2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程　同步测试卷

3.1.1椭圆及其标准方程同步测试卷
一、单选题
1．平面上到两定点，的距离之和为的点的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．线段
2．椭圆 的一个焦点是 ，那么 等于 （ ）
A． B． C． D．
3．设P是椭圆上的点，，是椭圆的两个焦点，若P到焦点的距离是3，则P到另一焦点的距离为（ ）
A．10 B．8 C．7 D．5
4．已知，，，的周长为14，则点的轨迹方程（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点，在椭圆上，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．方程化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．已知曲线表示焦点在y轴的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设，方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）
A．是的充分条件但不是必要条件 B．是的必要条件但不是充分条件
C．是的充要条件 D．既不是的充分条件也不是的必要条件
二、多选题
9．设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（ ）
A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线
10．若为椭圆的方程，则（ ）
A．3 B．6 C．8 D．11
11．在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．长轴长为4且一个焦点为的椭圆的标准方程是___________.
14．动点P(x，y)到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离和10，则点P的轨迹方程为____．
15．已知椭圆的焦点为，，且经过，则椭圆的方程为______．
16．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
四、解答题
17．椭圆的左右焦点分別为，其中，O为原点．椭圆上任意一点到距离之和为．求椭圆的标准方程；
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过点．求椭圆的标准方程
19．已知动点与平面上点，的距离之和等于．
试求动点的轨迹方程
20．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点分别为，，经过点；
（2）经过两点，．
21．已知圆：，圆，动圆与圆外切，与圆内切.求动圆的圆心的轨迹的方程
22．分别求解以下两个小题：
（1）两个焦点在x轴上，且经过和两点，求椭圆的标准方程；
（2）已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，求点M的轨迹方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
3.1.1椭圆及其标准方程同步测试卷答案
1．B
【分析】
根据椭圆的定义判断可得；
【详解】
因为平面上两定点，，所以，动点到两定点，的距离之和为，因为，所以动点是以，为焦点的椭圆；
故选：B
2．B
【分析】
由题意，且焦点在轴上，再由的关系求解即可
【详解】
因为椭圆 的一个焦点是 ，
所以，且焦点在轴上，
所以 ，
故选：B
3．C
【分析】
根据椭圆的定义即可得解.
【详解】
由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且，可得且．
因为点P到椭圆的两个焦点的距离之和为，所以根据椭圆的定义可得点P到另一个焦点的距离为．
故选：C
4．C
【分析】
利用椭圆的定义求解.
【详解】
因为中，，，的周长为14，
所以，
所以A点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
且，
所以点A的轨迹方程为，
故选：C
5．B
【分析】
将椭圆上的点的坐标依次代入椭圆标准方程，列出方程组，解方程组即可.
【详解】
由题意得，解得，，所以椭圆的标准方程为．
故选：B
6．D
【分析】
由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解.
【详解】
∵方程，
表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，
∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；
∴；
∴椭圆的方程是，即为化简的结果．
故选：D．
7．B
【分析】
将曲线方程化为标准方程形式，满足，解得参数范围即可.
【详解】
将曲线方程化为标准方程：，
若该曲线表示焦点在y轴上的椭圆，则应满足
解得，
故选：B
8．A
【分析】
化简命题q为，由集合与的包含关系可得解.
【详解】
由方程表示焦点在轴上的椭圆，
则可化为，且，
即，
因为，反之不成立，
所以是的充分条件但不是必要条件.
故选：A
9．BC
【分析】
结合基本不等式求得，结合椭圆的定义分类讨论，即可求解.
【详解】
由题意知，定点，，可得，
因为，可得，
当且仅当，即时等号成立．
当时，可得的，此时点的轨迹是线段；
当时，可得，此时点的轨迹是椭圆．
故选：BC．
10．AC
【分析】
依题意得到，解得即可；
【详解】
解：因为为椭圆的方程，所以解得或
故选：AC
11．BC
【分析】
根据椭圆定义，由AB选项中的式子，可判断AB的正误；对于CD选项，将式子化简整理，即可判断出CD的正误.
【详解】
A选项，表示动点到定点和的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A错；
B选项，表示动点到定点和的距离等于，即，满足椭圆定义，所以表示焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B正确；
C选项，由可得，整理得显然表示椭圆，故C正确；
D选项，由可得，则，显然不表示椭圆，故D错.
故选：BC.
12．ACD
【分析】
分别分析A，B为椭圆E的两个顶点的位置，从而求得参数a，b，写出标准方程.
【详解】
∵
∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；
∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时，
解得，椭圆方程为，故D正确；
②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时，解得，椭圆方程为，故A正确；
③A为上顶点时，B为左顶点时，此时，解得，椭圆方程为，故C正确；
故选：ACD
13．
【分析】
由已知求得即可得出结果,
【详解】
由已知可得椭圆的长轴长为4且一个焦点为，
所以且焦点在轴上，,
椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
14．
【分析】
由椭圆定义确定轨迹是焦点有轴上的椭圆，求得后可得椭圆标准方程．
【详解】
解：由题意，点P的轨迹为椭圆，且a＝5，c＝3，焦点在y轴上．
标准方程是．
故答案为：．
15．
【分析】
由焦点坐标易得c，再利用椭圆的定义求得a即可.
【详解】
设椭圆F的标准方程为：，依题意得，
，
∴，则，故椭圆F的标准方程为；
故答案为：．
16．
【分析】
由已知椭圆焦点在轴上，且，设它的标准方程为，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果.
【详解】
因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，
所以其焦点在轴上，且.
设它的标准方程为，
因为，且，故①，
又点在所求椭圆上，
所以②
由①②得，，
所以所求椭圆的标准方程为，
故答案为：
17．
解：
由题意可得，，∴，，
所以椭圆的标准方程为.
18．
解：
由题意得，解得，
椭圆的标准方程为．
19．
解：（1）设点的坐标为
由椭圆定义可知点轨迹是以，为焦点的椭圆．
，．，
动点的轨迹方程为：
20．
（1）
（2）
【分析】
（1）设其标准方程为，将已知点的坐标代入，和联立解方程即可；
（2）椭圆的一般方程为，将已知点代入解方程组即可.
（1）
因为椭圆的焦点在轴上，
所以可设其标准方程为．
由题意得，解得
所以椭圆的标准方程为．
（2）
设椭圆的一般方程为（，，）．
将两点，代入，得解得
所以椭圆的标准方程为．
21．.
解：
由题意，不妨设圆与动圆切于，圆与动圆切于，
由圆的性质可知，、、三点共线，、、三点共线，如下图所示：
由题意可知，圆的圆心坐标，半径；圆的圆心坐标，半径，
由上图可知，，且，
故，
从而动圆的圆心的轨迹为焦点在轴上的椭圆，
不妨设的轨迹的方程为：，，且焦距，即，
由椭圆定义可知，，即，
由，可知，
故动圆的圆心的轨迹的方程：.
22．（1）；（2）.
【详解】
（1）依题意，设椭圆方程为，因椭圆经过点和，
于是得，即，解得，，
所以所求椭圆的标准方程为；
（2）设点，因，于是得点，
又点P是椭圆上任意一点，因此，，化简得：，
所以点M的轨迹方程是.答案第1页，共2页
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