(共23张PPT)
全章热门考点整合应用
第二章 直角三角形的边角关系
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见习题
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1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值．
【思路导引】求∠BCD的三个三角函数值，关键要
弄清它们的定义．由于∠BCD是Rt△BCD中的
一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD或CD，二是把∠BCD转化成∠A.显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数的定义即可求出答案．
【点拨】方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已知量和待求量之间的关系式．
3．计算：
(1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°；
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP＝a.
(1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试用含a的代数式表示CE的长；
(2)当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；
5．【中考·成都】科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的
正北方向，求B，C两地的距离．
6．【中考·黄冈】如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
(1)求坡底C点到大楼距离AC的值；
(2)求斜坡CD的长度．
方法总结：在不含直角三角形的图形中，求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形来解决，巧妙合理地做出辅助线是解此类题的关键．(共35张PPT)
1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
第二章 直角三角形的边角关系
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B
见习题
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(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD，共3对．
(2)6.
见习题
A
C
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B
5．【中考·德州】如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是________．
A
A
D
【答案】D
A
11．如图，已知45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是( )
A．sin A＝cos A B．sin A＞cos A
C．sin A＞tan A D．sin A＜cos A
B
12．已知x＝cos α(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，求cos α的值．
13．【中考 潍坊】如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE.
(1)求证：AE＝BF；
(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，其中a，b是关于x的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，且9c＝25asin A.
(1)试判断△ABC的形状；
解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，∴a＋b＝c＋4，ab＝4c＋8.
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(c＋4)2－2(4c＋8)，即a2＋b2＝c2.∴△ABC为直角三角形．
∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝(c＋4)2－4(4c＋8)＝c2－8c－16，不能确定(a－b)2的值是否为0，
∴不能确定a＝b，即△ABC为直角三角形．
(2)求△ABC的三边长．
解：证明：由题意可得∠A＝∠D＝∠C＝∠BFE＝90°，∴∠ABF＝90°－∠AFB，
∠DFE＝180°－∠BFE－∠AFB＝90°－∠AFB.∴∠ABF＝∠DFE.∴△ABF∽△DFE.
解：△AMP∽△BPQ∽△CQD，共3对．
【点拨】看到线段成比例时，一定要想到相似三角形的对应边成比例，如果图形中没有相似三角形，通常作平行线构造相似三角形．求一个锐角的正切值时一定要在直角三角形中进行，如果该角不在直角三角形中，可以利用相等的角进行转换．(共30张PPT)
第二章 直角三角形的边角关系
2.1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
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见习题
C
B
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见习题
C
D
D
A
B
不变
6．在Rt△ABC中，如果各边的长度都扩大为原来的4倍，那么锐角A的正切值、正弦值和余弦值都________．(填“不变”或“改变”)
7．【2020·杭州】如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则( )
A．c＝bsin B B．b＝csin B
C．a＝btan B D．b＝ctan B
【答案】B
【点拨】∵小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，
∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13.
如图，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
即AC2＋(7＋AC)2＝132，
【答案】D
C
【答案】 B
11．已知x＝cos α(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，求cos α的值．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.
(1)求AB的长．
(2)求sin A，cos A的值．
(3)sin A与cos B的值有怎样的关系？
13．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84.
(1)求tan C的值．
解：过A作AD⊥BC于点D，如图所示．
(2)求sin A的值．
解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D.
∵CA⊥CB，
∴∠BCD＋∠ACO＝∠BCD＋∠CBD＝90°.
∴∠ACO＝∠CBD.
∵∠AOC＝∠CDB＝90°，AC＝CB，
∴△AOC≌△CDB(AAS)．
∴DB＝OC＝3，CD＝AO.
15．【2019·贵阳】如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD，CE.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AE∥BC.
∵DE＝AD，∴DE＝BC.
∴四边形BCED是平行四边形．(共16张PPT)
第二章 直角三角形的边角关系
2.6 利用三角函数测高
第2课时 方向角在测量中的应用
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见习题
见习题
见习题
见习题
1．【中考·泸州】如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30 n mile/h，在此航行过程中，
问该渔船从B处开始航行多长时间，离观测点A
的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)
2．【中考·吉林】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．
(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离；(结果取整数)
解：灯塔P位于B处的西北(或北偏西45°)方向，距离B处大约113 n mile.
3．【2020·铜仁】如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60 km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47 km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图所示．
根据题意可知∠BAC＝90°－60°＝30°，∠DBC＝90°－30°＝60°，
∵∠DBC＝∠ACB＋∠BAC，
∴∠BAC＝30°＝∠ACB，
∴BC＝AB＝60 km.
4．【2020·广西北部湾经济区】如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°，距离小岛40 n mile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
(1)渔船航行多远距离小岛B最近？(结果保留根号)(共18张PPT)
阶段方法技巧训练(四)
专训1 解直角三角形的五种常见类型
第二章 直角三角形的边角关系
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见习题
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2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.
(1)求AC的长；
(2)求BC的长．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．
【点拨】在解题过程中，如果出现30°，45°，60°这种特殊的角，那么考虑构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值解决问题．
【方法技巧】题目中所给的角有直角、30°
角、45°角，因此我们可以通过构造直角三角形，运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形的面积．
9．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求sin A＋sin B的值．
【点拨】解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a，b，c的等式．从解题过程可以看出，求三角函数的值时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．
(1)判断△ABC的形状；
解：将方程整理，
得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，则
Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)．
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2.
∴△ABC为直角三角形．
(2)求sin A＋sin B的值．(共11张PPT)
阶段方法技巧训练(四)
专训3 构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型
第二章 直角三角形的边角关系
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不会。理由略
11m
18.4m
1．【中考·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8 m，已知小汽车车门宽AO为1.2 m，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin 40°
≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
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M
N
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30°C
D
45°>人60
B
379
B
609
A
~d(共22张PPT)
阶段核心方法
求锐角三角函数值的七种常用方法
第二章 直角三角形的边角关系
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见习题
见习题
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(2)求∠ACD的正弦值．
D
4．(1)已知∠A是锐角，求证：sin2A＋cos2A＝1；
6．如图，在矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E.
(1)求证：∠BAM＝∠AEF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°.
∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.
∴∠EAF＋∠BAM＝∠EAF＋∠AEF＝90°.
