(共34张PPT)
专题二 全等三角形
期末复习专题练
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B
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A
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D
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B
B
C
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A
B
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15
见习题
HL
2＜AD＜10
16
17
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19
见习题
见习题
见习题
见习题
120
1．下列命题的逆命题是真命题的是( )
A．同旁内角互补
B．两个无理数的和仍是无理数
C．若a2＝b2，则a＝b
D．同角的余角相等
C
2．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移的距离为6，则阴影部分的面积为( )
A．42 B．48
C．84 D．96
B
3．如图，Rt△ABC≌Rt△CDE，则线段AC和线段CE的关系是( )
A．既不相等也不互相垂直
B．相等但不互相垂直
C．互相垂直但不相等
D．相等且互相垂直
D
4．如图，△ABC≌△A′B′C，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为( )
A．30° B．45°
C．60° D．15°
A
5．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于( )
A．60° B．54°
C．56° D．66°
D
6．如图所示的2×2正方形网格中，∠1＋∠2等于( )
A．105° B．90°
C．85° D．95°
B
【点拨】如图，在△ABC和△DEA中，
∴△ABC≌△DEA(SAS)，∴∠2＝∠3，
在Rt△ABC中，∠1＋∠3＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.
7．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中AB⊥CD，现添加以下条件，不能判定△ABC≌△ABD的是( )
A．∠ACB＝∠ADB
B．AB＝BD
C．AC＝AD
D．∠CAB＝∠DAB
B
8．如图，∠A＝∠D，∠1＝∠2，则添加下列条件后仍不能得到△ABC≌△DEF的是( )
A．∠E＝∠B B．AF＝CD
C．AB＝ED D．EF＝BC
A
9．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：
①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；
④CD＝DN；⑤△AFN≌△AEM.
其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【点拨】在△ABE与△ACF中，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴BE＝CF，∠BAE＝∠CAF，AB＝AC.
∴∠BAE－∠BAC＝∠CAF－∠BAC，
∴∠1＝∠2.
在△ACN与△ABM中，
∴△ACN≌△ABM(ASA)．
在△AFN与△AEM中，
∴△AFN≌△AEM(ASA)．故①②③⑤正确．
CD＝DN无法证明成立，故④错误．故选C.
【答案】C
10．如图，AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，B，D，E在同一直线上，∠1＝22°，∠2＝30°，则∠3的度数为( )
A．42° B．52°
C．62° D．72°
B
11．已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________°.
120
12．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“__________”．
HL
13．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，若AB＝a，AD＝2BC＝b，M为BD的中点，则CM的长为________．
【点拨】延长CM交AD于点E，
∵AD＝2BC＝b，∴BC＝ .
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DEC＝∠BCM.
∵M为BD的中点，∴BM＝DM.
在△BCM和△DEM中，
14．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是____________．
【点拨】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，则AE＝2AD.
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴AC＝BE＝8，
在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，
∴12－8＜2AD＜12＋8，∴2＜AD＜10.
【答案】2＜AD＜10
15．(10分)如图，已知线段AC，BD相交于点E，连接AB，DC，BC，AE＝DE，∠A＝∠D.求证：△ABE≌△DCE.
证明：在△ABE和△DCE中，
∵
∴△ABE≌△DCE(ASA)．
解：∵∠B＝70°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°.
∵∠B＋∠BAD＋∠ADB＝180°，∴∠BAD＝40°.
∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＝40°.
∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝40°.
16.(10分)如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F.
(1)若∠B＝70°，求∠C的度数；
(2)若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
解：AD平分∠BDE成立．
理由：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE.
在△BAC和△DAE中，
∴△BAC≌△DAE(SAS)．∴∠B＝∠ADE.
∵∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，即AD平分∠BDE.
17.(12分)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E.若AD＝5，DE＝3，求CD的长．
解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DCA＋∠CAD＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠DCA＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.
在△BCE和△CAD中，
∴△BCE≌△CAD，∴CE＝AD＝5，
∴CD＝CE－DE＝2，即CD的长为2.
18．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：
(1)△AEF≌△CEB；
证明：∵CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝90°.
∴∠AFE＋∠EAF＝90°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CFD＋∠ECB＝90°，
又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECB.
在△AEF和△CEB中，
∵
∴△AEF≌△CEB(ASA)．
(2)AF＝2CD.
证明：∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，∴BC＝2CD.
∴AF＝2CD.
19．(14分)探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE.
证明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD.
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD＋CE.
证明：设∠BDA＝∠BAC＝α，
易知∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α，
∴∠CAE＝∠ABD.
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.(共22张PPT)
期末提分练案
第5讲 轴对称和中心对称
第1课时 考点梳理与达标训练
1
2
3
4
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9
C
B
D
B
A
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5
C
10
D
A
100°
130°
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11
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12
13
见习题
14
15
见习题
见习题
10
D
C
B
D
【答案】C
【点拨】该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故A选项错误；
该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项错误；
该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；
该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．
故选C.
A
B
A
100°
130°
15
10
解：由题意得x＝∠C＝360°－(100°＋120°＋70°)＝70°，
y＝BC＝4.
【点拨】(1)(2)(3)题答案不唯一．
解：如图所示．
如图所示．
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B
C
D
2
③(共14张PPT)
期末提分练案
第4讲 二次根式
第2课时 方法训练
比较实数大小的常用方法
1
2
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4
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8
9
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5
10
x＜y.
【点拨】当两个含二次根式的数或式(均为正数)均由分母和分子两部分组成时，常通过作商比较它们的大小，先计算它们的商，然后比较商与1的大小关系．
【点拨】利用作差法比较两个式子的大小，即a－b＞0，则a＞b；a－b＝0，则a＝b；a－b＜0，则a＜b.
【点拨】紧扣“两个正数中倒数大的反而小”这一规律，用倒数法比较大小．
【点拨】先求出无理数的近似值，再比较两个数的大小．
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专题三 实数和二次根式
期末复习专题练
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1
2
3
4
D
B
D
5
A
D
6
7
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B
B
D
10
A
A
11
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13
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15
见习题
－2 140
16
17
18
19
见习题
见习题
见习题
见习题
1．下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A
2．下列说法正确的是( )
A．1的平方根是1
B. 的算术平方根是9
C．(－6)2没有平方根
D．立方根等于本身的数是0和±1
D
3．已知正方形的面积为50，则该正方形的边长介于( )
A．6与7之间 B．7与8之间
C．8与9之间 D．9与10之间
B
4．下列各组数中，互为相反数的是( )
A．(－3)2与32 B．3与3－1
D
5．下列说法：① ＝－10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③－2是 的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数；⑦近似数1.05万精确到百位．正确的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
D
6．下列运算正确的是( )
B
7．已知 ，那么a与b的关系为( )
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a是b的平方根
B
A．1或3 B．3
C．1 D．5
A
9．已知n是正整数， 是整数，则n的值可以是( )
A．5 B．7
C．9 D．10
D
10．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16 cm2和12 cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )
【答案】A
11．如图，数轴上表示3， 的点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是________．
13．一个三角形的三边长分别为 则它的周长是__________________．
－2 140
15．(20分)计算：
16．(8分)观察下列等式：
(1)写出等式⑤：__________________；
(2)试用含n(n为正整数)的等式表示这一规律，并加以验证．
(1)计算x＋y＝________，xy＝________；
4
(2)求x2－xy＋y2的值．
解：x2－xy＋y2
＝(x＋y)2－3xy
＝(2 )2－3×4
＝20－12
＝8.
