2021--2022学年冀教版数学九年级上册26.4解直角三角形的应用课件（21张）

(共21张PPT)
26.4 解直角三角形的应用
1.复习并巩固解直角三角形的相关知识.
2.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题. (重点、难点)
3.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题. (重点、难点)
学习目标
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1.解直角三角形
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2.解直角三角形的依据
(2)两锐角之间的关系:
∠ A＋ ∠ B＝ 90 ；
(3)边角之间的关系:
tanA＝
a
b
sinA＝
a
c
cosA＝
b
c
(必有一边)
Ａ
Ｃ
Ｂ
a
b
c
别忽略我哦！
新课导入
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
利用仰角、俯角解决实际问题
新课讲解
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°.
Rt△ABD中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
A
B
C
D
40m
54°
45°
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°,
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2.
答：棋杆的高度为15.2m.
利用坡度、坡角解决实际问题
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3 ，斜坡CD的坡度i=1∶2.5 ， 则斜坡CD的坡面角α ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
l
h
i= h : l
1.坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .
2.坡度（或坡比）
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即
3.坡度与坡角的关系
坡度等于坡角的正切值
坡面
水平面
1.斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度.
2.斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _______.
3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.
α
l
h
30
1：1
例：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）;
（2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）.
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线；
垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出；
斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF.
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F,由题意可知
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中
在Rt△DCF中，同理可得
=69+6+57.5=132.5m.
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4，
由计算器可算得
答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约为22°.
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）.
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
在Rt△CDE中，∠CED=90°
完成第（2）题
1.如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.
2.如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
100
随堂练习
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）．
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）．
图3
图4
5.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
　 DE＝CF＝4（米），
　 CD＝EF＝12（米）．
在Rt△ADE中，
在Rt△BCF中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
6.如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60 ，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号）．
解：在Rt△ABO中，
∵tan∠BOA= =tan60°=
∴AB=BO tan60°=4 ×=4 （米）
答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4 米.
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
(1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案．
课堂小结