∴∠BAM＝∠AEF.
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠，使点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．
8．【中考·扬州】问题呈现
如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN与EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形．观察发现，问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为________；
(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值．
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思维拓展
(3)如图③，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．(共10张PPT)
阶段方法技巧训练(三)
专训3 巧用构造法求几种特殊角的三角函数值
第二章 直角三角形的边角关系
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1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值．
2．求tan 22.5°的值．
3．将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求67.5°角的正切值．
4．求sin 18°，cos 72°的值．
5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．
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第二章 直角三角形的边角关系
2.1 锐角三角函数
第1课时 正 切
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见习题
见习题
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A
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3．一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么它的两个锐角的正切值( )
A．都没有变化 B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化
A
C
C
【点拨】设AB＝3x，则BC＝2x.
如图，过点E作EF⊥DC，交DC的延长线于点F，连接OE，交BC于点G.
【答案】A
【点拨】如图，过D点作DF⊥BC.
【答案】24
【答案】A
D
9．如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC.若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，上底宽是3 m，路基高是4 m，则路基的下底宽是( )
A．7 m B．9 m C．12 m D．15 m
【答案】 D
【点拨】本题的解题过程有三个关键环节：①能根据tan A的值的范围对解方程所得的根进行正确的取舍；②灵活运用正切的定义求得另一条直角边长；③在②的基础上能与勾股定理相结合求得直角三角形的斜边长．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A的值是一元二次方程5x2＋2x－3＝0的一个根，请求出AB，AC的长．
12．如图，CD是一个平面镜，光线从点A射入经CD上的点E反射后照射到点B.设入射角为∠α(反射角等于入射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，BD＝6，CD＝12，求tan α的值．
【点拨】利用等角代换法将∠α用∠A代替，求出∠A的正切值即可．
13．【2019·北京】如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF.
(1)求证：AC⊥EF.
【点拨】紧扣角相等则其三角函数值也相等这一特征，用等角代换法将已知角的三角函数值转化为直角三角形中与它相等的角的三角函数值．
(1)求证：AC⊥EF.
证明：连接BD，如图①所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD.
∵BE＝DF，∴AE＝AF.
∴EF∥BD. ∴AC⊥EF.
14．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图①)，连接BD，MF，若此时他测得BD＝8 cm，∠ADB＝30°.
(1)请直接写出AF的长．
(2)小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K(如图②)，设旋转角为β(0°＜β＜90°)，当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积．(结果保留根号)
【点拨】遇到等腰三角形这一条件时，若题目中未给出哪条边为腰，哪条边为底，一般要进行分类讨论．本题分AK＝FK和AF＝FK两种情况进行讨论．(共24张PPT)
3 用计算器求锐角的三角函数值
第二章 直角三角形的边角关系
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A
D
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D
A
A
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27.8°
D
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C
C
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边长约为6 m，四个内角分别约为103°，77°，103°，77°.
16
7.6 m.
A
0.580.
见习题
(1) PE＞PF.(2) PE＞PF.
1．【中考 淄博】一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是( )
A
A
D
D
4．用计算器验证，下列等式正确的是( )
A．sin 18°24′＋sin 35°36′＝sin 54°
B．sin 65°54′－sin 35°54′＝sin 30°
C．2sin 15°30′＝sin 31°
D．sin 72°18′－sin 12°18′＝sin 47°42′
D
6．已知α为锐角，且tan α＝3.387，则下列各值中与α最接近的是( )
A．73°33′ B．73°27′ C．16°27′ D．16°21′
A
【点拨】用计算器验证即可．
7．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科学计算器求∠A约等于( )
A．24°38′ B．65°22′ C．67°23′ D．22°37′
D
8．【中考 陕西】如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3 m，铅直高度BC为2.8 m，则∠A的度数约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)
27.8°
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确的是( )
A．sin A＝sin B B．tan A＝tan B
C．sin A＝cos B D．cos A＝cos B
C
10．用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是( )
A．tan 25°B．tan 25°C．sin 27°D．cos 26°C
A
12．用计算器求sin 35°29′的值(结果精确到0.001)．
解：sin 35°29′≈0.580.
13．(1)如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的变化而变化．试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．
解：锐角的正弦值随锐角度数的增大而增大，余弦值随锐角度数的增大而减小．
(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
解：sin 18°cos 88°(3)比较大小(在横线上填写“＜”“＞”或“＝”)：
若α＝45°，则sin α________cos α；
若α<45°，则sin α________cos α；
若α>45°，则sin α________cos α.
(4)利用互为余角的两个角的正弦值和余弦值的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
＝
＜
＞
解：sin 10°14．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合，且点P到BA，BC的距离分别为PE，PF的长)．
(1)若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，试比较PE，PF的大小；
(2)若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α>β，请比较PE，PF的大小．
【点拨】这里由正切值求角，必须借助
计算器完成．用三角函数值求相应的角
时，近似值先精确到1′，待完成菱形内角的度数计算后再精确到1°，避免累积误差过大．
16．【中考 台州】如图①是一辆吊车的实物图，如图②是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面的高度AH为3.4 m．当起重臂AC长度为9 m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度．(结果保留小数点后一位；参考数据：sin 28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)
解：如图，作CE⊥BD，AF⊥CE，垂足分别为E，F，
则∠CAF＝118°－90°＝28°.则CF＝AC sin 28°≈9×
0.47＝4.23(m)，EF＝AH＝3.4 m，
∴CE＝CF＋EF≈3.4＋4.23＝7.63≈7.6(m)．
答：操作平台C离地面的高度约为7.6 m.(共22张PPT)
6 利用三角函数测高
第二章 直角三角形的边角关系
4
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3
5
B
42.48米
15.3
8
A
D
D
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10
11
9
12m
A
(1)180 m.(2)282.9 m.
