高一数学参考答案
1．【答案】B【详解】由已知可得 A B = 3 .故选：B.
2．【答案】A【详解】 a 1， a 1 0 ,则 | a 1| 0；又由 | a 1| 0，解得 a 1或 a 1 .
“ a 1”是“ | a 1| 0 ”的充分不必要条件；故选：A
2
3．【答案】C【详解】 f ( 1) = ( 1) 2 ( 1) = 3故选：C.
4．【答案】D【详解】因为函数 f (x)是定义在 R上的偶函数，
所以 f (3) = f ( 3)， f (4) = f ( 4)
因为函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数，在 (0,+ )上是减函数，
所以函数 f (x)在 ( , 0)上是增函数，
因为2 3 4, f (4) f (3) f (2), f ( 4) f ( 3) f (2) .
故选：D.
k
5．【答案】D【详解】函数 f (x) = x2 kx + 2的对称轴为 x = ，
2
k
由于 f (x)在[ 2, 1]上是增函数，所以 2 k 4 .故选:D
2
1
6．【答案】A【详解】当m = 2 时， f (x) = x ，函数 f (x)在 (0,+ )上单调递减.故选：A
7．【答案】D【详解】根据阴影部分的形状可知：
面积增加的速度：先慢后快，当 P过 A 点后面积增加的速度：
先快后慢.故选：D
8．【答案】C【详解】函数 f (x) 满足 f (x)+ f ( x) = 0，所以 f (x)是奇函数，
f (x) f ( x) 2 f (x)
则 = ，在 (0,+ )上 f (x)是单调递减，且 f (2) = 0，
x x
f (x) f ( x) 2 f (x)
所以 = 0的解集为 (0, 2]；
x x
在 ( , 0)上 f (x)是单调递减，且 f ( 2) = f (2) = 0，
f (x) f ( x) 2 f (x)
所以 = 0的解集为[ 2,0) ；故选：C
x x
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9．【答案】BD【详解】
对于 A，当 a = 0,b = 2
2
时，a b
2
，所以 A 错误，
对于 B，因为 a b ，所以 a 2 b 2 b 3，，所以 a 2 b 3，所以 B 正确，
对于 C，当c = 0时，ac2 = bc2 = 0 ，所以 C 错误，
1 1 1 1 b a
对于 D， 0 0, a b b a 0 ab 0，所以 D 正确；故选：BD
a b a b ab
10．【答案】ACD【详解】
对于 A，显然正确；
1 1 1
对于 B，因为a 0，所以a + = a + 2+ 2 2 (a + 2) 2 = 0，
a + 2 a + 2 a + 2
1
当且仅当a + 2 = a = 3或a = 1时取“=”，所以 B 错误；
a + 2
对于 C，显然正确；
a b a b a b
对于 D，因为 a 0 ，b 0，所以 0, 0，则 + 2 = 2，
b a b a b a
a b
当且仅当 = a = b 时取“=”，所以 D 正确.故选：ACD.
b a
11．【答案】ABD【详解】
对于 A，命题“两个全等三角形的面积相等”是全称量词命题，所以 A 正确；
对于 B，若命题 p : x R , f (x) 0或 f (x) 1，则 p : x0 R，0 f (x0 ) 1，正确
x2 + 2x
对于 C，函数 f (x) = 的定义域为{x R | x 2}，故 f (x) 既不是奇函数也不是偶函数，
x + 2
所以 C 错误；
对于 D，充分性：若a +1是无理数，则a是无理数，充分性成立；
必要性：若a是无理数，则a + 5是无理数，必要性成立.
故“ a +1是无理数”是“ a是无理数”的充要条件，所以 D 正确.故选：ABD．
12.【答案】ACD【详解】
根据高斯函数的定义：对于 A，显然正确；
对于 B，因为 g(x) = x [x]，函数 g(x) 的值域为[0,1) ，所以 B 错误；
对于 C，因为函数 g(x) 的值域为[0,1)，所以对任意的 x ，方程 f (g(x)) = 0的解集为 R ，
所以 C 正确；
对于 D， f (x) = f (y)， [x] = [y] 1 x y 1，即 | x y | 1，所以 D 正确.
