣1，a≠2且a≠﹣1三种情况分别求解方程组即可．
解：①当a＝2时，方程组为，此时两直线重合，方程组有无数组解；
②当a＝﹣1时，方程组为，此时两直线平行，方程组无解；
③当a≠2且a≠﹣1时，由解得，
综上所述，当a＝2时，无数解；
当a＝﹣1时，无解；
当a≠2且a≠﹣1时，．
22．如图，矩形ABCD的两条对角线交于M（3，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣7＝0，点E（0，1）在BC边所在直线上．
（1）求AD边所在的直线方程
（2）求点A的坐标以及矩形ABCD外圆的方程．
【分析】（1）利用垂直关系求出斜率，写出方程；
（2）联立解方程组求出A坐标，求出圆的半径，得到圆的方程．
解：（1）∵AB⊥AD，∴kAD＝﹣＝﹣＝﹣3，
E（0，1）关于M（3，0）的对称点为（6，﹣1）在直线AD上，
∴AD边所在直线的方程为：y+1＝﹣3（x﹣6），即3x+y﹣17＝0．
（2）联立 ，解得A（5.8，﹣0.4），
r2＝|AM|2＝（5.8﹣3）2+（0﹣0.4）2＝8，
∴矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣3）2+y2＝8．
23．2019年国庆，甲同学在10月1日看完阅兵式之后，10月2号启程前往某一著名沿海城市O地旅游，10月3号从天气预报上看到该沿海城市附近海面有一台风“米娜”，据监测，当前台风中心位于城市O（看作一点）的西偏北角方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向东南方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问：
（1）10小时后，该台风是否开始侵袭城市O，说明理由；
（2）城市O受到该台风侵袭的持续时间为多久？
【分析】（1）写出t小时后台风中心P的坐标，求得|PO|，10小时后台风的半径为160，半径|PO|与160的大小得结论；
（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以（﹣30+10，）为圆心，60+10t为半径的圆，若城市A受到台风侵袭，则，整理后求解不等式得结论．
解：（1）由图可知，O（0，0），P（，210），
设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），则，
此时台风的半径为60+10t．
10小时后，|PO|＝，
∵r＝160＜20，∴10小时后，该台风还未开始侵袭城市O；
（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以（﹣30+10，）为圆心，60+10t为半径的圆，
若城市A受到台风侵袭，则，
整理可得：300t2﹣10800t+86400≤0，
解得12≤t≤24．
故城市O受到该台风侵袭的持续时间为12小时．
24．如图，已知A（6，6），B（0，0），C（12，0），直线．
（1）求直线l经过的定点坐标；
（2）若直线l等分△ABC的面积，求直线l的方程；
（3）若，点E、F分别在线段BC和AC上，上S△APF＝S△BPE，求的取值范围．
【分析】（1）将直线变形为k（x﹣2）+（x﹣y）＝0，由恒等式可得方程组，从而求得直线所过的定点；
（2）根据条件确定直线l所过的定点在直线AB上，设出直线l与AC交点D，由S△APD＝确定D点位置，从而求出D点坐标，代入直线l的方程可求解方程；
（3）由S△APF＝S△BPE可得有|BE|＝2|AF|，设E（x，0）（0＜x≤12），可确定|AF|＝|AC|，由向量共线可得出F点坐标，表示出，应用二次函数求得其取值范围．
解：（1）直线可化为k（x﹣2）+（x﹣y）＝0，
联立，解得，故直线l经过的定点坐标为（2，2）；
（2）因为A（6，6），B（0，0），C（12，0），
所以有|AB|＝|AC|＝|BC|＝12，
由题可得直线AB方程为y＝x，故直线l经过的定点P（2，2）在直线AB上，
所以|AP|＝8，
设直线l与AC交于点D，
所以有S△APD＝，
即＝×|AB||AC|sinA，
所以|AD|＝|AC|＝9，
设D（x0，y0）
所以，
即（x0﹣6，y0﹣6）＝（6，﹣6），
所以x0＝，y0＝，
所以D（，），
将D点坐标代入直线l的方程，解得k＝﹣，
所以直线l的方程为：；
（3）由（2）可知△ABC为等边三角形，
所以S△APF＝|AP||AF|sin60°，
S△BPE＝|BP||BE|sin60°
而S△APF＝S△BPE，|AP|＝8，|BP|＝4，
所以有|BE|＝2|AF|，
设E（x，0）（0＜x≤12），
则|BE|＝x，
所以|AF|＝，
因为F在AC上，
设F（x1，y1）
所以＝，
即（x1﹣6，y1﹣6）＝（6，﹣6），
解得x1＝6+，y1＝6﹣，
所以F（6+，6﹣），
所以＝（x﹣2，﹣2），
＝（4+，4﹣），
故＝（x﹣2）（4+）﹣2（4﹣）＝，
因为0＜x≤12，
所以∈（﹣32，64]．