12
13
同意.理由略
1．测倾器的制作和使用原理为( )
A．同角的余角相等
B．同角的补角相等
C．对顶角相等
D．同角的余角相等和对顶角相等
A
2．下列说法不正确的是( )
A．安置测倾器时要把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合
B．使用时转动度盘，使度盘的直径对准目标，记录下此时铅垂线所指的度数
C．测倾器的制作和使用原理为“同角的余角相等”
D．使用测倾器测量时，只测量一次就行
D
B
4．如图，王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，又知水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树高CD为________________．
15.3
D
7．周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测量塔的高度．如图所示，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测得A，B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10厘米，则可计算出塔高约为________．
(结果精确到0.01米)
42.48米
8．如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝___________米．(结果可保留根号)
A
12．如图所示，某校九年级(3)班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A处测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180 m；另一部分同学在山顶点B处测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°.请你帮助他们计算出小山的高度BC.(计算过
程和结果都不取近似值)
13．在甲建筑物上从点A到点B挂着一幅长20 m的宣传条幅，如图所示．要测底部不能到达的DE之间的距离，小超说：“我只要站在乙建筑物的顶部C测得条幅顶端A的仰角α，测得条幅底端B的俯角β就可以求得DE的长．”
你同意他的说法吗？请说明理由．(共23张PPT)
5 三角函数的应用
第2课时 用解直角三角形解方向角、坡角(坡度)的应用
第二章 直角三角形的边角关系
4
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6
7
1
2
3
5
B
B
A
280m
8
A
2cos55° n mile
8m
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10
11
9
没有超过
B
20.4 n mile.
12
12m
13
7m
1．【中考·大庆】如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为________．
2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离P 2n mile的A处．如果海轮沿正南方向航行到P的正东位置，则海轮航行的距离AB是____________________．
2cos55° n mile
B
B
5．【中考·宁波】如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500 m，则这名滑雪运动员的高度下降了约______．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)
280 m
【点拨】分别过A，D作下底的垂线，设垂足为F，G.在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，在Rt△DEG中，根据正切函数的定义得到GE的长；根据CE＝GE－CG即可求解．
【答案】8m
7．【中考·重庆】如图，AB是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为I＝1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为( )(参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45)
A．21.7米 B．22.4米
C．27.4米 D．28.8米
【答案】A
A
【答案】B
11．【中考·成都】由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上实验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80 n mile，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．(参考数据：sin 70°≈0.94，
cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，
sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，
tan 37°≈0.75)
12．【中考·海南】为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2 m(即CD＝2 m)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4 m，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)(共26张PPT)
第二章 直角三角形的边角关系
2.2 30°，45°，60°角的三角函数值
4
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6
7
1
2
3
5
A
D
A
8
B
A
C
D
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10
11
12
9
13
见习题
见习题
A
A
B
14
见习题
15
16
见习题
见习题
1．【2020·攀枝花】sin 60°＝________．
D
A
【答案】C
A
D
A
B
A
A
11．已知α，β都是锐角，如果sin α＝cos β，那么α与β之间满足的关系是( )
A．α＝β B．α＋β＝90°
C．α－β＝90° D．β－α＝90°
B
15．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上．若BC＝2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
(2)原天桥底部正前方8 m(PB的长)处的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
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B
D
C
O○(共30张PPT)
第二章 直角三角形的边角关系
2.4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形
4
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6
7
1
2
3
5
D
D
C
B
8
C
A
D
D
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10
11
12
9
13
见习题
见习题
D
2
见习题
14
见习题
15
见习题
D
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A的度数，最适宜的做法是( )
A．计算tanA的值求出
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
C
D
D
B
6．【2019·杭州】如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于( )
A．asin x＋bsin x B．acos x＋bcos x
C．asin x＋bcos x D．acos x＋bsin x
【答案】D
【点拨】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.
∵∠ABC＝∠AEC＝90°，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x.∴∠FBA＝x.
∵AB＝a，BC＝AD＝b，
∴FO＝FB＋BO＝acos x＋bsin x.
【答案】A
C
【答案】D
【答案】 2
11．在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，求tan A，cos A的值．
易错总结：本题中已指出∠B＝90°，所以AC为斜边，而受习惯的影响，常误以为∠C的对边AB是斜边．因此，解题时应认真审题，注意所给条件，分清斜边和直角边，以防出错．
13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝67.5°.
(1)求sin A的值．
(2)求tan C的值．
【点拨】通过作高，构造直角三角形，再利用解直角三角形的相关知识求解．
(2)∠CAB的正切值．
(2)sin∠ADC的值．(共12张PPT)
阶段方法技巧训练(四)
专训6 三角函数在学科内的综合应用
第二章 直角三角形的边角关系
4
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1
2
3
等腰直角三角形
见习题
见习题
见习题
1．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，若关于x的方程(b＋c)x2－2ax＋c－b＝0有两个相等的实数根，且sin Bcos A－cos Bsin A＝0，试判断△ABC的形状．
2．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG.
(1)求证：BF＝BG；
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝
∠DCG＝90°.∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.
∵∠DEF＝∠CEG，∴△EDF≌△ECG.∴EF＝EG.又∵BE⊥FG，∴BE是FG的垂直平分线．∴BF＝BG.
(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上的一个动点且在第一象限内，在点A的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数表达式．
解：易得点A的坐标为(2，3)，∴k＝6.
(3)若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论，并说明理由．(共26张PPT)
第二章 直角三角形的边角关系
2.6 利用三角函数测高
第1课时 视角在测量中的应用
4
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6
7
1
2
3
5
B
C
A
8
见习题
D
C
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10
11
12
9
见习题
见习题
见习题
见习题
B
1．【2019·河北】如图，从点C观测点D的仰角是( )
A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
【答案】A
3．【2019·广西北部湾经济区】小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为( )
(已知sin 35°≈0.6，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，sin 65°≈0.9，cos 65°≈0.4，tan 65°≈2.1)
A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
【答案】C
【点拨】如图，过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F.易知BF⊥OE.
4．【2020·重庆】如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点(点A，B，C在同一直线上)，再沿斜坡DE方向前行78米到E点(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1:2.4，则信号塔AB的高度约为( )(参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93)
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
【点拨】过点E作EF⊥CD于点F，过点E作EM⊥AC于点M，如图．
∵斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1:2.4，DE＝CD＝78米，
∴设EF＝x米，则DF＝2.4x米．
在Rt△DEF中，∵EF2＋DF2＝DE2，
∴x2＋(2.4x)2＝782，解得x＝30(负值舍去)，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF＋DC＝72＋78＝150(米)．
【答案】D
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四边形EFCM是矩形，∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．
在Rt△AEM中，∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM·tan 43°≈150×0.93＝139.5(米)，
∴AC＝AM＋CM≈139.5＋30＝169.5(米)．
∴AB＝AC－BC≈169.5－144.5＝25(米)．故选D.