故选：ACD．
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13．【答案】3
a = 3
【详解】 A = B,a + 2 a ， ，解得a = 3故答案为：3
a + 2 = 5
14．【答案】 4,1) (1,+ )
【详解】根据题意知 x 1 0且 x + 4 0，
x 4且 x 1，即函数的定义域为 4,1) (1,+ )．故答案为： 4,1) (1,+ )
15．【答案】5
【详解】设三类课程都选择参加的学生有 x人，
由题意得8 3+ (7 x)+ (11 x)+ (8 x)+ x = 40，解得 x = 5 .故答案为：5
16.【答案】 ( , 3]
【详解】由 f (x) = g(x) 即 x 3 = x2 2x 3 ，解得 x = 0 或 x = 3
x2 2x 3, x 0
易知，h (x) = x 3,0 x 3 ，当 x = 0 时[h ( x)]min = 3 .
x
2 2x 3, x 3
对任意的 x 都有h ( x) m成立，则m 3即m ( , 3] .故答案为： ( , 3]
17．【答案】(1) ( , 4 3,+ ) , (2) ( , 1)
【详解】
（1）不等式可化为 (x + 4)(x 3) 0，解集为 ( , 4 3,+ ) ............5 分
（2）若 kx2 + 2x 1 0的解集为 R，
1
当 k = 0时，2x 1 0的解集为{x | x }，不合题意；............................7 分
2
k 0
当 k 0时，则 解得 k 1 ..........................................................9 分
4+ 4k 0
综上，实数 k的取值范围是 ( , 1) ............................................................10 分
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18.【答案】（1） x 4 x 7 ；（2）m 2 .
【详解】
（1）当m = 3， B = x 4 x 9 ，又CR A = x 2 x 7 ，..............................3 分
所以 (CR A) B = x 4 x 7 ；.................................................................................6 分
（2）因为 A B = ，
①当B = 时，则m +1 2m + 3，即m 2，符合题意，......................................8 分
m 2
②当B 时，所以 m +1 2 ，解得 2 m 2 ，...............................................11 分
2m + 3 7
综上所述，m 2 ............................................................................................................12 分
19．【答案】（1） 2；（2）见解析.
【详解】
1
（1）由题知不等式函数ax2 + x +1 0(a 0)的解集为{x | x 1}，
2
1
即 ,1是方程ax2 + x +1= 0(a 0)的两根，...............................................................2 分
2
1 1
所以 ( ) 1= ，.........................................................................................................4 分
2 a
解得a = 2 .........................................................................................................................5 分
1
（2）由于 f (x) = 2x2 + x +1的图象开口向下，且对称轴为 x = ，..........................6 分
4
1 1
因此 f (x)在 , 上单调递增，在 ,+ 上单调递减............................................8 分
4 4
1 7
当m+ 2 即m 时， f (x)max = f (m + 2) = 2m
2 7m 5 .......................................9 分
4 4
1 7 1 1 9
当m m+ 2 即 m 时， f (x)max = f ( ) = ...............................................10 分
4 4 4 4 8
1 2
当m 时， f (x)max = f (m) = 2m +m+1 .....................................................................11 分
4
2 7
2m 7m 5, m 4
9 7 1
综上， f (x)max = , m ...........................................................................12 分
8 4 4
2 1
2m +m +1, m
4
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20．
1
x
2 + 300x 35000,0 x 200
2
【答案】（1）P = ；（2）5 万
25000000150000 100x , x 200
x
【详解】
1
x
2 + 300x 35000,0 x 200
（1）由题知，利润 2P = ...........................................5 分
25000000150000 100x , x 200
x
1 2
（2）当0 x 200时， P = (x 300) +10000，
2
所以，当 x = 200时， P 有最大值 5000；..........................................................................8 分
当 x 200时，
25000000
P =150000 100x 150000 2 100 25000000 = 50000，............10 分
x
所以，当 x = 500 时， P 有最大值 50000；.......................................................................11 分
综上，当月产量为 500 时，公司所获利润最大.最大利润为 5 万元. ..............................12 分
1 1
21．【答案】（1） ；（2） ( , ]
4 6
【详解】（1）函数 f (x) = ax2 +bx +1(a 0,b 0) ,且 f (1) = 2(a 0,b 0) .
