集合、常用逻辑用语、不等式挑战选填压轴题-备战2022年高考数学高分必刷必过题解析版（全国通用）
专题01 集合、常用逻辑用语、不等式
一、单选题
1．（2021·全国高三专题练习）用表示非空集合中的元素个数，定义＝若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【详解】
因为，，所以或，
由，得，
关于x的方程，
当时，即时，易知，符合题意；
当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意；
当时，即时，方程 无实根，
若a=0，则B={0}，，符合题意，
若或，则，不符合题意.
所以，故.
故选：B.
2．（2021·上海浦东新·上外浦东附中高一月考）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称为“类集”，现有四个命题：
①若为“类集”，则集合（为实常数）也是“类集”；
②若、都是“类集”，则集合也是“类集”；
③若、都是“类集”，则也是“类集”；
④若、都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”．
其中正确的命题有（ ）
A．①② B．①③④ C．②③ D．①②④
【答案】D
【详解】
①若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
对于集合（为实常数），可得对于任意，以及任意都有，故正确；
②若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
可得对于任意，以及任意，都有，故正确；
③若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
设，为中元素的合并而得，且不重复，不符合“类集”的定义，故错误；
④若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
设，为中元素的公共部分，且不为空集，符合“类集”的定义，故正确；
故选：D.
3．（2021·河南南阳中学高一月考）在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
因为，故，故①错误，
而，故，故②正确.
若整数，属于同一“类”，设此类为，
则，故即，
若，故为4的倍数，故除以4的余数相同，故，属于同一“类”，
故整数，属于同一“类”的充要条件为，故④正确.
由“类”的定义可得，
任意，设除以4的余数为，则，
故，所以，
故，故③正确.
故选：C.
4．（2021·全国高一专题练习）对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【详解】
当集合为单元素集时，可取，此时可取；
当集合为双元素集时，可取，此时可取；
当集合为三元素集时，可取，此时可取，
当集合为四元素集时，可取，此时可取14，
综上可知可取，共12个值，所以的元素个数为12，
故选：B.
5．（2021·全国）非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【详解】
由①可知.
对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误.
故选：C.
6．（2021·北京市陈经纶中学高一月考）设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足：
①对于任意，若，都有
②对于任意，若，则；
下列命题正确的是（ ）
A．若有4个元素，则有7个元素
B．若有4个元素，则有6个元素
C．若有3个元素，则有5个元素
D．若有3个元素，则有4个元素
【答案】A
【详解】
首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A.
7．（2021·上海高一期中）已知非空集合M满足：对任意，总有，且，若，则满足条件的的个数是
A．11 B．12 C．15 D．16
【答案】A
【详解】
由题意，可得集合是集合的非空子集，共有个，
且2,4不能同时出现，同时出现共有4个，
所以满足题意的集合的个数为11个，故选A.
8．（2021·全国高一专题练习）已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
图中阴影部分表示的集合为．
∵，，∴，，∴．故选C．
9．（2021·全国）已知集合，集合，，满足.
①每个集合都恰有5个元素
②
集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
分析：求出集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A1，A2，A3，排除选项B、C、D，由此能求出结果．
详解：由题意集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，
当A1={1，4，5，6，7}，A2={3，12，13，14，15}，A3={2，8，9，10，11}时，
X1+X2+X3=8+18+13=39，故排除B选项；
当A1={1，4，5，6，15}，A2={2，7，8，9，14}，A3={3，10，11，12，13}时，
X1+X2+X3=16+16+16=48，故排除C选项；
当A1={1，2，3，4，15}，A2={5，6，7，8，14}，A3={9，10，11，12，13}时，
X1+X2+X3=16+19+22=57，故排除D选项．
∴X1+X2+X3的值不可能为37．
故选A．
10．（2021·全国高一专题练习）对于任意两个正整数、，定义某种运算“※”，法则如下：当、都是正奇数时，※=；当、不全为正奇数时，※=.则在此定义下，集合中的元素个数是
A．7 B．11 C．13 D．14
【答案】C
【详解】
试题分析：从定义出发，抓住、的奇偶性对16实行分拆是解决本题的关键，当、同奇时，根据※将16分拆两个同奇数的和，有，共有8对；当、不全为奇数时，根据※将16分拆两个不全为奇数的积，再算其组数即可，此时有，共5对.
∴共有个，故选C.
11．（2021·全国高一专题练习）集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是
A．, B．,
C．, D．,
【答案】B
【详解】
试题分析：从集合的定义，，可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是，，选B．
12．（2021·江苏高一专题练习）对于集合，定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素.例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“”：
①，运算“”为普通减法；
②，运算“”为矩阵加法；
③（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集.
