2020-2021学年上海市普陀区同二附中高一（上）期中数学试卷 （Word解析版）

2020-2021学年上海市普陀区同二附中高一（上）期中数学试卷
一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）.
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B等于　 　．
2．用列举法表示方程组的解集 　 　．
3．已知集合A＝{1}，B＝{a，a2+1}，若A B，则实数a的值为 　 　．
4．已知方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，则x12+x22＝　 　．
5．已知x＞0，则的最小值为　 　．
6．已知关于x的一元二次不等式x2+ax+1＞0解集为R，则实数a的取值范围是 　 　．
7．用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的过程中，第一步应假设 　 　．
8．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则实数a的取值集合为 　 　．
9．关于x的不等式|x﹣6|+|x﹣3|≥k的解集为R，则实数k的取值范围是 　 　．
10．已知a2x＝2（a＞0），则＝　 　．
11．已知全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，集合M＝{x|＜x＜a}，N＝{x|b}，则∩N＝　 　．
12．若a＞0，b＞0，a+2ab+2b＝15，则ab的最大值为 　 　．
二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分）
13．若命题α为“x＝1”，命题β为“x2＝1”，则α是β的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分又不必要
14．下列四个命题中，为真命题的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a＞b，则＜
15．已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（　　）
A．a﹣2 B．5a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a2
16．设A，B是有限集，定义：d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（　　）
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A．命题①和命题②都成立
B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立
D．命题①不成立，命题②成立
三、解答题（本题满分76分，共5小题）
17．解下列不等式（组）：
（1）；
（2）（a﹣1）x＞a2﹣1．
18．（1）已知＝1，求的值．
（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，求ab的值．
19．为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化硅转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2﹣200x+40000（0＜x≤300），且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．
（1）设该单位每月获利为S（元），试将S表示成月处理量x（吨）的函数，若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？
（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
20．（16分）已知关于x的不等式≤0的解集为M．
（1）若a＝4时，求集合M；
（2）若5 M，求实数a的取值范围；
（3）若实数3和5中有且只有一个属于集合M，求a的取值范围．
21．（18分）已知符号[x]表示不大于x的最大整数（x∈R），例如：[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．
（1）已知方程[x]＝3，求该方程的解集；
（2）设方程[|x|+|x﹣1|]＝3的解集为A，集合B＝{x|2x2﹣11kx+15k2≥0}，若A∪B＝R，求实数k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，集合C＝{x|x2﹣ax+1﹣2a≤0，a∈R}，是否存在实数a，A∩C＝A，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B等于　{x|1＜x＜2}　．
【分析】找出集合A和B中x范围的公共部分，即可确定出两集合的交集．
解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．
故答案为：{x|1＜x＜2}．
2．用列举法表示方程组的解集 　{（3，1）}　．
【分析】解出方程组的解集，再用列举法表示即可．
解：解方程组，得，
∴用列举法表示方程组的解集为{（3，1）}，
故答案为：{（3，1）}．
3．已知集合A＝{1}，B＝{a，a2+1}，若A B，则实数a的值为 　0或1　．
【分析】根据A B，从而得出a＝1或a2+1＝1，解得a＝0或1．
解：∵A B，
∴a＝1或a2+1＝1，解得a＝0或1．
故答案为：0或1．
4．已知方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，则x12+x22＝　11　．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，进而求得结论．
解：∵方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，
可得：x1+x2＝﹣＝﹣2，x1 x2＝＝﹣，
故 x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4﹣2×（﹣）＝11，
故答案为：11．
5．已知x＞0，则的最小值为　4　．
【分析】因为x＞0，直接利用基本不等式求出其最小值．