C
6．【2020·赤峰】如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为________米．(结果保留根号)
8．【中考·南宁】如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高CD是________m．(结果保留根号)
解：如图，过点B作BF⊥CE于点F，交过点A且平行于CD的直线于点H.易知四边形AHFE为矩形．(共12张PPT)
阶段方法技巧训练(四)
专训5 利用三角函数解判断说理问题
第二章 直角三角形的边角关系
4
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1
2
3
无触礁危险，理由略
不会,理由略
(1)100；(60＋10t)
(2)不会．理由略
1．如图，某货船以24 n mile/h的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30 min后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在岛C周围9 n mile的区域内有暗礁．
若继续向正东方向航行，该货船
有无触礁危险？试说明理由．
【技巧点拨】将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C到航线AM的距离与9 n mile的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C到航线AM的距离．
2．A，B两市相距150 km(B市在A市正东方向上)，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方向角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45 km为半径的圆，tan α＝1.627，tan β＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接A，B两市的高速公
路会穿过风景区吗？请说明理由．
3．【中考·荆门】如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000 m到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公
路的距离．(结果不取近似值)
4．如图，在某海滨城市O附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200 km的海面P处，并以20 km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60 km，且圆的半径以10 km/h的速度不断扩大．
(1)当台风中心移动4 h时，受台风侵袭的圆形
区域半径增大到______km；当台风中心移动
t h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到_________km.
100
(60＋10t)第二章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为( )
A．3 B. C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tAn B＝，BC＝2 ，则AC等于( )
A．3 B．4 C．4 D．6
3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为( )
A. B. C. D．1
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的长是( )
A．3 B．6 C．8 D．9
5．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC的值为( )
A. B. C. D.
7．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于( )
A. B. C. D.
8．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )
A．100 m B．50 m C．50 m D. m
9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1?：2，则等腰三角形顶角的度数为( )
A．30° B．50°
C．60°或120° D．30°或150°
10．如图，某海监船以20 n milE/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1 h到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2 h到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( )
A．40 n mile B．60 n mile
C．20 n mile D．40 n mile
二、填空题(每题3分，共24分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinB＝________．
12．计算：－|－2＋tan45°|＋(－1.41)0＝________.
13．如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30 m，那么塔AC的高度为________m(结果保留根号)．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.
15．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．
16．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.
17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________．
18．若一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的表达式为________．
三、解答题(19，20题每题12分，其余每题14分，共66分)
19．计算：
(1)(2cos 45°－sin 60°)＋；
(2)sin 60°·cos 60°－tan 30°·tan 60°＋sin245°＋cos245°.
20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)已知c＝8 ，∠A＝60°，求∠B，a，b；
(2)已知a＝3 ，∠A＝45°，求∠B，b，c.
21．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝.
(1)求边AC的长；
(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
22．如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．
23．小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图①)，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32 cm(参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 28.1°≈0.534)．
(1)求证：AC∥BD.
(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(结果精确到0.1°)．
(3)小红的连衣裙穿在衣架上的总长度达到122 cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．
答案
一、1.A
2．A 点拨：由tan B＝知AC＝BC·tan B＝2 ×＝3.
3．B
4．B 点拨：因为AD＝CD，所以∠DAC＝∠DCA.又因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB.所以∠DCA＝∠ACB.在Rt△ACB中，AC＝BC·cos ∠BCA＝10×＝8，则AB＝＝6.
5．C 点拨：对于①，可由AB＝BC·tan ∠ACB求出A，B两点间的距离；对于②，由BC＝，BD＝，BD－BC＝CD，
可求出AB的长；对于③，易知△DEF∽△DBA，则＝，可求出AB的长；对于④无法求得AB的长，故有①②③共3组，故选C.
6．A
7．B 点拨：如图，连接BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4.又BC＝5，CD＝3，
∴CD2＋BD2＝BC2.
∴△BDC是直角三角形，
且∠BDC＝90°.
∴tan C＝＝.
8．A
9．D 点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝，
∴∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝，∴180°－∠BAC＝30°.∴∠BAC＝150°.
10．D 点拨：在Rt△PAB中，
∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，
由题意得BC＝2AB，∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C＋∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，∴PC＝2PA，
∵PA＝AB·tan60°，
∴PC＝2×20×＝40 (n mile)．
二、11.
12．2＋ 点拨：原式＝3－|－2＋|＋1＝4－2＋＝2＋.
13．10 14. 15.
16. 点拨：如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，则B′D＝x，BC＝2x，BD＝3x.所以tan∠A′BC′＝＝＝.
17. 点拨：由题意知BD′＝BD＝2 .
在Rt△ABD′中，tan ∠BAD′＝＝＝.
18．y＝2 x－ 点拨：tan 45°＝1，tan 60°＝，－cos 60°＝－，－6tan 30°＝－2 .设y＝kx＋b的图象经过点(1，)，，则用待定系数法可求出k＝2 ，b＝－.
三、19.解：(1)原式＝×＋＝2－＋＝2.
(2)原式＝×－×＋＋＝－1＋＋＝.
20．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4 .
(2)∠B＝45°，b＝3 ，c＝6 .
21．解：(1)如图，过A作AE⊥BC，交BC于点E.在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC－BE＝5－4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC＝＝.
(2)如图，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点F.
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF＝，
∵tan∠DBF＝＝，
∴DF＝，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：
BD＝＝，
∴AD＝5－＝，则＝.
22．解：由题意得BG＝3.2 m，MN＝EF＝3.2＋2＝5.2(m)，ME＝NF＝BC＝6 m．在Rt△DEF中，易知＝，∴FD＝2EF＝2×5.2＝10.4(m)．
在Rt△HMN中，＝，
∴HN＝2.5MN＝13(m)．
∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．
∴加高后的坝底HD的长为29.4 m.
23．(1)证明：方法一 ∵AB，CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝(180°－∠AOC)．
同理∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)．
∴∠OAC＝∠OBD.
∴AC∥BD.
方法二 ∵AB＝CD＝136 cm，
OA＝OC＝51 cm，
∴OB＝OD＝85 cm.
∴＝＝.
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD.