18．(10分)如图，用两个边长为 cm的小正方形剪拼成一个大正方形．
(1)大正方形的边长是________cm；
4
(2)若在此大正方形中剪下一个长方形(剩余部分为长方形)，能否使剪下的长方形的长和宽之比为3∶2，且面积为12 cm2？若能，试求出剪下的长方形的长和宽；若不能，试说明理由．
解：不能．理由：设剪下的长方形的长为3x cm，则宽为2x cm，
由题意得2x·3x＝12，
解得x＝ ，
3x＝3 ＞4，
所以不能使剪下的长方形的长和宽之比为3∶2，且面积为12 cm2.(共10张PPT)
期末提分练案
第4讲 二次根式
第3课时 归类训练
利用二次根式性质解题的常见类型
1
2
3
4
6
7
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5
1
10
A
±4.
见习题
见习题
1
A
【点拨】涉及二次根式的最小(大)值问题，要根据题目的具体情况来决定用什么方法．一般情况下利用二次根式的非负性求解．
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期末提分练案
第6讲 等腰三角形及其性质
第1课时 考点梳理与达标训练
1
2
3
4
6
7
8
9
B
A
D
C
C
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5
B
10
D
C
30°
60°
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11
9
12
13
32
14
见习题
15
16
见习题
见习题
2.5.
D
B
A
D
B
C
C
C
30°
60°
9
【点拨】由题意知，应分两种情况：
(1)当腰长为6 cm时，三角形三边长为6 cm，6 cm，13 cm，
∵6＋6＜13，∴不能构成三角形；
(2)当腰长为13 cm时，三角形三边长为6 cm，13 cm，
13 cm，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．
综上，其周长为32 cm.
32
解：∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE.
∴∠ECD＝∠A＝36°.
解：∵∠A＝∠ECD＝36°，∴∠BEC＝72°.
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝(180°－36°)÷2＝72°.
∴∠B＝∠BEC.
∴BC＝CE＝5.
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°.
在Rt△ADF中，∵∠A＝60°，∠DFA＝90°，
∴∠ADF＝30°.
解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°－36°＝54°.
证明：如图，连接BF.
∵∠ADC＝60°，CF⊥AD，∴∠DCF＝30°.
∴CD＝2DF.∵CD＝2BD，∴BD＝DF.
∴∠DBF＝∠DFB.∵∠ADC＝∠DFB＋∠FBD＝60°，
∴∠DFB＝∠DBF＝30°.∵∠ABC＝45°，∴∠ABF＝45°－30°＝15°.∵∠ABF＋∠BAF＝∠BFD＝30°，∴∠FAB＝15°，即∠BAF＝∠ABF.∴BF＝AF.
∵∠DCF＝∠FBD＝30°，∴BF＝FC.∴AF＝FC.∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°.∵∠ADC＝60°，∴∠FAG＝30°＝∠DCF.
(共10张PPT)
期末提分练案
第4讲 二次根式
第4课时 题型训练
二次根式的运算及有关概念应用的常见题型
1
2
3
4
6
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期末提分练案
第7讲 直角三角形与勾股定理
第1课时 考点梳理与达标训练
1
2
3
4
6
7
8
9
D
D
C
B
D
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5
D
10
B
B
6
合格
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11
60°
12
13
15.
14
15
12 m.
南偏东55°.
7≤a≤8
16
17
见习题
见习题
B
D
D
C
D
B
B
D
6
合格
60°
7≤a≤8
解：根据题意得，AC＝30海里，AB＝40海里，BC＝50海里．
∵302＋402＝502，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.
∴180°－90°－35°＝55°.
答：乙船的航行方向为南偏东55°.
解：设旗杆的高度为x m，则绳子长为(x＋1)m.
由题意知x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.
答：旗杆的高度为12 m.
解：由题意得AD＝4a，BE＝3a.
由(1)知△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a.
在Rt△ACD中，AD2＋CD2＝AC2，∴(4a)2＋(3a)2＝252.
∵a＞0，∴a＝5 cm.
即砌墙砖块的厚度a为5 cm.(共13张PPT)
期末提分练案
第6讲 等腰三角形及其性质
第3课时 提升训练
“三线合一”在等腰三角形中应用的常见题型
1
2
3
4
6
12.
见习题
见习题
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5
见习题
见习题
见习题
解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，∴∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.
证明：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC.
∵AD⊥BC，∴AD是BE边上的中线，即DE＝BD.
又∵∠ABC＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C.
∵∠AEB＝∠CAE＋∠C，∴∠CAE＝∠C.
∴CE＝AE＝AB.
∴CD＝CE＋DE＝AB＋BD.
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专题五 特殊三角形(基础)
期末复习专题练
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1
2
3
4
B
A
B
5
B
D
6
7
8
9
C
C
B
10
C
C
11
12
13
14
答案显示
15
见习题
75°
14或4
16
17
18
19
见习题
见习题
见习题
见习题
22.5°
84
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，则∠B＝( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
B
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm，则斜边的长为( )
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
B
3．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A．1.5，2，3 B．7，24，25
C．6，8，10 D．9，12，15
A
4．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为( )
A．13 B．8
C．25 D．64
B
5．下列说法正确的有( )
①如果∠A＋∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则这个三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
6．如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＋BC＝BE，则∠B的度数是( )
A．45° B．60°
C．50° D．55°
C
7．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为( )
A．15° B．22.5°
C．30° D．45°
C
8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AD平分∠BAC，则下列结论不正确的是( )
A．∠B的度数等于30
B．AC＝AE＝BE＝AD
C．∠ADB的度数等于120°
D．Rt△ADE≌Rt△BDE≌Rt△ADC
B
10．一位园艺设计师，计划在一块有一个内角为60°的直角三角形绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉的绿化带面积相等、形状完全相同．某同学为此提供了如图所示的四种设计方案．其中可以满足园艺设计师要求的有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．4种
C
11．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是________．
22.5°
12．如图，∠MAN＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEM＝________．
【答案】75°
【点拨】∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝30°.
∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴∠DCE＝∠A＋∠CDA＝15°＋30°＝45°.
∵CD＝DE，∴∠CED＝∠DCE＝45°，
∴∠EDF＝∠A＋∠AED＝15°＋45°＝60°.
∵DE＝EF，∴∠EFD＝∠EDF＝60°，
∴∠MEF＝∠A＋∠AFE＝15°＋60°＝75°.
13．在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长是________．
14或4
14．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD是BC边上的高，则△ABC的面积是________．
84
15．(8分)已知a，b，c满足(a－3)2＋ ＋|c－5|＝0.求：
(1)a，b，c的值．
∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5.
(2)试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
解：能构成．∵32＋42＝52，
∴此三角形是直角三角形，
它的周长为3＋4＋5＝12.
16.(8分)如图，Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．求证：∠EBD＝∠EDB.
证明：∵∠ABC＝90°，且点E是AC的中点，
∴EB＝ AC.
同理可得ED＝ AC，∴EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB.
17．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝AD，过点D作垂直于AB的直线与∠ACB的平分线相交于点E，求证：ED＝CD.
证明：过点C作CF⊥AB于F.
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝180°－∠ACB－∠B＝60°，AB＝2AC.
∵AC＝AD，∴AB＝2AD，∴D是AB的中点，
∴BD＝CD＝AD＝ AB，∴∠BCD＝∠B＝30°.
∵CF⊥AB，∴∠ACF＝90°－∠A＝30°.
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝ ∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ACE－∠ACF＝15°，
∠ECD＝∠BCE－∠BCD＝15°，
∴∠ECF＝∠ECD.
∵DE⊥AB，∴CF∥DE，∴∠E＝∠ECF＝15°，
∴∠E＝∠ECD，∴ED＝CD.
18．(12分)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并证明你的结论．
解：BF⊥AE.
证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝90°，
∴∠E＋∠CAE＝90°.
在Rt△BCD和Rt△ACE中，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴∠CBD＝∠CAE.
∴∠CBD＋∠E＝90°，∴∠BFE＝90°，∴BF⊥AE.
19．(12分)如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80 m处有一所学校A.当重型运输卡车P沿公路ON方向行驶时，在以P为圆心50 m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪音的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪音影响越大．卡车P沿公路ON方向行驶的速度为18 km/h.
