初中几何：特殊角或特殊值解题时的妙用（九年级上期末及中考一轮复习专用，含答案）

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初中几何：特殊角或特殊值在解题时的妙用
初中数学 九年级上期末 或中考一轮复习专用
在解几何题时，我们常常会碰到一些特殊角：30 、45 、60 ，还有一些特殊数值：
，，。
不过有时还可能出现以下两种情况：
①有时特殊角是15 ，那么我们可以适当变换：15 =45 -30 =60 -45 ，或者利用倍角30 =2×15 （通常要用到外角定理）；
②有时题目中特殊角或特殊值没有明确给出，比较隐含，需要我们去挖掘。
碰到含有这些特殊值的题目时，应该怎么办？不用怕，其实，这种题目有很强的解题方法和技巧！
当看到这些特殊角/值时，一般情况下，我们不用多想：直接利用特殊角或特殊值所表示的角或线段，构造直角三角形或等边三角形。
1、30°/60 特殊角的应用
例1、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，BC＝6．
（1）求OD长的取值范围；
（2）若∠CBD＝30°，求OD的长．
解：（1）提示：∵CD＝5，BC＝6，1＜BD＜11，OD为BD的一半
∴
（2）过C作CE⊥BD于E，（因为∠CBD＝30°为特殊角，那么我们直接过点C作CE⊥BD，构造两个直角三角形）
Rt△CBE中，∵∠CBD＝30°，BC＝6，
∴CE＝3，BE＝＝3，
在Rt△CED中，CD2＝DE2+CE2，
代入CD、CE的值，解得：DE＝4，
∴BD＝BE+DE＝3+4，
∴OD＝BD＝+2，
则OD的长是+2．
2、45°特殊角的应用
例2、如图，已知点B（0，2），A（﹣6，﹣1）在反比例函数的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A逆时针旋转45°后，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为　 　．
解：如图所示，过B作BD⊥AC于D，（因为∠CBD＝30°为特殊角，那么我们直接过点C作CE⊥BD，构造两个直角三角形）
过D作DE⊥y轴于E，过A作AF⊥DE于F，则△ABD为等腰直角三角形，易得△AFD ≌△DEB，
设DF＝BE＝a，
∵B（0，2），A（﹣6，﹣1），
∴OE＝a+2＝GF，DE＝6﹣a，AF＝a+3，
∵AF＝DE，
∴a+3＝6﹣a，
解得a＝，
∴D（，），
设直线AD的解析式为y＝k＇x+b，则
代入AD两点坐标，
解得，
∴y＝3x+17，
∵A（﹣6，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴k＝6，即y＝，
解方程组，可得或，
∴点C的坐标为（，18），
故答案为：（，18）．
有时候题目条件中没有直接给出特殊角或特殊值 ，但根据经验，可以从条件中可以根据条件，分析得到特殊角
例3、如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点， 与y轴相交于点C(0，－3)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC.
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
本题重要思想方法：
1）二次函数中，求线段的最值，通常将其转化为求二次函数的最值问题。（转化的思想）
2）注意特殊角的应用。本题为45 特殊角（等腰三角形中，底角为45 ，那么顶角为90 ）
解：(1)二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.
(2)①设直线BC的表达式为y＝kx＋t，
将B，C的坐标分别代入函数表达式，得k=-1,t=-3
∴直线BC的表达式为y＝x－3.
设M(n，n－3)，则P(n，n2－2n－3)，
PM＝(n－3)－(n2－2n－3)＝－n2＋3n＝－＋(0＜n＜3)，
当n＝时，PM最大＝；
②满足题意的有PM＝PC和PM＝CM两种情况：
（在直角坐标系中，因为OB＝OC，那么∠OCB＝45°，此题特殊角比较隐含，但却对本题解决问题起到至关重要的作用）
(Ⅰ)如图①，当PM＝PC时，∵OB＝OC，PH⊥x轴，
∴∠PMC＝∠OCB＝45°，又∵PM＝PC，∴△PCM是等腰直角三角形，∴PC∥x轴，∴点P与C(0，－3)关于y＝x2－2x－3的对称轴x＝1对称，此时点P的坐标为(2，－3)；
(Ⅱ)如图②，当PM＝CM时，作MN∥x轴，则CM＝MN＝n，
∴－n2＋3n＝n，∵n＞0，∴n＝3－，
又∵n2－2n－3＝(n＋1)(n－3)＝2－4，
则此时P点坐标为(3－，2－4)．
综上所述，点P的坐标为(2，－3)或(3－，2－4)．
4、特殊值的应用（本题中特殊值为隐含条件）
例4、如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°．
（1）求证：∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC，若AC BD＝AD BC，
①求证：△ACD∽△BCE；
②求的值．
证明：（1）如图1，延长CD交AB于E，
∵∠ADE＝∠CAD+∠ACD，
∠BDE＝∠CBD+∠BCD，
∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝∠CAD+∠CBD+∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB+90°．
∴∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）①如图2，∵∠CAD+∠CBD＝90°，∠CBD+∠CBE＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵AC BD＝AD BC，BD＝BE，
∴
∴△ACD∽△BCE；
②如图2，连接DE，
∵BE⊥BD，BE＝BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴（首先算出本题中隐含的特殊值，连接DE，构造等腰直角三角形）
∵△ACD∽△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵
∴△ACB∽△DCE，
∴
∴
新增：
如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．
（1）填空：点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）直线l1的表达式为　 　；
（3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．
如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．
（1）填空：点A的坐标为　（﹣2，0）　，点B的坐标为　（0，2）　；
（2）直线l1的表达式为　y＝2x﹣2　；
（3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．
【分析】（1）直线l2：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2，即可求解；
（2）根据平移的性质即可求解；
（3）S△AOE＝2S△ABO，即：yE＝2OB＝4，即可求解；
（4）点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即可求解．
【解答】解：（1）直线l2：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2，
故答案为（﹣2，0）、（0，2）；
（2）y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，则直线l1的表达式为：y＝2x﹣2，
故：答案为：y＝2x﹣2；
（3）∵S△AOE＝2S△ABO，
∴yE＝2OB＝±4，
将yE＝4代入l1的表达式得：±4＝2x﹣2，解得：x＝3或﹣1，
则点E的坐标为（3，4）或（﹣1，﹣4）；
（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，
直线l2：y＝x+2，则∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，
点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，
当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），
故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．
【点评】本题为一次函数综合题，主要考查了面积的计算方法、解直角三角形、点的对称性等，其中（4），所用的时间＝+＝PH+PC，是本题的难点，也是解此类问题的一种基本方法．
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