∴∠OAC＝∠OBD.
∴AC∥BD.
(2)解：在△OEF中，OE＝OF＝34 cm，EF＝32 cm.
如图，作OM⊥EF于点M，则EM＝16 cm.
∴cos∠OEF＝＝≈0.471.
∴∠OEF≈61.9°.
(3)解：方法一 小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．
理由如下：如图，过A作AH⊥BD于
点H.在Rt△OEM中，OM＝＝＝30(cm)．
易证∠ABD＝∠OEM.
∵∠OME＝∠AHB＝90°，
∴△OEM∽△ABH.
∴＝.
∴AH＝＝＝120(cm)．
∵小红的连衣裙挂在晒衣架上的总长度122 cm大于晒衣架的高度120 cm，
∴小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．
方法二 小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．理由如下：
易得∠ABD＝∠OEF≈61.9°.
如图，过点A作AH⊥BD于点H.
在Rt△ABH中，∵sin∠ABD＝，
∴AH＝AB·sin∠ABD≈136×sin 61.9°≈136×0.882≈120(cm)．
∵小红的连衣裙挂在晒衣架上的总长度大于晒衣架的高度，
∴小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．
解题策略：这是一道几何应用题，体现了新课标理念：数学来源于生活，并服务于生活．背景情境的设置具有普遍性和公平性．涉及的知识点有：平行线的判定、等腰三角形的性质、三角形相似、锐角三角函数等．题目设置由易到难，体现了对数学建模的考查，以及由理论到实践的原则，比较全面地考查了对几何基础知识的掌握情况和对知识的应用能力．题目新颖，综合性强．
1(共11张PPT)
阶段方法技巧训练(三)
专训2 同角或互余两角的三角函数关系的应用
第二章 直角三角形的边角关系
4
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6
1
2
3
5
C
1
【分析】要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．
3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是( )
A．sin(45°－α)＝sin(45°＋α)
B．sin2(45°－α)＋cos2(45°＋α)＝1
C．sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1
D．cos2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1
【点拨】∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，
∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)，sin2(45°－α)＋
sin2(45°＋α)＝cos2(45°＋α)＋sin2(45°＋α)＝1.
C
解：tan 1° tan 2° tan 3° … tan 88° tan 89°＝(tan 1° tan 89°) (tan 2° tan 88°) … (tan 44° tan 46°) tan 45°＝1.
4．计算tan 1° tan 2° tan 3° … tan 88° tan 89°的值．
【点拨】互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α tan β＝1.
【点拨】此题用到两方面的知识：(1)公式sin2α＋cos2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x1＋x2＝p，x1x2＝q，则以x1，x2为两根的一元二次方程为x2－px＋q＝0.第二章达标检测卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．已知cos A＝，则锐角A的度数为( )
A．30° B．45° C．50° D．60°
2．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为( )
A. B. C. D．2
3．在锐角三角形ABC中，若＋＝0，则∠C等于( )
A．60° B．45° C．75° D．30°
4．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为( )
A. B. C．2 D．2
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tan B的值为( )
A. B. C. D.
6．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )
A．100 m B．50 m C．50 m D. m
7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为( )
A. B. C. D.
8．如图所示，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD为100 m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是( )
A．200 m B．200 m C．220 m D．100(＋1)m
9．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则( )
A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝S2 D．S1＝S2
10．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是( )
A. B . C. D.
二、填空题(每题3分，共24分)
11．cos 60°＝________．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝_______．
13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.
14．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝____．
15．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12：5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移________m时，才能确保山体不滑坡．(取tan 50°≈1.2)
16．如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图，自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4 m．则自动扶梯的垂直高度BD＝________m．(结果保留根号)
17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，连接AD′，那么tan∠BAD′＝________.
18．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为________海里．
三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)
19．计算：
(1)sin 60°－cos 45°＋；
(2)＋4cos 60°·sin 45°－.
20．a，b，c是△ABC的三边，且满足等式b2＝c2－a2，5a－3c＝0，求sin A＋sin B的值．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长．
22．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，工作人员正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度．(结果保留根号)
23．沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12 m，斜坡CD的坡度i＝1：1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P、D、H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP＝26°.
(1)求斜坡CD的坡角α；
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18 m，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin 26°≈0.44，tan 26°≈0.49，sin 71°≈0.95，tan 71°≈2.90)
24．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
(1)求∠APB的度数；
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据：≈1.414，≈1.732)
25．某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB长为22 m，坡角∠BAD＝68°.为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．
(1)求改造前坡顶与地面的距离．(结果精确到0.1 m)
(2)为了确保安全，学校计划改造时保持坡的根部A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？(结果精确到0.1 m)(参考数据：sin 68°≈0.927 2，cos 68°≈0.374 6，tan 68°≈2.475 1，sin 50°≈0.766 0，cos 50°≈0.642 8，tan 50°≈1.191 8)
答案
一、1.A
2．B 【点拨】过点A作AD⊥BC于点D，如图，则∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵tan C＝2＝，sin B＝＝，
∴AD＝2DC，AB＝3AD.
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC＝.
在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝＝.故选B.
3．C 【点拨】由题意，得sin A－＝0，－cos B＝0.所以sin A＝，cos B＝.所以∠A＝60°，∠B＝45°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.
4．A 【点拨】如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD＝＝2，BD＝＝，∴tanA＝＝＝.故选A.
5．C 6.A 7.D
8．D 【点拨】由题意可知，∠A＝30°，∠B＝45°，tan A＝，tan B＝，又CD＝100 m，因此AB＝AD＋DB＝＋＝＋＝100＋100＝100(＋1)(m)．
9．D 【点拨】如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥EF，交FE的延长线于点N.在Rt△ABM中，∵sin B＝，∴AM＝3×sin 50°，∴S1＝BC·AM＝×7×3×sin 50°＝sin 50°.在Rt△DEN中，∠DEN＝180°－130°＝50°.∵sin ∠DEN＝，∴DN＝7×sin 50°，∴S2＝EF·DN＝×3×7×sin 50°＝sin 50°，∴S1＝S2.故选D.
10．D
二、11.
12．60° 【点拨】∵BC＝10，∴S△ABC＝＝＝，∴AC＝，∴tan A＝＝＝，∴∠A＝60°.
13. 14.