解：过点A作AD⊥ON于点D，如图．
∵∠NOM＝30°，AO＝80 m，
∴AD＝40 m，
即对学校A的噪音影响最大时卡车P与学校A的距离为40 m.
(1)求对学校A的噪音影响最大时卡车P与学校A的距离；
(2)求卡车P沿公路ON方向行驶一次给学校A带来噪音影响的时间．
解：如图，以50 m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，则易知BD＝CD＝ BC，
在Rt△ABD中，AB＝50 m，AD＝40 m，
∴BD＝ ＝30(m)，
故BC＝2×30＝60(m)，
即卡车P在经过BC时给学校A带来噪音影响．
∵卡车P的速度为18 km/h，即 ＝300(m/分)，
∴卡车P经过BC时需要60÷300＝0.2(分钟)＝12(秒)．
答：卡车P沿公路ON方向行驶一次给学校A带来噪音影响的时间为12秒．(共20张PPT)
期末提分练案
第1讲 分式和分式方程
第3课时 拓展训练
解分式方程的技巧
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专题六 特殊三角形(提升)
期末复习专题练
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45°
1．等腰三角形两边长为3和6，则周长为( )
A．12 B．15
C．12或15 D．无法确定
B
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )
A．35° B．45°
C．55° D．60°
C
3．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )
A．35° B．40°
C．45° D．50°
A
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，一锐角为30°，最短边长为5 cm，则最长边上的中线是( )
A．5 cm B．15 cm
C．10 cm D．2.5 cm
A
5．使两个直角三角形全等的条件是( )
A．一个锐角对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等
D．两条边对应相等
D
6．【河北保定安国期中】把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一条直线上，若AB＝ ，则CD的长为( )
C
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，则其斜边上的高为( )
A．6 cm B．8.5 cm
C. cm D. cm
C
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4.以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E；作射线CE交AB于点F.则AF的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
B
【点拨】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝ ∴AB＝2CD＝ . ∴AC2＋BC2＝5.
∵Rt△ABC的面积为1，∴ AC·BC＝1，则AC·BC＝2.
∴(AC＋BC)2＝AC2＋BC2＋2AC·BC＝9，
∴AC＋BC＝3(舍去负值)，
∴AC＋BC＋AB＝3＋ ，即△ABC的周长是3＋ .
【答案】D
10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接CD，BE.下列结论中，正确的结论有( )
①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；
③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝ BD·CE；
⑤BC2＋DE2＝BE2＋CD2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°＋∠CAD，
∠CAE＝∠DAE＋∠CAD＝90°＋∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠ADB，∠ABD＝∠ACE，CE＝BD，
∴∠BCG＋∠CBG＝∠ACB＋∠ABC＝90°.
在△BCG中，∠BGC＝180°－(∠BCG＋∠CBG)＝180°－90°＝90°，∴BD⊥CE，
易知S四边形BCDE＝ BD·CE.
在Rt△BCG中，BC2＝BG2＋CG2，
在Rt△DEG中，DE2＝DG2＋EG2，
∴BC2＋DE2＝BG2＋CG2＋DG2＋EG2，
在Rt△BGE中，BE2＝BG2＋EG2，
在Rt△CDG中，CD2＝CG2＋DG2，
∴BE2＋CD2＝BG2＋CG2＋DG2＋EG2，
∴BC2＋DE2＝BE2＋CD2.
只有当AE∥CD时，∠ADB＝∠AEC＝∠DCE，
此时∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝∠DCE＋∠BDC＝90°，
由于无法说明AE∥CD，故②错误．
∵无法证明∠AEC与∠AEB相等，
∴∠ADB＝∠AEB不一定成立，故③错误．
综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．
【答案】C
11．如图，一架5 m长的梯子AB，斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯顶A距地面4 m，若梯子沿墙下滑1 m，则梯子下端B外滑________m.
1
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是________．
9.6
13．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AC＝18，则BD长为________．
12
14．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为________．
【答案】45°
【点拨】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，
则∠ACE＝x＋y，∠BCE＝90°－∠ACE＝90°－x－y.
∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x＋y，
∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE＋∠DCE＝90°－x－y＋x＝90°－y.
在△DCE中，∵∠DCE＋∠CDE＋∠DEC＝180°，
∴x＋(90°－y)＋(x＋y)＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°.
15．(8分)如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.
(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
解：Rt△ADE≌Rt△BEC.
理由如下：
∵∠1＝∠2，∴DE＝CE.
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC.
(2)若DE＝2，求DC的长．
解：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，
又∵∠AED＋∠ADE＝90°，∠BEC＋∠BCE＝90°，
∴2(∠AED＋∠BEC)＝180°，
∴∠AED＋∠BEC＝90°，∴∠DEC＝90°.
∵DE＝EC，DE＝2，
16.(8分)中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：a2＋b2＝c2；
解：易知大正方形的面积为c2，直角三角形的面积为 ab，小正方形的面积为(b－a)2，
∴c2＝4× ab＋(b－a)2＝2ab＋b2－2ab＋a2，
即c2＝a2＋b2.
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求(a＋b)2的值．
解：由题图可知
(b－a)2＝3，4× ab＝13－3＝10，∴2ab＝10，
∴(a＋b)2＝(b－a)2＋4ab＝3＋2×10＝23.
17．(10分)如图，BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE.
证明：连接MD，ME，
∵BD，CE是△ABC的两条高，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∵M是BC的中点，∴MD＝ME＝ BC.
∵N是DE的中点，∴MN⊥DE.
18．(12分)已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，作∠DCE＝∠ACD，CE交AD的延长线于点E，点F是点C关于直线AE的对称点，连接AF.
(1)求证：CE＝AF；
证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝∠EDC＝90°，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△ACE为等腰三角形，∴AC＝CE.
又∵点F是点C关于AE的对称点，∴AF＝AC，
∴CE＝AF.
(2)若CD＝1，AD＝ ，且∠B＝20°，求∠BAF的度数．
解：在Rt△ACD中，CD＝1，AD＝ ，
根据勾股定理得AC＝ ＝2，∴CD＝ AC，
∴∠DAC＝30°.
易知∠DAF＝∠DAC＝30°.
在Rt△ABD中，∠B＝20°，
∴∠BAF＝90°－∠B－∠DAF＝40°.
19．(12分)如图①，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB＝AC，让同学们进行探究．
(1)探究一：如图②，小明以BC为边在△ABC内部作等边三角形BDC，连接AD，则∠ADB的度数为___________________；
150°
(2)探究二：如图③，小彬在(1)的条件下，又以AB为边作等边三角形ABE，连接CE.判断CE与AD的数量关系，并说明理由；
解：CE＝AD.
理由：∵△BDC，△ABE都是等边三角形，
∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝BC.
∴∠ABE－∠DBE＝∠DBC－∠DBE，∴∠ABD＝∠EBC.
在△ABD和△EBC中，
∴△ABD≌△EBC.∴AD＝CE.
(3)探究三：如图③，小聪在(2)的条件下，连接DE.若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE的长．
解：∵△ABD≌△EBC，
∴∠BDA＝∠ECB＝150°.
∵△BCD是等边三角形，
∴DC＝BD，∠BDC＝∠BCD＝60°，
∴∠DCE＝90°.(共19张PPT)
期末提分练案
第2讲 全等三角形的性质和判定
第2课时 方法训练
构造全等三角形的常用方法
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【点拨】由三角形的角平分线可得两个角相等，
若把角平分线看成一条公共边，在角的两边上再截取相等的线段，或在角平分线上找一点向两边分别找(作)等角，则可以依据“SAS”或“ASA”构造全等三角形．本题实际上用到了翻折法，相当于把△ABD沿BE翻折到△FBD.