其中对运算“”有单位元素的集合序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
【答案】D
【详解】
试题分析：①若，运算“”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；
②{表示阶矩阵，}，运算“”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③（其中是任意非空集合），运算“”为两个集合的交集，其单位元素为集合，故答案为D.
13．（2021·浙江省桐庐中学）已知，函若数在总有且 ，则取值范围是（ ）
A．[6，+∞) B．
C．[12，+∞) D．(6，12]
【答案】B
【详解】
在上恒成立即在上恒成立，
故在上恒成立，
当时，，
当时，，故，
所以在上恒成立，
令，
令，则，而在为增函数，
故，所以，故，
所以在的最小值为，故.
因为恒成立，
故对于任意恒成立，
所以即.
故选：B.
14．（2021·河南高三月考（理））已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.
，
当且仅当，即时取等号，又得最大值为，
，即，整理得，故椭圆的的离心率是.
故选：C.
15．（2021·全国高三模拟预测）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C． D．
【答案】C
【详解】
记有，则，易知时有，A错误；
，当且仅当时取等号，所以最小值为，B错误；
记，则等价于，
记，则，
∴，即单调递增，有，
∴单调递减，则有，不等式得证，C正确；
取，，有，D错误．
故选：C
16．（2021·南京市第十三中学）已知若对于任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
根据可知，
令
由知为增函数，
所以恒成立，
分离参数得，
而当时，在时有最大值为1，
故.
故选：B
17．（2021·全国高三专题练习（文））若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
证明不等式，
令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，故证明成立；
又因为≥，且仅当a=时成立
又因为
故与题意联立，得
令t=，故有，解得时成立，综上联立：=1与a=
解得a=，b=，
故选：C.
18．（2021·银川三沙源上游学校高二月考（理））在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：在中，由余弦定理得，
且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，即的取值范围是．
故选：C.
19．（2021·北京昌平·临川学校高三期末）已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题设，且，令，
要使上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，
∴若，，
∴在上总存在有两个解分别为、，而的对称轴，
故，而，
∴，整理得，上，
∴即可.
故选：B
二、多选题
20．（2021·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若，则
【答案】ABD
【详解】
根据定义.
对于A：若,则,,,,∴,故A正确;
对于B：若,则,,,,∴,故B正确;
对于C：若 ,则,,则.故C错;
对于D：左边,右边所以左=右.故D正确.
故选：ABD.
21．（2021·福建高三模拟预测）两个集合和之间若存在一一对应关系，则称和等势，记为．例如：若为正整数集，为正偶数集，则，因为可构造一一映射．下列说法中正确的是（ ）
A．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同
B．对三个无限集合、、，若，，则
C．正整数集与正实数集等势
D．在空间直角坐标系中，若表示球面：上所有点的集合，表示平面上所有点的集合，则
【答案】ABD
【详解】
对于A选项，设有限集合，，
充分性：若，则两个集合和之间若存在一一对应关系，
则对任意的，存在，使得与对应，故，充分性成立.
必要性：若，即集合、的元素个数相等，
可构造映射，使得，故，必要性成立，A对；
对于B选项，对三个无限集合、、，
若，对任意的，存在唯一的，使得与对应，
又因为，则存在唯一的，使得与对应，
故对任意的，存在唯一的，使得与对应，故，B对；
对于C选项，正整数集与正实数集不等势，理由如下：
假设正整数集与正实数集等势，则存在与的一个一一对应，将与中对应的元素记为，
则中的元素可以排成一列：、、、、，显然中至少有一个单位长度的区间不包含，
不妨设此区间为，将三等分，则、中至少有一个区间不含，以表示此区间，
将三等分，其左、右两个区间至少有一个不含，记为，
依此类推，可得一列闭区间满足：
（i），且的长度趋于；
（ii），、、、.
所以，，但对任意的，，换言之，不在中，这是不可能的，
这一矛盾说明，与不等势，C错；
对于D选项，如下图所示：
球面方程为，球面与轴的正半轴交于点，
对于球面上任意一点（不与点重合），设直线交平面于点，
则球面上的点（不与点重合）与平面内的点能建立一一对应关系，
假定在平面上有一理想的点称之为无穷远点，它与点对应，这样，D对.
故选：ABD.
22．（2021·山东德州·高二期末）我们把有限集合中的元素个数用来表示，并规定，例如，则.现在，我们定义，已知集合，，且，则实数不可能在以下哪个范围内（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】
对于集合，由，可得，作出函数与函数的图象如下图所示：
所以，函数与函数的图象有两个公共点，故.