15．10 【点拨】如图，在BC上取点F，使∠FAE＝50°，过点F作FH⊥AD于H.
∵BF∥EH，BE⊥AD，FH⊥AD，
∴四边形BEHF为矩形，
∴BF＝EH，BE＝FH.
∵斜坡AB的坡比为12：5，
∴＝，
设BE＝12x m，则AE＝5x m，
由勾股定理得，AE2＋BE2＝AB2，
即(5x)2＋(12x)2＝262，
解得x＝2(负值舍去)，
∴AE＝10 m，BE＝24 m，
∴FH＝BE＝24 m.
在Rt△FAH中，tan ∠FAH＝，
∴AH＝≈20 m，
∴BF＝EH＝AH－AE≈10 m.
∴坡顶B沿BC至少向右移10 m时，才能确保山体不滑坡．
16．2 【点拨】∵∠BCD＝∠BAC＋∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴BC＝AC＝4 m.
在Rt△BDC中，sin∠BCD＝，
∴sin 60°＝＝，
∴BD＝2 m.
17. 【点拨】由题意知BD′＝BD＝2.
在Rt△ABD′中，tan ∠BAD′＝＝＝.
18．20 【点拨】如图，过点A作AC⊥BD于点C.
根据题意可知：∠BAC＝∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，AB＝20海里，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝AB·sin 45°＝20×＝10(海里)，
∵在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，
∴AD＝2AC＝20海里．
即此时轮船与小岛的距离AD为20海里．
三、19.解：(1)原式＝×－×＋2
＝－1＋2
＝.
(2)原式＝－(＋)＋4××－
＝－－＋－(2－)
＝－2.
20．解：由b2＝c2－a2，得a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°.
∵5a－3c＝0，
∴＝，即sin A＝.
设a＝3k，则c＝5k，
∴b＝＝4k.
∴sin B＝＝，
∴sin A＋sin B＝＋＝.
21．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
tan A＝，
∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°.
又∵CD＝，
∴BC＝＝3.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝＝6.
故AB的长为6.
22．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
根据题意，知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°.
∴AD＝CD.
∴BD＝BC－CD＝200－AD.
在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝，
∴AD＝BD·tan ∠ABD＝(200－AD)·tan 60°＝(200－AD)．
∴AD＋AD＝200.
∴AD＝＝(300－100)(m)．
故该河段的宽度为(300－100)m.
23．解：(1)∵斜坡CD的坡度i＝1：1，
∴tan α＝＝1，
∴α＝45°.
答：斜坡CD的坡角α为45°.
(2)∵DH⊥BC，α＝45°，
∴CH＝DH＝12 m，
∠PCH＝∠PCD＋α＝26°＋45°＝71°.
在Rt△PCH中，
∵tan ∠PCH＝＝≈2.90，
∴PD≈22.8 m.
∵22.8＞18，
∴此次改造符合电力部门的安全要求．
24．解：(1)由题意得，∠PAB＝90°－60°＝30°，∠ABP＝90°＋45°＝135°，
∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝180°－30°－135°＝15°.
(2)作PH⊥AB于H，如图．
易得△PBH是等腰直角三角形，
∴BH＝PH.
设BH＝PH＝x海里，由题意得AB＝40×＝20(海里)．
在Rt△APH中，tan∠PAB＝tan 30°＝＝，
即＝，
解得x＝10＋10≈27.32.
∵27.32>25，
∴海监船继续向正东方向航行安全．
25．解：(1)如图，过点B作BE⊥AD，E为垂足，
则BE＝AB·sin 68°＝22×sin 68°≈22×0.927 2≈20.4(m)．
即改造前坡顶与地面的距离约为20.4 m.
(2)如图，过点F作FG⊥AD，G为垂足，连接FA.
由题易得∠FAG＝50°，易得四边形BFGE是矩形，即FG＝BE，FB＝GE.
∴AG＝≈≈17.12(m)，
∵Rt△ABE中，∠BAD＝68°，
∴AE＝AB·cos 68°≈22×0.374 6≈8.24(m)，
∴BF＝GE＝AG－AE≈8.9 m，
即BF至少是8.9 m.
7(共11张PPT)
阶段核心归类
构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型
第二章 直角三角形的边角关系
4
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1
2
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1．【中考·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8 m，已知小汽车车门宽AO为1.2 m，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin 40°≈0.64，
cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
解：当车门打开角度∠AOB为40°时，车门不会碰到墙．理由如下：
如图，过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC＝40°，AO＝1.2 m，
∴AC＝AO·sin ∠AOC≈1.2×0.64＝0.768(m)．
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8 m，0.768 m＜0.8 m，∴车门不会碰到墙．
2．【2020·遵义】某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2 m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6 m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．
(额头到地面的距离以身高计，计算精确到
0.1 m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)
3．【2020·呼和浩特】如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38 km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
(1)直接写出∠C的度数；
解：∠C＝62°；
(2)求A、C两港之间的距离．(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)
解：由(1)知∠ACB＝62°，易得∠CAB＝65°－20°＝45°，过B作BE⊥AC于E，如图所示，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°.
在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
4．【2020·眉山】某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．(共12张PPT)
阶段方法技巧训练(四)
专训4 应用三角函数解实际问题的四种常见问题
第二章 直角三角形的边角关系
4
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1
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173m
15m
18米
3．【中考·呼和浩特】如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40 m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．(结果
用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)
4．【中考·安徽】为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)，在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数，
参考数据：tan 39.3°≈0.82，tan 84.3°≈10.02)
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B
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阶段方法技巧训练(三)
专训1 求锐角三角函数值的常用方法
第二章 直角三角形的边角关系
4
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C
D
B
30°
B
C
D
B
6．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．
30°
【答案】B．
8．如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，且AH＝2CH，求sin B的值．
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B
A
A速(共29张PPT)
4 解直角三角形
第二章 直角三角形的边角关系
4
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D
B
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见习题
16
能通过
D
D
D
B
A
D
C
8．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6，则BC＝_____________．(结果保留根号)
【点拨】过点A作AD⊥BC于点D.如图．
【答案】 D
易错总结：本题中已指出∠B＝90°，所以AC为斜边，而受习惯的影响，常误以为∠C的对边AB是斜边．因此，解题时应认真审题，注意所给条件，分清斜边和直角边，以防出错．
10．在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，求tanA，cosA的值.