所以，a +b +1= 2(a 0,b 0)，即a +b =1(a 0,b 0) ...................................................1 分
2
a +b a +b 1
根据基本不等式 ab ，得ab = ，.........................................................3 分 2 2 4
1 1
当且仅当a = b = 时取等号，此时ab 有最大值 ..............................................................4 分
2 4
（2）由（1）知，0 a 1，..................................................................................................6 分
2
2 a + 2 3又 g(x) = mx mx 1，
g(a + 2) 0，令a + 2 = t(2 t 3) ，即当2 t 3时， g(t) 0 .......................................8 分
当m 0时，显然成立；...........................................................................................................9 分
1
当m 0时，只需 g(3) = 6m 1 0 ，解得0 m .............................................................11 分
6
1
综上，m 的取值范围 ( , ] ...................................................................................................12 分
6
试卷第 5 页，共 6 页
x 1
22．【答案】（1） f (x) = ；（22 ） x 1 x 1 x 2
【详解】
ax +b
（1）∵函数 f (x) = 是定义在 ( 1,1)2 上的奇函数； 1 x
b
∴ f (0) = 0，即 = 0，∴b = 0 .............................................................................................2 分
1
1
a
1 2 2 2
又∵ f = = ，即 2 ，∴a =1；.......................................................................4 分
2 3 1 31
2
x
∴函数 f (x)的解析式为 f (x) = ....................................................................................5 分
1 x2
x
（2）由（1）知 f (x) =
1 x2
令 1 x1 x2 1，则
x (1+ x2x x ) x (1+ x2 ) (x x )(1+ x
( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1
x2 )
f x f x = = =1 2
1 x2 1 x2 ( 2 )( 2 ) (1 x2 )(1 x2
1 2 1+ x1 1+ x2 1 2 )
∵ 1 x x x x 0, x x 11 2 1；∴ 1 2 1 2
1+ x x 0 1 x2∴ 1 2 ， 1 0,1 x
2
2 0
∴ f (x1 ) f (x2 ) 0，即 f (x1 ) f (x2 )
∴ f (x)在上 ( 1,1)是增函数.....................................................................................................7 分
又∵ f (x)在上 ( 1,1)是奇函数
∴ f (x +1)+ f (x) 0等价于 f (x +1) f (x)，...................................................................8 分
即 f (x +1) f ( x) .......................................................................................................................9 分
x +1 x
∴ x +1 1，.........................................................................................................................10 分
x 1
1
即 1 x ...........................................................................................................................11 分
2
∴不等式 f (x +1)+ f (x) 0的解集为
1
x 1 x . ....................................................................................................................12分
2
试卷第 6 页，共 6 页湖湘教育三新探索协作体2021年11月期中联考试卷
高一 数学
（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，将本试题卷和答题卷一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，B={3，4，5，6}，则（ ）
A．{1，3} B．{3} C．{3，4} D．{3，5}
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（-x+1（x<-1），
3．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．0
4．已知定义在R上的偶函数在（0，）上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数在[，]上是增函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．[2，） B．[，） C．（，2] D．（，]
6．幂函数，若在（0，）上单调递减，则m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=，在AB边上任取一点P，过P作斜边BC的垂线交BC于Q，则当P点按B→A→C的方向移动时，图中阴影部分的面积S随BQ的长度h变化的函数关系S（h）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数满足，在（0，）上是单调递减函数，且f（2）=0，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
10．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则的最小值为0
C．若，，则 D．若，，则
11．下列说法正确的是（ ）
A．命题“两个全等三角形的面积相等”是全称量词命题
B．若命题P：，或，则：，
C．命题“函数是奇函数”是真命题
D．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则关于函数和的叙述中正确的是（ ）
A． B．函数的值域为
C．方程的解集为R D．若，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若，集合A={1，a，a+2}，B={1，3，5}，且A=B，则a= ．
14．写出函数的定义域 ．
15．某学校开设校本课程，高一（2110）班确定了数学类、英语类、历史类三个类别校本课程供班上的40名学生选择参加，且40名学生全部参与选择．其中只选数学类的有8人，只选英语类的有8人，只选历史类的有8人，既选数学类又选英语类的有7人，既选数学类又选历史类的有11人，既选英语类又选历史类的有8人，则三类课程都选择参加的有 人．
16．对于任意实数a，b，定义，设函数，，函数，若成立，则m的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）解不等式；
（2）若关于x的不等式解集为R，求实数k的取值范围．
18．（12分）
集合，．
（1）当m=3，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
19．（12分）
二次函数，且的解集为．
（1）求a的值；
（2）求在区间上的最大值．
20．（12分）
某公司生产某种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月生产量为x（单位：台），已知总收入R（单位：元）满足函数：
（1）将利润P表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入=总成本+利润）
21．（12分）
函数（，），且．
（1）求ab的最大值：
（2）a为函数的二次项系数，函数，若恒成立，求m的取值范围．
22．（12分）
已知函数是定义在（，1）上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）解关于x的不等式．