证明：如图，延长AD交BC于点F.因为AD⊥BE，
所以∠ADB＝∠FDB＝90°.因为BE是∠ABF的平分线，所以∠ABD＝∠FBD.
【点拨】本题利用补形法构造出△CBG，
△BGF说明全等后，通过∠G来寻找∠ADC
与∠BDF的相等关系．
证明：如图，过点B作BG⊥BC，BG交CF的延长线于点G，则∠CBG＝90°.
因为∠ACB＝90°，所以∠2＋∠ACF＝90°.
因为CE⊥AD，所以∠AEC＝90°.
所以∠1＋∠ACF＝90°.所以∠1＝∠2.
【点拨】本题运用了倍长中线法，借助点D是BC的中点，延长AD至点M，使DM＝AD，连接BM，构造△MDB和△ADC全等．利用全等三角形的性质对线段和角进行等量代换，再结合相关知识解决问题．
【点拨】本题运用了截长法或补短法，
AB比AC长，在AB上截取AN＝AC，构造△APN，通过全等说明；或者延长AC补成AM＝AB，构造△AMP，同样通过全等说明．
【点拨】本题中没有全等三角形，通过作垂线构造三角形，说明三角形全等，问题得解．
解：PC＝PD.理由如下：
如图，过点P分别作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，F.因为OM平分∠AOB，所以PE＝PF.
因为∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
所以∠EPF＝90°，即∠EPC＋∠CPF＝90°.
又因为∠CPD＝90°，所以∠CPF＋∠FPD＝90°.
所以∠EPC＝∠FPD.
【点拨】本题中没有全等三角形，由角平分线想到作平行线，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质进行线段的等量代换，问题得解．
如图，过点P作PD∥BQ交CQ于点D，则∠CPD＝∠CBQ＝40°.所以∠CPD＝∠C＝40°.所以PD＝CD，∠ADP＝∠CPD＋∠C＝40°＋40°＝80°.
因为∠ABC＝80°，所以∠ABC＝∠ADP.因为AP平分∠BAC，所以∠BAP＝∠CAP.(共11张PPT)
期末提分练案
第2讲 全等三角形的性质和判定
第3课时 技巧训练
用全等三角形证明常见结论的技巧
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解：由(1)得△CBE≌△CAD，所以CE＝CD.
因为AC＝BC，∠ACB＝90°，所以∠ABC＝∠BAC＝45°.因为CM∥AB，所以∠DCM＝∠ABC＝45°，
∠ECM＝∠BAC＝45°.所以∠DCM＝∠ECM.
又因为CM＝CM，所以△ECM≌△DCM.所以EM＝DM.所以BE＝AD＝AM＋MD＝AM＋EM.
【点拨】本题利用截长法，通过截取AF＝AB，为说明三角形全等创造了条件．也可以用补短法解题，请有兴趣的同学尝试一下．
证明：如图，在AE上截取AF＝AB，连接CF.
因为AC平分∠BAE，所以∠BAC＝∠CAF.又因为AC＝AC，所以△BAC≌△FAC.所以BC＝FC，∠ACB＝∠ACF.因为∠ACE＝90°，所以∠ACF＋∠FCE＝90°，
∠ACB＋∠DCE＝90°.所以∠FCE＝∠DCE.
因为C为BD的中点，所以BC＝DC.所以DC＝FC.
又因为CE＝CE，所以△FCE≌△DCE.所以DE＝FE.
所以AE＝AF＋FE＝AB＋DE.
证明：如图，延长AM至点N，使MN＝AM，
连接BN.
因为点M为BC的中点，所以BM＝CM，
又因为∠BMN＝∠CMA，所以△NBM≌△ACM.
所以BN＝AC＝AD，∠N＝∠MAC.
因为AD⊥AC，AB⊥AE，所以∠EAB＝∠DAC＝90°，
所以∠EAD＋∠BAC＝∠EAD＋∠BAN＋∠MAC＝180°.因为∠BAN＋∠N＋∠ABN＝180°，
所以∠EAD＝∠ABN.又因为AE＝AB，DA＝NB，
所以△AED≌△BAN(SAS)．所以DE＝AN＝2AM.(共20张PPT)
期末提分练案
第1讲 分式和分式方程
第2课时 技巧训练
分式运算中的常用技巧
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期末提分练案
第5讲 轴对称和中心对称
第3课时 归类训练
图形变换的四种作图
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解：如图，△A1B1C1即为所求．
解：如图，△DEC即为所作，连接AD.
解：如图，△A′B′C′即为所作．
解：如图，△A1B1C1即为所作．
如图，△A2B2C2即为所作．
解：△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线CC′和直线A1A2.
解：如图所示，中点D，
△AED即为所求．
解：由题意可知AE＝BC＝6，
∴6－4＜EC＜4＋6，∴2＜EC＜10，
∵EC＝2CD，
∴1＜CD＜5.
解：将△A1B1C1先向上平移4个单位，再向右平移3个单位后绕点C1顺时针旋转90度即可得到△A2B2C2.(答案不唯一)
解：把△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90度即可得到与△A2B2C2成中心对称的图形．
如图，△A3B3C1即为所作，对称中心为P.
(答案不唯一)
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XX(共25张PPT)
期末提分练案
第2讲 全等三角形的性质和判定
第1课时 考点梳理与达标训练
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∠D＝∠B(答案不唯一)
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∠D＝∠B
(答案不唯一)
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解：先将△ABE沿DC方向平移，使点B与点C重合，再将平移后的△ABE沿过点C且垂直于DC的直线翻折，即可使△ABE与△ACD重合．(方法不唯一)
解：∠BAD＝∠CAE.
理由：因为△ABE≌△ACD，
所以∠BAE＝∠CAD.
因为∠BAE＝∠BAD＋∠DAE，∠CAD＝∠CAE＋∠DAE，
所以∠BAD＝∠CAE.
解：相等．
理由：因为△ABE≌△ACD，
所以BE＝CD.
所以BE－DE＝CD－DE，
即BD＝CE.
BD＝DC(或点D是线段BC的中点或ED
＝FD或CF＝BE)
证明：以BD＝DC为例进行证明．
因为CF∥BE，
所以∠EBD＝∠FCD.
又因为BD＝DC，∠EDB＝∠FDC，
所以△BDE≌△CDF.
解：因为△ABE≌△DCE，
所以AB＝CD.
因为AB＝5，
所以CD＝5.
(共25张PPT)
期末提分练案
第3讲 实 数
第1课时 考点梳理与达标训练
1
2
3
4
6
7
8
9
B
D
D
A
D
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5
B
10
D
B
5
提示：点击 进入习题
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11
55 555 555
12
13
见习题
14
见习题
15
16
见习题
17
见习题
见习题
D
B
D
D
B
B
A
D
5
55 555 555
解：∵2m－1的平方根是±3，5n＋32的立方根是－2，
∴2m－1＝9，5n＋32＝－8，
解得m＝5，n＝－8.
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橙
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期末提分练案
第3讲 实 数
第3课时 易错训练
平方根、立方根中常见易错点
1
2
3
4
6
7
8
A
m＝441或m＝49.
B
C
x＝0或x＝1或x＝2.
提示：点击 进入习题
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5
①③
x＝4或x＝0.
B
【点拨】求一个正数的平方根时，不要漏掉负的平方根，这一点容易被忽视．
解：移项，得(2x－4)2＝16.
两边开平方，得2x－4＝4或2x－4＝－4.
解得x＝4或x＝0.
A
解：因为2a－15和a＋3都是正实数m的平方根，
所以2a－15和a＋3可能相等，也可能互为相反数．
若2a－15＝a＋3，解得a＝18.所以a＋3＝21.
所以m＝212＝441；若2a－15＝－(a＋3)，解得a＝4.
所以a＋3＝7.所以m＝49.故m＝441或m＝49.