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.已知b＝10，∠B＝60°，解这个直角三角形．
【点拨】已知一个锐角时，可以先根据直角三角形的两锐角互余来计算另一个锐角的度数．已知一个锐角及对边，常通过正切和正弦来解直角三角形．
14．【中考·上海】如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18 m，中柱AD高6 m，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.
(1)求sin B的值；
(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．
15．【中考·东营】如图，全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：
(1)如图①，△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF，AD，BD，请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系．
解：S△ABC＝S四边形AFBD.
(2)如图②，当点F平移到线段BC的中点时，如果四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请说明理由．
(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，然后展开，连接CG，请你画出图形，并求出sin ∠CGF的值．
16．【中考·北京】小腾遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E(如图②)，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请回答：∠ACE的度数为________，
AC的长为________．
75°
3
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图③，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝2，BE＝2ED，求BC的长.(共23张PPT)
1 锐角三角函数
第1课时 正切
第二章 直角三角形的边角关系
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A
A
A
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C
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15
(1)y1＝x＋1.
(2)x＞2或－3＜x＜0.
(1)8.2 m；(2)492元
A
D
A
4．一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么它的两个锐角的正切值( )
A．都没有变化
B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半
D．不能确定是否发生变化
A
B
C
【答案】A
8．【中考·眉山】如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝________．
2
9．如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A.关于∠A的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是( )
A．tan A的值越大，梯子越缓
B．tan A的值越小，梯子越陡
C．tan A的值越大，梯子越陡
D．梯子的陡缓程度与∠A的正切值无关
C
10．如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC.若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，顶宽是3 m，路基高是4 m，则路基的下底宽是( )
A．7 m B．9 m C．12 m D．15 m
D
11．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则tan B＝________.
12．已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足(2b)2＝4(c－a)(c＋a)，且5a－3c＝0，求tan A＋tan B的值．
13．如图，CD是一个平面镜，光线从点A射出经CD上的点E反射后照射到点B.设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，BD＝6，CD＝12.求tan α的值．
解：当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或－3＜x＜0.
解：8.2×2×30＝492(元)．
答：给采购人员至少492元钱去购买地毯．(共25张PPT)
第二章 直角三角形的边角关系
2.5 三角函数的应用
第2课时 用解直角三角形解方向角、坡角(坡度)的应用
4
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566
C
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8
B
B
B
1.02
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见习题
见习题
见习题
见习题
566
B
3．【2020·济宁】一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是( )
A．15海里 B．20海里
C．30海里 D．60海里
【答案】C
【点拨】如图．
根据题意得，∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，
∴∠C＝∠CBD－∠CAB＝42°＝∠CAB，
∴BC＝AB.
∵AB＝15×2＝30(海里)，∴BC＝30海里．
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选C.
【答案】B
5．【2019·德州】如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为________米．(参考数据：sin 70°≈0.94，sin 50°≈0.77，cos 70°≈0.34，
cos 50°≈0.64)
1.02
7．【中考·重庆】如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面内，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1:0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，则旗杆AB的高度约为( )(参考数据：
sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.6)
A．12.6米 B．13.1米 C．14.7米 D．16.3米
【答案】B
【答案】B
解：没有触礁的危险．
理由如下：
如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N.
10．【2019·海南】如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
(1)填空：∠BAC＝______度，∠C＝______度．
(2)求观测站B到AC的距离BP.
(结果保留根号)
30
45(共38张PPT)
2 30°，45°，60°角的三角函数值
第二章 直角三角形的边角关系
4
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B
A
C
D
D
B
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30°
B
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B
A
13
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30°
16
(1)30°.(2)不需要拆除．
C
B
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18
19
20
17
8.7 m.
21
1；1；1；1 见习题
B
D
A
C
B
B
D
30°
9．已知α为锐角，m＝sin2α＋cos2α，则( )
A．m＞1 B．m＝1
C．m＜1 D．m≥1
B
A
C
12．已知α，β都是锐角，如果sin α＝cos β，那么α与β之间满足的关系是( )
A．α＝β B．α＋β＝90°
C．α－β＝90° D．β－α＝90°
B
13．如图，在△ABC中，AC＝1，AB＝2，∠A＝60°，求BC的长．
19．【中考 呼和浩特】如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果保留根号)
【点拨】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC＝10 km，∠A＝30°，求出CD，AD的长度，然后在Rt△BCD中求出BD，BC的长度，用AC＋BC－(AD＋BD)即可求解．
【点拨】过平面直角坐标系中的一点向x轴或y轴作垂线是解决求点的坐标及面积的主要方法．在直角三角形中运用三角函数的知识，求出相关线段的长是解本题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B的坐标为(3，0)，OA＝2，∠AOB＝60°.
(1)求点A的坐标；
(2)若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．
(1)求点A的坐标；
(2)若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．
21．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．
sin230°＋cos230°＝________；①
sin245°＋cos245°＝________；②
sin260°＋cos260°＝________；③
……
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝________.④
(1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
1
1
1
1
【点拨】①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出；④由前面①②③的结论，即可猜想出；
【点拨】①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出；④由前面①②③的结论，即可猜想出；(共24张PPT)
第二章 直角三角形的边角关系
2.3 用计算器求锐角的三角函数值
4
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A
D
A
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C
27.8°
D
D
A
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见习题
见习题
C
A
见习题
14
见习题
15
见习题
1．用计算器验证，下列等式正确的是( )
A．sin 18°24′＋sin 35°36′＝sin 54°
B．sin 65°54′－sin 35°54′＝sin 30°
C．2sin 15°30′＝sin 31°
D．sin 72°18′－sin 12°18′＝sin 47°42′
D
A
3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是( )
A
D
A
5．已知α为锐角，且tan α＝3.387，则下列各值中与α最接近的是( )
A．73°33′ B．73°27′
C．16°27′ D．16°21′
D
6．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科学计算器求∠A约等于( )
A．24°38′ B．65°22′
C．67°23′ D．22°37′
7．【中考·陕西】如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3 m， 铅直高度BC为2.8 m，则∠A的度数约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)
27.8°
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确的是( )
A．sin A＝sin B B．tan A＝tan B
C．sin A＝cos B D．cos A＝cos B
C
C
9．用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是( )
A．tan 25°B．tan 25°C．sin 27°D．cos 26°A
11．用计算器求sin 35°29′的值．(结果精确到0.001)
【点拨】易误认为35°29′＝35.29°而导致出错．
解：sin 35°29′≈0.580.