解：∵x＞0，则≥2＝4，当且仅当x＝ 时，等号成立，
故答案为 4．
6．已知关于x的一元二次不等式x2+ax+1＞0解集为R，则实数a的取值范围是 　（﹣2，2）　．
【分析】根据判别式列出不等式，求得a的取值范围．
解：关于x的一元二次不等式x2+ax+1＞0的解集为R，
则△＜0，即a2﹣4＜0
解得﹣2＜a＜2，
所以实数a的取值范围是（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
7．用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的过程中，第一步应假设 　a，b至少有一个不为0　．
【分析】根据已知条件，先求出原命题的否命题，即可求解．
解：∵命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的否定为“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b至少有一个不为0”，
∴用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的过程中，第一步应假设a，b至少有一个不为0．
故答案为：a，b至少有一个不为0．
8．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则实数a的取值集合为 　0或1　．
【分析】由题意可知方程ax2﹣2x+1＝0有两个相等的实根，对a是否为0分情况讨论，分别求出a的值即可．
解：∵集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，
∴方程ax2﹣2x+1＝0有两个相等的实根，
①当a＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，
解得x＝，
此时集合A＝{}，符合题意，
②当a≠0时，
∴△＝（﹣2）2﹣4a＝0，
∴a＝1，
此时集合A＝{1}，符合题意，
综上所述，a的值为0或1，
故答案为：0或1．
9．关于x的不等式|x﹣6|+|x﹣3|≥k的解集为R，则实数k的取值范围是 　（﹣∞，3]　．
【分析】由绝对值三角不等式可得|x+2|+|x﹣3|≥k的最小值，即可求得k的取值范围．
解：|x﹣6|+|x﹣3＝|x﹣6|+|3﹣x|≥|（x﹣6）+（3﹣x）|＝3，
∵关于x的不等式|x﹣6|+|x﹣3|≥k的解集为R，
∴k≤3．
故答案为：（﹣∞，3]．
10．已知a2x＝2（a＞0），则＝　　．
【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．
解：＝＝a2x+a﹣2x+1＝2++1＝．
故答案为：．
11．已知全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，集合M＝{x|＜x＜a}，N＝{x|b}，则∩N＝　{x|b}　．
【分析】推导出0＜b＜＜＜a，求出＝{x|x或x≥a}，由此能求出∩N．
解：全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，
∴0＜b＜＜＜a，
集合M＝{x|＜x＜a}，N＝{x|b}，
＝{x|x或x≥a}，
∴∩N＝{x|b}．
故答案为：{x|b}．
12．若a＞0，b＞0，a+2ab+2b＝15，则ab的最大值为 　　．
【分析】由已知可得a+2b＝15﹣2ab，结合a+2b≥2，解不等式即可求解．
解：∵a＞0，b＞0，a+2ab+2b＝15，
∴a+2b＝15﹣2ab，
∵a+2b≥2，
∴15﹣2ab≥2，
∵ab＞0，
∴解可得0＜ab≤，则ab的最大值为．
故答案为：．
二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分）
13．若命题α为“x＝1”，命题β为“x2＝1”，则α是β的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分又不必要
【分析】根据充要条件的定义，即可判断得出答案．
解：当“x＝1”时，“x2＝1”成立，
当“x2＝1”时，“x＝±1”故“x＝1”不一定成立，
即“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件，
故选：A．
14．下列四个命题中，为真命题的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a＞b，则＜
【分析】A，若a＞b，当c＝0时，ac2＝bc2，可判断A；
B，令a＝3，b＝2，c＝2，d＝0，可判断B；
C，利用不等式的性质可判断C；
D，令a＝2＞﹣1＝b，可判断D．
解：A，若a＞b，当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；
B，若a＝3，b＝2，c＝2，d＝0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c＝1＜b﹣d＝2，故B错误；
C，若a＞|b|，则a2＞|b|2＝b2，正确；
D，若a＝2＞﹣1＝b，则＞﹣1，故＜错误．
故选：C．
15．已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（　　）
A．a﹣2 B．5a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a2
【分析】先表示出a＝，结合对数的运算性质，从而得到答案．
解：∵3a＝2，∴a＝，
∴﹣2＝3﹣2（+1）＝3a﹣2（a+1）＝a﹣2，
故选：A．
16．设A，B是有限集，定义：d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（　　）
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A．命题①和命题②都成立
B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立
D．命题①不成立，命题②成立
【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，
③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．