B
①③
【答案】B
C
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期末提分练案
第4讲 二次根式
第1课时 考点梳理与达标训练
1
2
3
4
6
7
8
9
B
D
B
D
B
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5
C
10
B
A
x≥3
－1；－2
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11
5
12
13
见习题
14
15
16
见习题
见习题
B
B
D
B
C
A
D
B
x≥3
－1
－2
5
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期末提分练案
第5讲 轴对称和中心对称
第2课时 题型训练
线段垂直平分线应用的常见类型
1
2
3
4
75°.
见习题
见习题
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5
见习题
12 cm.
解：∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴BD＝AD，AE＝CE.∵△ADE的周长为12 cm，
∴AD＋AE＋DE＝12 cm.∴BD＋DE＋CE＝12 cm，
即BC＝12 cm.
解：∵∠1∶∠2＝2∶5，∴设∠1＝2x，则∠2＝5x.∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD.
∴∠B＝∠2＝5x.∴∠ADC＝∠2＋∠B＝10x.
在Rt△ADC中，2x＋10x＝90°，解得x＝7.5°，
∴∠ADC＝10x＝75°.
证明：如图，连接AC，
∵CE垂直平分AD于E，∴CD＝AC，
∵CF垂直平分AB于F，∴AC＝BC，
∴CD＝CB.
证明：如图，过点D作DG⊥CA，DG交CA的延长线于点G，连接DC，DB.∵AD是△ABC的外角平分线，DE⊥AB，DG⊥AG，∴DG＝DE.∵DF垂直平分BC，
∴DC＝DB.∴Rt△CDG≌Rt△BDE.∴CG＝BE.
∵AD＝AD，DG＝DE，∴Rt△ADG≌Rt△ADE.∴AG＝AE.∴CG＝AG＋AC＝AE＋AC.∴BE＝AE＋AC.
∴BE－AC＝AE.(共14张PPT)
期末提分练案
第3讲 实 数
第2课时 拓展训练
估算的常见题型
1
2
3
4
6
7
8
9
C
B
A
A
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答案显示
5
A
10
A
A
见习题
见习题
A
C
B
A
A
A
A
n
解：由题意，拼成的正方形大台布的面积为2 m2，设它的边长为x m，则x2＝2.
因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，
所以1.412＜x2＜1.422，即1.41＜x＜1.42.
因为新桌子的边长为1.3 m，x＞1.3，
所以这块大台布能盖住现在的新桌子．
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一、选择题(1～10小题各3分，11～16小题各2分，共42分)
1.4的算术平方根是( )
A．± B. C．±2 D．2
2．下列分式的值不可能为0的是( )
A. B. C. D.
3．如图，若△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是( )
A．∠2＝∠1 B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠D D．BC＝DC
(第3题) (第5题)
4．小亮用天平称得一个鸡蛋的质量为50.47 g，用四舍五入法将50.47精确到0.1为( )
A．50 B．50.0
C．50.4 D．50.5
5．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，添加下列一个条件后仍无法确定△ABC≌△ADE的是( )
A．∠C＝∠E B．BC＝DE
C．AB＝AD D．∠B＝∠D
6．如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则AD的长为( )
A．5.5 B．4 C．4.5 D．3
(第6题) (第8题)
7．化简＋的结果是( )
A．x＋1 B. C．x－1 D.
8．如图，数轴上有A，B，C，D四点，根据图中各点的位置，所表示的数与5－最接近的点是( )
A．A B．B C．C D．D
9．某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同．若设乙工人每小时搬运x件电子产品，则可列方程为( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
10．如图，这是一个数值转换器，当输入的x为－512时，输出的y是( )
(第10题)
A．－ B. C．－2 D．2
11．如图，从①BC＝EC；②AC＝DC；③AB＝DE；④∠ACD＝∠BCE中任取三个为条件，余下一个为结论，则可以构成的正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(第11题) (第12题)
12．如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
13．若△÷＝，则“△”是( )
A. B. C. D.
14．以下命题的逆命题为真命题的是( )
A．对顶角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．若a＝b，则a2＝b2
D．若a＞0，b＞0，则a2＋b2＞0
15.÷的值可以是下列选项中的( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
16．定义：对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[1]＝1，[－1.2]＝－2.对65进行如下运算：①[]＝8；②[]＝2；③[]＝1，这样对65运算3次后的结果就为1.像这样，一个正整数总可以经过若干次运算后使结果为1.要使255经过运算后的结果为1，则需要运算的次数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(17小题3分，18，19小题每空2分，共11分)
17．如图，要测量河两岸相对的两点A，B间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A，C，E在同一条直线上，可以证明△ABC≌△EDC，从而得到AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是____________．
(第17题)
18．已知：≈2.683，则≈______，≈__________．
19．一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用的时间与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相同，如果设江水的流速为x km/h，根据题意可列方程为________________，江水的流速为________km/h.
三、解答题(20小题8分，21～23小题各9分，24，25小题各10分，26小题12分，共67分)
20．解分式方程．
(1)＝2－；
(2)－＝.
21．已知(3x＋2y－14)2＋＝0.求：
(1)x＋y的平方根；
(2)y－x的立方根．
22．有这样一道题：“计算÷－x的值，其中x＝2 020.”甲同学把“x＝2 020”错抄成“x＝2 021”，但他的计算结果也是正确的．你说说这是怎么回事？
23．如图，AB∥CD，AB＝CD，AD，BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E，F.求证：
(1)△ABO≌△DCO；
(2)BE＝CF.
(第23题)
24．观察下列算式：
①＝＋＝16＋4＝20；
②＝＋＝40＋4＝44；
③＝＋＝72＋4＝76；
④＝＋＝112＋4＝116；….
(1)根据以上规律计算：；
(2)请你猜想(n为正整数)的结果(用含n的式子表示)．
25．下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)冰冰同学所列方程中的x表示______________________________________，
庆庆同学所列方程中的y表示_____________________________________；
(2)从两个方程中任选一个，写出它的等量关系；
(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
26．如图①，AB＝7 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，AC＝5 cm.点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t s(当点P运动至点B时停止运动，同时点Q停止运动)．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由．
(2)如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x，t的值．
(第26题)
答案
一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.B
6．D 【点拨】∵AB∥EF，
∴∠A＝∠E.
又AB＝EF，∠B＝∠F，
∴△ABC≌△EFD(ASA)．
∴AC＝DE＝7.
∴AD＝AE－DE＝10－7＝3.
7．A 8.D 9.C 10.A 11.B 12.B
13．A 【点拨】∵△÷＝，
∴△＝·＝.
14．B 15.D 16.A
二、17.ASA 18.26.83；0.026 83
19.＝；10
【点拨】根据题意可得
＝，解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
所以江水的流速为10 km/h.
三、20.解：(1)去分母，得3＝2(x－2)－x.
去括号，得3＝2x－4－x.
移项、合并同类项，得x＝7.
经检验，x＝7是原方程的解．
(2)去分母，得2(1－2x)－3(1＋2x)＝－6.
去括号，得2－4x－3－6x＝－6，
移项、合并同类项，得－10x＝－5.
解得x＝.
经检验，x＝是原方程的增根，
∴原分式方程无解．
21．解：∵(3x＋2y－14)2＋＝0，(3x＋2y－14)2≥0，≥0，
∴3x＋2y－14＝0，2x＋3y－6＝0.
解得
(1)x＋y＝6＋(－2)＝4，
∴x＋y的平方根为±＝±2.
(2)y－x＝－8，∴y－x的立方根为＝－2.
22．解：∵÷－x＝·－x＝x－x＝0，
∴该式的结果与x的值无关，
∴把x的值抄错，计算的结果也是正确的．
23．证明：(1)∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠ABO＝∠DCO.
在△ABO和△DCO中，
∴△ABO≌△DCO(ASA)．
(2)∵△ABO≌△DCO，
∴BO＝CO.