(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立；
(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
13．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合，且点P到BA，BC的距离分别为PE，PF的长)．
(1)若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，试比较PE，PF 的大小；
(2)若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α>β，请比较PE，PF的大小．
15．【2019·呼和浩特】如图①，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460 km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路．如果将甲、乙、丙三地当作三个点A，B，C，可抽象成图②所示的三角形，求甲、乙两地之间直达高速公路的长AB.(结果用含
非特殊角的三角函数和根式表示即可)
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460 km，(共9张PPT)
阶段方法技巧训练(四)
专训2 “化斜为直”构造直角三角形的方法
第二章 直角三角形的边角关系
4
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3
2
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
【点拨】本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD交于点E，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．
【方法点拨】构造直角三角形，
把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．
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B(共27张PPT)
第二章 直角三角形的边角关系
2.5 三角函数的应用
第1课时 解直角三角形在实际中的一般应用
4
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见习题
D
1.5
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见习题
见习题
见习题
见习题
【答案】A
B
69
4．【2020·枣庄】人字梯为现代家庭常用的工具(如图)．若AB，AC的长都为2 m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是________m．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)
1.5
【点拨】∵AB＝AC＝2 m，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝AC·sin50°≈2×0.77≈1.5(m)．
5．如图，AB是伸缩式遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不射入窗户，则AB的长是________m．(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)
【答案】D
8．如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B，并测得其俯角α＝8°35′.已知观察所A的标高(当水位为0 m时的高度)为45.54 m，当时水位为＋2.34 m．求观察所A与船只B的水平距离．(结果保留整数，参考数据：sin8°35′≈0.149，cos 8°35′≈0.989，tan 8°35′≈0.151)
易错总结：解题时容易弄错AC的高度，A处的标高(当水位为0 m时的高度)为45.54 m，当水位为＋2.34 m时，即水位上升了2.34 m，则AC的高度为45.54－2.34＝43.2(m)．
解：如图，过点H作HN⊥BA于点N，并延长交DC于点M，则DC⊥MN.
由题意可知MN＝CA＝10 m，MC＝EF＝1.6 m，HF＝GE＝6 m. ∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，
∴BN＝NH.
10．【2020·自贡】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB.BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为________米．(结果保留根号)
11．【2019·邵阳】某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝40 cm，∠ADE＝30°，DE＝190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．(结果精确到1 cm.参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)
12．【2019·宿迁】宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，车轮半径为32 cm，∠BCD＝64°，BC＝60 cm，坐垫E与点B的距离BE为15 cm.
(1)求坐垫E到地面的距离；
解：如图①，过点E作EM⊥CD于点M.
由题意知∠BCM＝64°，EC＝BC＋
BE＝60＋15＝75(cm)，
∴EM＝EC·sin∠BCM＝75×sin 64°≈67.5(cm)．
∵CD与地面l平行，∴CF＝32 cm.
故坐垫E到地面的距离为EM＋CF≈67.5＋32＝99.5(cm)．
(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适，小明的腿长约为80 cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05)(共20张PPT)
5 三角函数的应用
第1课时 用解直角三角形解视角的应用
第二章 直角三角形的边角关系
4
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7
1
2
3
5
C
C
7.2m
135m
C
A
8
(1)250 m.(2)5 m.
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5.7m
C
2．【中考·聊城】湖南路大桥于2015年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50 m的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD的高度为1 m，则桥塔AB的高度约为( )(参考数据：sin 41.5°
≈0.663，cos 41.5°≈0.749，tan 41.5°≈0.885)
A．34 m B．38 m C．45 m D．50 m
C
C
【点拨】过B作BF⊥CD于F，过B′作B′E⊥BD于E.于是得到AB＝A′B′＝CF＝1.6 m，B′F＝B′E＝BB′·sin 45°≈14.14(m)．则CD＝CF＋FD＝CF＋BB′＋B′F≈35.7 m.
4．【中考·德州】如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度约为________．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°
≈0.64，tan 50°≈1.19)
【点拨】如图，根据题意得EF⊥AC，CD∥FE，∴四边形CDEF是矩形．由题意知∠BEF＝45°，∴∠EBF＝45°.∴CD＝EF＝FB＝38 m．在Rt△AEF中，AF＝EF·tan 50°≈38×1.19＝45.22(m)．∴AB＝AF－BF≈45.22－38≈7.2(m)．∴旗杆的高度约为7.2 m.
【答案】7.2 m.
A
6．【中考·宁波】如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°，若飞机离地面的高度CH为1 200 m，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为___________m．
(结果保留根号)
7．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°(如图)．已知楼房高AB是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是________．
【答案】135m
【点拨】根据“爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°”可以求出AD的长，然后根据“在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°”可以求出CD的长．
9．【中考·内江】如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)
10．【中考·泸州】如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90 m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E点(A，E，B在同一水平线上)测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离．
(计算结果用根号表示，不取近似值)(共26张PPT)
第二章 直角三角形的边角关系
2.4 解直角三角形
第2课时 解直角三角形的八种常见类型
4
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6
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2
3
5
见习题
见习题
见习题
见习题
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见习题
见习题
见习题
见习题
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9
见习题
2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)若c＝10，求a，b的值；
(2)若a＝4，求b及∠B的值．
3．【中考·岳阳】某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.
(1)求支架CD的长；
(2)求真空热水管AB的长．(结果保留根号)
(2)sin∠DBE的值．
6．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过点D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.
(1)若△ABD是等边三角形，求DE的长；
7．如图，在△ABC中，AD，CE是高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，求cos∠DEB的值．
8．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得△BFE，点F落在边AD上．
(1)求证：△ABF∽△DFE.
证明：由题意可得∠A＝∠D＝∠C＝∠BFE＝90°，
∴∠ABF＝90°－∠AFB，∠DFE＝180°－∠BFE－∠AFB＝90°－∠AFB.
∴∠ABF＝∠DFE.
∴△ABF∽△DFE.
(2)求直线AB对应的函数表达式．