解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，
若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，
命题②，d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）＝card（B∪C）﹣card（B∩C），
∴d（A，B）+d（B，C）＝card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）＝[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]
≥card（A∪C）﹣card（A∩C）＝d（A，C），故命题②成立，
故选：A．
三、解答题（本题满分76分，共5小题）
17．解下列不等式（组）：
（1）；
（2）（a﹣1）x＞a2﹣1．
【分析】（1）结合分式及二次不等式的求法进行转化即可求解；
（2）结合a﹣1的正负及一元一次不等式的求法进行分类讨论，即可求解．
解：（1）原不等式组可转化为，
即，
解得﹣1＜x≤6；
（2）当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞a+1}，
当a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a+1}，
故当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞a+1}，
当a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a+1}．
18．（1）已知＝1，求的值．
（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，求ab的值．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；（2）根据根与系数的关系求出lga+lgb＝2，根据指数幂的运算性质求出ab的值即可．
解：（1）∵＝1，
∴＝＝＝＝3；
（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，
则lga+lgb＝2，则lg（ab）＝2，故ab＝100．
19．为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化硅转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2﹣200x+40000（0＜x≤300），且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．
（1）设该单位每月获利为S（元），试将S表示成月处理量x（吨）的函数，若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？
（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【分析】（1）根据已知条件，结合利润＝总价值﹣总成本，列式即可得到函数关系，令S≥0，求解不等式即可；
（2）利用基本不等式求解即可得到答案．
解：（1）由题意可得，S＝300x﹣（x2﹣200x+40000）＝﹣x2+500x﹣40000（0＜x≤300），
令S≥0，即﹣x2+500x﹣40000≥0，解得100≤x≤400，
又0＜x≤300，
所以100≤x≤300，
故要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在[100，300]范围内；
（2）每吨的平均出来成本为，
当且仅当，即x＝200时取等号，
所以该单位每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
20．（16分）已知关于x的不等式≤0的解集为M．
（1）若a＝4时，求集合M；
（2）若5 M，求实数a的取值范围；
（3）若实数3和5中有且只有一个属于集合M，求a的取值范围．
【分析】（1）结合一元二次不等式的解法即可直接求解；
（2）由题意得＞0或5﹣a＝0，从而可求；
（3）结合集合元素与集合关系进行分类讨论，当3∈M，5 时，，当5∈M，3 时，，解不等式组可求．
解：（1）当a＝4时，原不等式可转化为，
解得﹣，
所以M＝{x|﹣}；
（2）因为5 M，
所以＞0或5﹣a＝0，
解得﹣1＜a≤5，
所以a的范围{a|﹣1＜a≤5}；
（3）若实数3和5中有且只有一个属于集合M，
当3∈M，5 M时，，
解得3≤a≤5，
当5∈M，3 M时，，
解得﹣，
综上，a的取值范围{a|3≤a≤5或﹣}．
21．（18分）已知符号[x]表示不大于x的最大整数（x∈R），例如：[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．
（1）已知方程[x]＝3，求该方程的解集；
（2）设方程[|x|+|x﹣1|]＝3的解集为A，集合B＝{x|2x2﹣11kx+15k2≥0}，若A∪B＝R，求实数k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，集合C＝{x|x2﹣ax+1﹣2a≤0，a∈R}，是否存在实数a，A∩C＝A，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据定义，直接求解即可；
（2）先求出集合A，B中表示元素的范围，再根据A∪B＝R，分k＝0，k＞0和k＜0三种情况，求解k的取值范围即可；
（3）由题意得到A C，设集合C的解集为（x1，x2）（x1＜x2），得到，再由子集的定义列式求解即可．
解：（1）由题意，方程[x]＝3，则x∈[3，4），
所以该方程的解集为[3，4）；
（2）因为[|x|+|x﹣1|]＝3，
所以3≤|x|+|x﹣1|＜4，
根据绝对值不等式的几何意义可得，A＝，
又B＝{x|2x2﹣11kx+15k2≥0}＝{x|（2x﹣5k）（x﹣k）≥0}，
当k＝0时，B＝{x|2x2≥0}＝R，则A∪B＝R，符合题意；
当k＞0时，B＝，
若A∪B＝R，
则，解得k∈；
当k＜0时，，
若A∪B＝R，
则，解得k∈．
综上所述，实数k的取值范围为∪{0}∪；
（3）因为A∩C＝A，
则A C且A＝，
所以设集合C的解集为（x1，x2）（x1＜x2），
则，
所以，解得，
故实数a的取值范围为．