∵BE∥CF，
∴∠OBE＝∠OCF，∠OEB＝∠OFC.
在△OBE和△OCF中，
∴△OBE≌△OCF(AAS)，
∴BE＝CF.
24．解：(1)
＝＋
＝4 076 352＋4＝4 076 356.
(2)
＝2n(2n＋6)＋4
＝4n2＋12n＋4.
25．解：(1)小红步行的速度；小红步行的时间
(2)冰冰用的等量关系：小红乘公共汽车的时间＋小红步行的时间＝小红上学路上的时间．
庆庆用的等量关系：公共汽车的速度＝9×小红步行的速度．
(上述等量关系，任选一个就可以)
(3)选冰冰的方程：＋＝1，
去分母，得36＋18＝9x，
解得x＝6，
经检验，x＝6是原分式方程的解．
答：小红步行的速度是6 km/h；
选庆庆的方程：＝9×，
去分母，得36y＝18(1－y)，
解得y＝，
经检验，y＝是原分式方程的解，
∴小红步行的速度是2÷＝6(km/h)．
答：小红步行的速度是6 km/h.
(对应(2)中所选方程解答问题即可)
26．解：(1)△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ.
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°.
由题意知AP＝BQ＝2 cm，∵AB＝7 cm，
∴BP＝5 cm，
∴BP＝AC.
在△ACP和△BPQ中，
∵
∴△ACP≌△BPQ.
∴∠C＝∠BPQ.
易知∠C＋∠APC＝90°，
∴∠APC＋∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ.
(2)由题意可知AP＝2t cm，BP＝(7－2t)cm，BQ＝xt cm.
①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
∴5＝7－2t，2t＝xt，
解得x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
∴5＝xt，2t＝7－2t，
解得x＝，t＝.
综上，当△ACP与△BPQ全等时，x＝2，t＝1或x＝，t＝.
12(共32张PPT)
专题一 分式和分式方程
期末复习专题练
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
B
C
D
5
B
A
6
7
8
9
D
A
A
10
D
B
11
12
13
14
答案显示
15
见习题
－5
2
16
17
18
19
见习题
见习题
见习题
见习题
20
见习题
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
B
2．下列分式，对于任意的x值总有意义的是( )
B
3．下列变形正确的是( )
C
4．下列分式运算正确的是( )
D
A．4 B．1
C．0 D．2
A
①方程两边同乘最简公分母x－3；
②得整式方程x－1＝2(x－3)＋2；
③解得x＝3；
④故原分式方程的解为x＝3.
其中有误的一步为( )
A．① B．② C．③ D．④
D
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
方程两边都乘x－1，得2m－1－7x＝5(x－1)，
整理得12x＝4＋2m，
∵原方程有增根，∴最简公分母x－1＝0，
解得x＝1，将x＝1代入12x＝4＋2m，得12＝4＋2m，
解得m＝4.
8．【2020·辽宁本溪】随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3 000件提高到4 200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为( )
D
A
10．【2020·河北邯郸永年区期末改编】某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10 kg，甲型机器人搬运800 kg所用时间与乙型机器人搬运600 kg所用时间相等．则乙型机器人每小时搬运产品( )
A．20 kg B．30 kg
C．40 kg D．50 kg
B
11．已知a＝2b≠0，则 的值是________．
12．若关于x的分式方程 无解，则m的值为________．
－5
2
14．给定一列分式： …(其中x≠0，y≠0)，用任意一个分式去除它后面一个分式得到的结果是________；根据你发现的规律，试写出第6个分式是________．
15．(8分)计算：
解：去分母得x2＋2x－8＝x2－4，
解得x＝2，
经检验x＝2是原分式方程的增根，故原分式方程无解．
17．(6分)先化简： ，再从－1≤x＜3的范围内选取一个整数作为x的值代入求值．
(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律；
(x－4)－(x－3)＝x－3，
x－4－x＋3＝x－3，
x＝2.
经检验，x＝2是原分式方程的增根．
所以原分式方程无解．
19．(12分)某超市用3 000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，该超市又调拨9 000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果的质量是第一次的2倍还多300千克．如果该超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
解：设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克(1＋20%)x元，
由题意，得
解得x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元．
(2)该超市销售这种干果共盈利多少元？
解： ×9＋600×9×80%－(3 000＋9 000)＝(600＋1 500－600)×9＋4 320－12 000＝5 820(元)．
答：该超市销售这种干果共盈利5 820元．
20．(14分)进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色地完成了任务，下面是记者与驻军工程指挥官的一段对话：
通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的长度．
解：设该地驻军原来每天加固x m.
根据题意得
解得x＝300.
经检验，x＝300是原分式方程的解．
答：该地驻军原来每天加固300 m.期末达标测试卷
一、选择题(1～10小题各3分，11～16小题各2分，共42分)
1．若分式的值为0，则x的值是( )
A．4或－4 B．4 C．－4 D．0
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
3．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
4．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是( )
A．1，， B．2，3， C．5，13，12 D．4，，5
5．计算－的结果是( )
A．4 B．3 C．2 D.
6．小明的练习本上有如下四道题目，其中只有一道题他做对了，这道题目是( )
A.＝ B.－＝
C.＝ D.＋＝
7．如图，在△ABC和△DEC中，AB＝DE.若添加条件后使得△ABC≌△DEC，则在下列条件中，不能添加的是( )
A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝EC，∠A＝∠D
(第7题)
(第8题)
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b.若∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A．75° B．105°
C．135° D．155°
9．如图，已知CD垂直平分AB，AC＝4 cm，BD＝3 cm，则四边形ADBC的周长为( )
A．7 cm B．12 cm C．14 cm D．16 cm
(第9题) (第10题)
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
11．若(2a＋3)2＋＝0，则＝( )
A. B．－ C．± D.
12．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为( )
A．2 B．2 C. D．3
(第12题) (第15题) (第16题)
13．当x＝－3时，m的值为，则m等于( )
A. B. C. D.
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC－AC＝2 cm，AB＝10 cm，则Rt△ABC的面积是( )
A．24 cm2 B．36 cm2 C．48 cm2 D．60 cm2
15．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP.其中( )
A．全部正确 B．仅①和③正确
C．仅①正确 D．仅①和②正确
16．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为( )
A．140° B．100°
C．50° D．40°
二、填空题(17小题3分，18，19小题每空2分，共11分)
17．如果△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是90 cm，AB＝30 cm，DF＝20 cm，那么BC的长等于________cm.
18．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝________， ∠BAC＝________．
(第18题)
19．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有a*b＝＋1.例如8*9＝＋1＝4，那么15*196＝________，m*(m*16)＝________.
三、解答题(20小题8分，21～23小题各9分，24，25小题各10分，26小题12分，共67分)
20．计算：
(1)4 ＋－＋4 ；
(2)＋(1＋)(1－)－.
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，CF交ED的延长线于点F.求证：△BDE≌△CDF.
(第21题)
22．如图，在△ABC中，AB＝BC ，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于点F.
(1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
(2)若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B.
(第22题)
23.已知a，b，c满足|a－|＋＋(c－4 )2＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)判断以a，b，c为边长能否构成三角形，若能构成三角形，此三角形是什么形状？
24．如图，现要在三角形土地ABC内建一所中心医院，使医院到A, B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这所中心医院的位置．(不必写出作法，保留作图痕迹)
(第24题)
25．某城镇在对一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2万元，付乙工程队工程款1.5万元，现有三种施工方案：(A)由甲工程队单独完成这项工程，恰好如期完工；(B)由乙工程队单独完成这项工程，比规定工期多6天；(C)由甲、乙两个工程队后，剩下的由乙工程队单独做，也正好能如期完工．小聪同学设规定工期为x天，依题意列出方程：5×＋＝1.