因为，所以，或.
对于集合，由，显然，
由，可得，由，可得，
设，，
则直线与函数、在上的图象共有个或个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，，
且当时，.
，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，，
作出直线与函数、在上的图象，如下图所示：
由图象可知，当、或时，直线与函数、在上的图象共有个公共点.
故选：BCD.
23．（2021·江苏省天一中学）设，为单位向量，满足，，，则，的夹角为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】CD
【详解】
设单位向量，的夹角为，
由，两边平方得，解得，
又，，
，同理
且
，令，
则
，，
所以，即的取值范围为
故选：CD
24．（2021·大名县第一中学高二月考）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）
A．图形关于轴对称
B．曲线恰好经过6个整点（即横 纵坐标均为整数的点）
C．曲线上存在到原点的距离超过的点
D．曲线所围成的“心形”区域的面积大于3
【答案】ABD
【详解】
对于A，将换成方程不变，所以图形关于轴对称，故A正确；
对于B，当时，代入可得，解得，即曲线经过点，
当时，方程变换为，由，解得，所以只能去整数，
当时，，解得或，即曲线经过，
根据对称性可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，故B正确；
对于C，当时，由可得，（当时取等号），，，即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故C错误；
对于D，如图所示，在轴上图形的面积大于矩形的面积：，轴下方的面积大于等腰三角形的面积：，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于，故D正确；
故选：ABD
三、双空题
25．（2021·全国高二单元测试）等差数列中，且，则______；若集合中有2个元素，则实数的取值范围是______.
【答案】12
【详解】
空1：设等差数列的公差为，
因为，且，
所以有：，
因此；
空2：由（1）知：
由，设，
，
显然当时，，
当时，，因此从第2项起，数列是递减数列，
，所以数列的最大项为，
因为中有2个元素，
所以不等式 只有两个不同正整数根，
而数列的最大项为，因此一定是不等式的解，
因此一定有：.
故答案为：
26．（2021·全国）设是中两个子集，对于，定义： ,，
①若.则对任意，=______；
②若对任意，，则的关系为______．
【答案】0
【详解】
解：①∵A B．则x A时，m=0，m（1-n）=0．
x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m（1-n）=0．
综上可得：m（1-n）=0．
②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，
即x∈A时，必有x B，或x∈B时，必有x A，
∴A，B的关系为A= RB．
故答案为0，A= RB．
27．（2021·海淀·北京市八一中学）已知是的三边长，关于的方程的解集中只有一个元素，方程的根为，则的形状为________；若为关于的两个实数根，则实数的值_________．
【答案】等边三角形 -12
【详解】
因为关于的方程的解集中只有一个元素,
,
即，
因为方程的根为，
所以，
所以，
故三角形为等边三角形.
为关于的两个实数根,
,
即，
解得
故答案为：等边三角形；-12
四、填空题
28．（2021·上海桃浦中学高一月考）已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合___________.
【答案】或或.
【详解】
，中所有元素之和为；
若中仅有一个元素，设，则，解得：，不合题意；
若中有且仅有两个元素，设，则，
当，时，，；
若中有且仅有三个元素，设，则；
当，，时，，
若中有且仅有四个元素，设，
则，
当，，，时，，；
若中有且仅有五个元素，若，此时，
所以中最多能有四个元素；
综上所述：或或.
故答案为：或或.
29．（2021·山东高考真题）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．
【答案】或
【详解】
，得；，得；
∴，；同理，
∴．由(1)(3)可得．
∴，，．
或．
故答案为：或
30．（2021·上海市实验学校高三月考）已知集合M＝，若，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【详解】
由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)<0，
当a＝0时，得，显然不满足题意，
当a>0时，原不等式可化为，
若，则解得或，
所以只需满足，解得；
若，则解得或，
所以只需满足，解得9
当a<0时，当时，(ax－5)(x2－a)<0恒成立，不符合题意，
综上，实数a的取值范围是．
31．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为___________.
【答案】1010
【详解】
先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和
当时，，成立；
假设时，
当时，
综上可得，，
则数集的所有非空子集的“积数”的和为：
故答案为：1010.
32．（2021·长宁·上海市延安中学高三月考）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】
解：设函数的值域为，函数的值域为，
因为对任意的，都存在唯一的，满足，
则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.
当时，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
当时，
①当时，，此时，
，解得，
②当时，，
此时在上是减函数，取值范围是，
在上是增函数，取值范围是，
，解得，
综合得.
故答案为：
33．（2021·湖南岳阳楼·岳阳一中）在中，角，，所对的边分别为，，，且点满足，，若，则的最大值为____________.
