2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的几何性质同步练习

双曲线的几何性质
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且；则C的离心率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．双曲线的离心率不大于的充要条件是（　　）
A．0＜m≤1 B．﹣1≤m＜0 C．m≤﹣1 D．m≥1
5．椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，由匠师李春设计建造，距今已有1400余年的历史.赵州桥的桥拱的跨度为37.7米，拱矢(拱顶至石拱两脚连线的高度)为7.23米.设拱弧(假设桥拱的曲线是圆弧)的半径为米，为精确到整数部分的近似值.已知双曲线：的焦距为，则的离心率为（ ）(参考数据：)
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知双曲线的离心率，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交另一条渐近线于，则等于（ ）．
A．2 B． C． D．
8．已知双曲线的右焦点为，且双曲线的一条渐近线的斜率为.过双曲线左焦点且垂直于轴的直线交双曲线左支于，两点，双曲线上任意一点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
二、多选题
9．已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（　　）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
10．（多选）对于方程和（且）所表示的双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．有相同的顶点 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
11．已知双曲线：过点，左、右焦点分别为，，且一条渐近线的方程为，点为双曲线上任意一点，则（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C．点到两渐近线的距离的乘积为 D．的最小值为1
12．已知方程，则（ ）
A．存在实数，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为
B．存在实数，该方程对应的图形是平行于轴的两条直线
C．存在实数，该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线，且双曲线的离心率为
D．存在实数，该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆，且椭圆的离心率为
三、填空题
13．经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为_________．
14．若双曲线的渐近线与圆相切，则___________.
15．已知直线与双曲线交于，两点，则的取值范围是____________．
16．双曲线的离心率为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于点，的动点，若直线，的斜率都存在且分别为，则的值为___________．
四、解答题
17．求下列双曲线的标准方程
（1）与双曲线有共同渐近线，且过点；
（2）与双曲线有公共焦点，且过点
18．设双曲线：， 为其左、右两个焦点．
(1)设为坐标原点，为双曲线的右支上任意一点，求的取值范围；
(2)若动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，求动点的轨迹方程．
19．已知双曲线C的中心是原点，右焦点为，一条渐近线方程为，直线与双曲线交于点A， B两点.记FA， FB的斜率分别为
（1）求双曲线C的方程;
（2）求的值.
20．已知双曲线：的右焦点为，离心率，直线：与的一条渐近线交于，与轴交于，且.
（1）求的方程；
（2）过的直线交的右支于，两点，求证：平分．
参考答案
1．D
由题得双曲线的方程为，
所以
所以渐近线方程为.
故选：D
2．C
双曲线的焦点为，，顶点为，，
所以椭圆的焦点坐标为，，顶点为，，
所以，
所依椭圆的方程为.
故选：C
3．B
.
故选：B
4．A
解：因为双曲线的离心率不大于，
所以
解得：0＜m≤1．
故选：A．
5．D
设椭圆方程为，
则，解得，
则椭圆方程为，
当点为椭圆短轴端点时角最大，
此时，
因为，
故选：D.
6．C
解：由题意知，，∴，
∴，∴，∵，
∴，
∴离心率.
故选：C.
7．B
解：由双曲线的离心率，得，即，所以，渐近线方程为，如图，，，
则，，所以，所以，
所以．
故选：B.
8．D
依题意，，且，解得，于是得双曲线方程为，
显然直线AB：，则有点，又，因此有点，
因点P在双曲线上，于是得，即，
而，当且仅当时取“=”，从而得，即，
所以当或时，取最大值.
故选：D
9．BD
∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.
故选：BD
10．CD
对于双曲线，，，；
对于双曲线，，，，
显然，，分别是，，的倍，
所以两双曲线的顶点、焦点坐标均不同，故A、B错误；
，，所以有相同的离心率，故C正确；
，，所以有相同的渐近线，故D正确.
故选：CD
11．ACD
因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以，
又双曲线过点，所以，得，，
所以双曲线的标准方程为，选项A正确；
易知，所以，所以，所以选项B不正确；
设点，则点到两渐近线的距离的乘积为，
因为点在双曲线上，所以，即，
所以点到两渐近线的距离的乘积为，所以选项C正确；
当点为双曲线的左顶点时，取得最小值为1，所以选项D正确．
故选：ACD．
12．CD
对于A：若存在，只需，即，得，可取，方程即为：，圆的半径满足，故圆面积为：，故A错；
对于B：令，则必有，方程化为：，显然不成立，故B错误；
对于C：取，得，取，则方程为：，为等轴双曲线的方程，故离心率为，故C正确；
对于D：将方程化为标准形式：，故，，则由已知得，整理得，解得，该方程显然有解，故D正确．
故选：CD．
13．
解：设双曲线的方程为，把点代入，得；
把点代入，得，无解故所求方程为．
故答案为：．
14．
双曲线的渐近线为，而圆的圆心为(2，0)，半径为，
依题意，，解得，
所以.
故答案为：
15．且
由得，
因为直线与双曲线相交于两点，
所以解得：且
所以的取值范围是：且，
故答案为：且.
16．
设双曲线半焦距c，由题意知，
设，，根据对称性可得，
则，，两式相减得，即，
由斜率坐标公式得，
所以的值为.
故答案为：
17．（1），（2）
解：（1）由题意设所求双曲线方程为，
因为双曲线过点，
所以，得，
所以，即
所以所求双曲线方程为，
（2）由题意设所求双曲线方程为，
因为双曲线过点，
所以，得，，
解得或，
所以所求双曲线方程为
18．（1）；（2）
解：（1）设，，左焦点，
∵ （），对称轴为，
∴.
（2）由椭圆定义得点轨迹为椭圆，，，
，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
∴，则，∴，，
∴动点的轨迹方程为.
19．（1）；（2）.
解：
（1）设双曲线的方程为，
由题意，，该双曲线的渐近线方程，
又双曲线的一条渐近线方程为，所以，
所以，
所以双曲线C的方程为；
（2）设，
由，消去x化简可得，，
所以，，
所以
.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是联立方程组，结合韦达定理对变形.
20．（1）；（2）证明见解析．
解：
（1）由得，又，所以，
而，
∴，∴，，
∴双曲线的标准方程为；
（2）∵，，易得直线的斜率不为0，
∴设直线的方程为，，，
由得．
∴，，
由得．
∴
，
∴，∴，即平分.