(1)请将(C)中被墨水污染的部分补充出来：________________________________________________________________________；
(2)你认为三种施工方案中，哪种方案既能如期完工，又能节省工程款？说明你的理由．
26．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝8 cm，D为AB的中点．
(1)如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1 s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
(2)若点Q以第(1)②题中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
(第26题)
答案
一、1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 6.B
7．D 8.B 9.C 10.C
11．A 点拨：∵(2a＋3)2＋＝0，
(2a＋3)2≥0，≥0，
∴(2a＋3)2＝0，＝0.
∴2a＋3＝0，b－2＝0.
∴a＝－，b＝2.
∴＝＝.
12．C 13.B 14.A
15．D 点拨：在Rt△APR和Rt△APS中，
∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)，
∴ AR＝AS，∠RAP＝∠SAP.
∵ AQ＝PQ，
∴∠QPA＝∠SAP，
∴∠RAP＝∠QPA，
∴QP∥AR.
而在△BRP和△QSP中，
只满足∠BRP＝∠QSP＝90°和PR＝PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BRP≌△QSP.故本题仅①和②正确．故选D.
16．B 点拨：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，此时△PMN的周长最小．连接OP，OP1，OP2，则∠OP1M＝∠OPM，∠NPO＝∠NP2O，∠P1OP2＝2∠AOB＝80°.
在△OP1P2中，
∠OP1P2＋∠OP2P1＝180°－80°＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°.
故选B.
(第16题)
二、17.40 18.25°；105° 19.15；＋1
三、20.解：(1)原式＝4 ＋3 －2 ＋4 ＝7 ＋2 .
(2)原式＝5＋1－()2－2 ＝6－3－2 ＝3－2 .
21．证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
又CF∥AB，∴∠B＝∠DCF.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF.
22．(1)解：∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°.
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°.
∴∠C＝180°－90°－25°＝65°.
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝65°.
∴∠EDF＝360°－65°－155°－90°＝50°.
(2)证明：如图，连接BF.
(第22题)
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC, ∠ABF＝∠CBF＝∠ABC.
∴∠CFD＋∠BFD＝90°.
∵FD⊥BC，
∴∠CBF＋∠BFD＝90°.
∴∠CFD＝∠CBF.
∴∠CFD＝∠ABC.
23．解：(1)∵a，b，c满足|a－|＋＋(c－4 )2＝0，
∴|a－|＝0，＝0，(c－4 )2＝0，
解得a＝，b＝5，c＝4 .
(2)∵a＝，b＝5，c＝4 ，
而＋5>4 ，
∴a＋b>c.
∴以a，b，c为边长能构成三角形．
∵a2＋b2＝()2＋52＝32＝(4 )2＝c2，
∴此三角形是直角三角形．
24.解：如图，点P即为所作．
(第24题)
25．解：(1)一起做5天
(2)(C)方案．理由：解方程5×＋＝1，
得x＝30.
经检验，x＝30是原分式方程的解．
这三种施工方案需要的工程款分别为(A)2×30＝60(万元)；
(B)1.5×(30＋6)＝54(万元)；
(C)2×5＋1.5×30＝55(万元)．
综上所述，(C)方案既能如期完工，又能节省工程款．
26．解：(1)①△BPD与△CQP全等．
理由：1 s后，BP＝CQ＝3×1＝3(cm)．
∵D为AB的中点，AB＝10 cm，
∴BD＝5 cm.
∵CP＝BC－BP＝5 cm，
∴CP＝BD.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP(SAS)．
②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ.
又∵∠B＝∠C，
∴两个三角形全等需BP＝CP＝4 cm，BD＝CQ＝5 cm.
∴点P，Q运动的时间为4÷3＝(s)．
∴点Q的运动速度为5÷＝(cm/s)．
(2)设经过x s，点Q第一次追上点P.
根据题意，得x＝10×2，
解得x＝.
∴点P共运动了3×＝80(cm)．
∵△ABC的周长为10×2＋8＝28(cm)，
而80＝28×2＋24＝28×2＋8＋10＋6，
∴经过s，点P与点Q第一次在△ABC的AB边上相遇．
1(共15张PPT)
期末提分练案
第6讲 等腰三角形及其性质
第2课时 思想训练
分类讨论思想在等腰三角形中的应用
1
2
3
4
6
C
见习题
65°或25°.
提示：点击 进入习题
答案显示
5
8 cm.
见习题
1或3.
【点拨】分类讨论思想是一种常用的、重要的解题思想，它在解决叙述过程复杂或条件不确定的问题时使用，分类的标准：不重复、不遗漏．分类一方面可将复杂问题分解成若干个简单问题来解决；另一方面，恰当的分类可以避免漏解，从而提高全面考虑问题的能力，培养周密严谨的数学素养．
解：分两种情况讨论：
(1)顶角为40°；
(2)若底角为40°，则顶角为180°－40°×2＝100°.
综上可知，这个等腰三角形的顶角度数为40°或100°.
【点拨】①4是腰长时，三角形的三边长分别为4，4，2，
能组成三角形，∴第三边长为4；②4是底边长时，三角形的三边长分别为2，2，4，∵2＋2＝4，∴不能组成三角形．综上所述，第三边长为4.故选C.
C
【点拨】由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内和在三角形外．
解：设在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D点．
(1)若高与底边的夹角为25°，则高一定在△ABC的内部，如图①所示．
∵∠DBC＝25°，
∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°.
∴∠ABC＝∠C＝65°.
∴∠A＝180°－2×65°＝50°.
(2)若高与另一腰的夹角为25°，如图②，当高在△ABC的内部时，∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，
∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；
如图③，当高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，
∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，
∴∠BAC＝180°－65°＝115°，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°.
综上，三角形各个内角的度数为65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.
解：此题分两种情况：
(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，则∠ADE＝40°，∴∠A＝50°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝(180°－50°)÷2＝65°.
(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，则∠ADE＝40°，∴∠BAC＝130°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝(180°－130°)÷2＝25°.
综上，∠B的度数为65°或25°.
解：∵BD为△ABC的AC边上的中线，
∴AD＝CD.
(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，AB－BC＝3 cm.
∵BC＝5 cm，
∴AB＝5＋3＝8(cm)．
(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，BC－AB＝3 cm.
∵BC＝5 cm，∴AB＝5－3＝2(cm)．
但是当AB＝2 cm时，三边长分别为
2 cm，2 cm，5 cm，而2＋2＜5，不合题意，应舍去．
故腰长为8 cm.
解：(1)当点F在边DA上时，如图①，作OM∥AB
交AD于M.∵△ABD为等边三角形，∴∠A＝
∠ABD＝∠D＝60°，AD＝BD＝AB＝4.∵OM∥AB，∴∠DMO＝∠A＝60°，∠DOM＝∠ABD＝60°.
∴△DOM为等边三角形，∠OMF＝∠BOM＝120°.
∴MO＝OD＝MD.
∵OD＝OB＝2，∴OM＝OB＝DM＝2.
∵∠EOF＝120°，∴∠BOE＝∠MOF.
又∵∠OBE＝180°－60°＝120°，∴∠OBE＝∠OMF.
∴△OMF≌△OBE.∴BE＝MF.
∵AF＝1，∴FM＝1.∴BE＝1.
(2)当点F在线段DA的延长线上时，如图②，作OM∥AB，OM交AD于点M，同(1)可得△OMF≌△OBE，DM＝2，AD＝4，∴BE＝FM.
∵AF＝1，∴FM＝3.∴BE＝3.
综上所述，BE的长为1或3.(共28张PPT)
期末提分练案
第1讲 分式和分式方程
第1课时 考点梳理与达标训练
1
2
3
4
6
7
8
9
B
C
D
B
A
提示：点击 进入习题
答案显示
5
A
10
B
C
提示：点击 进入习题
答案显示
11
－5
12
13
见习题
14
见习题
15
16
见习题
17
见习题
18
见习题
B
B
C
D
A
C
B
A
－5
解：方程两边同时乘3(x－3)，可得3(5x－4)＋(x－3)＝6x＋5，15x－12＋x－3＝6x＋5，15x＋x－6x＝5＋12＋3，10x＝20，x＝2.