【答案】
【详解】
解：由题意得，
所以,
因为，所以，
两边平方得，，
所以，
得，
所以，即，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
令，则，
因为，所以得，
所以当且仅当时， 取得最大值，
故答案为：集合、常用逻辑用语、不等式挑战选填压轴题-备战2022年高考数学高分必刷必过题（全国通用）
专题01 集合、常用逻辑用语、不等式
一、单选题
1．（2021·全国高三专题练习）用表示非空集合中的元素个数，定义＝若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．（2021·上海浦东新·上外浦东附中高一月考）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称为“类集”，现有四个命题：
①若为“类集”，则集合（为实常数）也是“类集”；
②若、都是“类集”，则集合也是“类集”；
③若、都是“类集”，则也是“类集”；
④若、都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”．
其中正确的命题有（ ）
A．①② B．①③④ C．②③ D．①②④
3．（2021·河南南阳中学高一月考）在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·全国高一专题练习）对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
5．（2021·全国）非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
6．（2021·北京市陈经纶中学高一月考）设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足：
①对于任意，若，都有
②对于任意，若，则；
下列命题正确的是（ ）
A．若有4个元素，则有7个元素
B．若有4个元素，则有6个元素
C．若有3个元素，则有5个元素
D．若有3个元素，则有4个元素
7．（2021·上海高一期中）已知非空集合M满足：对任意，总有，且，若，则满足条件的的个数是
A．11 B．12 C．15 D．16
8．（2021·全国高一专题练习）已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为
A． B． C． D．
9．（2021·全国）已知集合，集合，，满足.
①每个集合都恰有5个元素
②
集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为
A． B． C． D．
10．（2021·全国高一专题练习）对于任意两个正整数、，定义某种运算“※”，法则如下：当、都是正奇数时，※=；当、不全为正奇数时，※=.则在此定义下，集合中的元素个数是
A． B． C． D．
11．（2021·全国高一专题练习）集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是
A．, B．,
C．, D．,
12．（2021·江苏高一专题练习）对于集合，定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素.例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“”：
①，运算“”为普通减法；
②，运算“”为矩阵加法；
③（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集.
其中对运算“”有单位元素的集合序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
13．（2021·浙江省桐庐中学）已知，函若数在总有且 ，则取值范围是（ ）
A．[6，+∞) B．
C．[12，+∞) D．(6，12]
14．（2021·河南高三月考（理））已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·全国高三模拟预测）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C． D．
16．（2021·南京市第十三中学）已知若对于任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·全国高三专题练习（文））若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·银川三沙源上游学校高二月考（理））在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·北京昌平·临川学校高三期末）已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
20．（2021·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若，则
21．（2021·福建高三模拟预测）两个集合和之间若存在一一对应关系，则称和等势，记为．例如：若为正整数集，为正偶数集，则，因为可构造一一映射．下列说法中正确的是（ ）
A．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同
B．对三个无限集合、、，若，，则
C．正整数集与正实数集等势
D．在空间直角坐标系中，若表示球面：上所有点的集合，表示平面上所有点的集合，则
22．（2021·山东德州·高二期末）我们把有限集合中的元素个数用来表示，并规定，例如，则.现在，我们定义，已知集合，，且，则实数不可能在以下哪个范围内（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·江苏省天一中学）设，为单位向量，满足，，，则，的夹角为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．1
24．（2021·大名县第一中学高二月考）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）
A．图形关于轴对称
B．曲线恰好经过6个整点（即横 纵坐标均为整数的点）
C．曲线上存在到原点的距离超过的点
D．曲线所围成的“心形”区域的面积大于3
三、双空题
25．（2021·全国高二单元测试）等差数列中，且，则______；若集合中有2个元素，则实数的取值范围是______.
26．（2021·全国）设是中两个子集，对于，定义： ,，
①若.则对任意，=______；
②若对任意，，则的关系为______．
27．（2021·海淀·北京市八一中学）已知是的三边长，关于的方程的解集中只有一个元素，方程的根为，则的形状为________；若为关于的两个实数根，则实数的值_________．
四、填空题
28．（2021·上海桃浦中学高一月考）已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合___________.
29．（2021·山东高考真题）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．
30．（2021·上海市实验学校高三月考）已知集合M＝，若，则实数a的取值范围是____________．
31．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为___________.
32．（2021·长宁·上海市延安中学高三月考）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．
33．（2021·湖南岳阳楼·岳阳一中）在中，角，，所对的边分别为，，，且点满足，，若，则的最大值为____________.