检验：把x＝2代入3(x－3)得3×(－1)≠0，
所以x＝2是分式方程的解．
解：方程两边同时乘(x＋1)(x－1)，可得(x＋1)2－4＝x2－1，x2＋2x＋1－4＝x2－1，2x＝－1＋4－1，
2x＝2，x＝1.
检验：把x＝1代入x2－1，得1－1＝0.
所以x＝1是分式方程的增根，原方程无解．
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一、选择题(1～10小题各3分，11～16小题各2分，共42分)
1.在代数式，，，，中，分式的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若分式的值为0，则x的值是( )
A．4或－4 B．4 C．－4 D．0
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
5．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是( )
A．1，， B．2，3， C．5，13，12 D．4，，5
6．计算－的结果是( )
A．4 B．3 C．2 D.
7．小明的练习本上有如下四道题目，其中只有一道题他做对了，这道题目是( )
A.＝ B.－＝
C.＝ D.＋＝
8．如图，在△ABC和△DEC中，AB＝DE.若添加条件后使得△ABC≌△DEC，则在下列条件中，不能添加的是( )
A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝EC，∠A＝∠D
(第8题) (第9题)
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b.若∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A．75° B．105° C．135° D．155°
10．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点E、交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
(第10题) (第11题) (第12题)
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为( )
A．2 B．2 C. D．3
13．当x＝－3时，m的值为，则m等于( )
A. B. C. D.
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC－AC＝2 cm，AB＝10 cm，则Rt△ABC的面积是( )
A．24 cm2 B．36 cm2
C．48 cm2 D．60 cm2
15．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP.其中( )
A．全部正确 B．仅①和③正确
C．仅①正确 D．仅①和②正确
(第15题) (第16题)
16．如图，点P是∠AOB内一定点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为( )
A．140° B．100° C．50° D．40°
二、填空题(17，18小题各3分，19小题每空2分，共12分)
17．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝________， ∠BAC＝________．
(第17题) (第19题)
18．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有a*b＝＋1.例如8*9＝＋1＝4，那么15*196＝________，m*(m*16)＝________.
19．如图，已知线段AB＝20米，MA⊥AB于点A，MA＝6米，射线BD⊥AB于点B，P点从B点向A点运动，每秒走1米，Q点从B点向D点运动，每秒走3米，P，Q同时从B点出发，则出发x秒后，AP＝________米，BQ＝________米，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为________．
三、解答题(20小题8分，21～23小题各9分，24，25小题各10分，26小题11分，共66分)
20．(1)计算：4 ＋－＋4 ；
(2)计算：＋(1＋)(1－)－；
(3)先化简，再求值：÷ ，其中x＝－1.
21．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且BE＝CF.求证：
(1)∠DBE＝∠DCF；
(2)△ABC为等腰三角形．
(第21题)
22．如图，在△ABC中，AB＝BC ，DE⊥AB于点E，交BC于点D，DF⊥BC于点D，交AC于点F.
(1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
(2)若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B.
(第22题)
23．已知a，b，c满足|a－|＋＋(c－4 )2＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)判断以a，b，c的值为边长能否构成三角形，若能构成三角形，此三角形是什么形状？
24．某城镇在对一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2万元，付乙工程队工程款1.5万元，现有三种施工方案：(A)由甲工程队单独完成这项工程，恰好如期完工；(B)由乙工程队单独完成这项工程，比规定工期多6天；(C)由甲、乙两个工程队后，剩下的由乙工程队单独做，也正好能如期完工．小聪同学设规定工期为x天，依题意列出方程：5×＋＝1.
(1)请将(C)中被墨水污染的部分补充出来：______________________________.
(2)你认为三种施工方案中，哪种方案既能如期完工，又能节省工程款？说明你的理由．
25．如图，现要在三角形土地ABC内建一所中心医院，使医院到A, B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这所中心医院的位置．(不必写出作法，保留作图痕迹)
(第25题)
26．嘉琪剪了三张直角三角形纸片，进行了如下操作：
(1)如图①，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若AC＝6，BC＝8，求CD的长．
(2)如图②，嘉琪拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝6，BC＝8，求CD的长．
(3)如图③，嘉琪将直角三角形纸片ABC折叠，使直角顶点C落在斜边中点D的位置，EF是折痕．已知DE＝3，DF＝4，求AB的长．
(第26题)
答案
一、1.B 2.B 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B
8．D 9.B 10.B 11.C
12．C 13.B 14.A
15．D 【点拨】在Rt△APR和Rt△APS中，
∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)，
∴ AR＝AS，∠RAP＝∠SAP.
∵ AQ＝PQ，
∴∠QPA＝∠SAP，
∴∠RAP＝∠QPA，
∴QP∥AR.
而在△BRP和△QSP中，
只满足∠BRP＝∠QSP＝90°和PR＝PS，找不到第3个条件，∴无法得出△BRP≌△QSP.故本题仅①和②正确．故选D.
16．B 【点拨】如图，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，此时△PMN的周长最小．连接OP，OP1，OP2，则∠OP1M＝∠OPM，∠OPN＝∠OP2N，∠P1OP2＝2∠AOB＝80°.
在△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝180°－80°＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°.
故选B.
(第16题)
二、17.25°；105°
18．15；＋1
19. (20－x)；3x；5
三、20.解：(1)原式＝4 ＋3 －2 ＋4 ＝7 ＋2 .
(2)原式＝5＋[1－()2]－2 ＝3－2 .
(3)原式＝·＝.
当x＝－1时，原式＝＝＝1－.
21．证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴∠DBE＝∠DCF.
(2)∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB.
又∵∠EBD＝∠FCD，
∴∠DBC＋∠EBD＝∠DCB＋∠FCD，
即∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC.
∴△ABC为等腰三角形．
22．(1)解：∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°.
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°.
∴∠C＝180°－90°－25°＝65°.
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝65°.
∴∠EDF＝360°－65°－155°－90°＝50°.
(2)证明：如图，连接BF.
(第22题)
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC, ∠ABF＝∠CBF＝∠ABC.
∴∠CFD＋∠BFD＝90°.
∵FD⊥BC，
∴∠CBF＋∠BFD＝90°.
∴∠CFD＝∠CBF.
∴∠CFD＝∠ABC.
23．解：(1)∵a，b，c满足|a－|＋＋(c－4 )2＝0，
∴|a－|＝0，＝0，(c－4 )2＝0，
解得a＝，b＝5，c＝4 .
(2)∵a＝，b＝5，c＝4 ，
而＋5>4 ，
∴a＋b>c.
∴以a，b，c的值为边长能构成三角形．
∵a2＋b2＝()2＋52＝32＝(4 )2＝c2，
∴此三角形是直角三角形．
24．解：(1)一起做5天
(2)(C)方案．理由：解方程5×＋＝1，
得x＝30.
经检验，x＝30是原分式方程的解．
这三种施工方案需要的工程款分别为(A)2×30＝60(万元)；
(B)1.5×(30＋6)＝54(万元)；
(C)2×5＋1.5×30＝55(万元)．
综上所述，(C)方案既能如期完工，又能节省工程款．
25．解：如图，点P即为中心医院的位置．
(第25题)
26. 解：(1)由折叠可知，AD＝BD，
设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.
∵∠C＝90°，AC＝6，
∴62＋x2＝(8－x)2，
∴x＝，即CD＝.
(2)在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10.
由折叠可知，AE＝AC＝6，CD＝ED，∠ADE＝∠C＝90°，
∴BE＝10－6＝4.
设CD＝y，则DE＝y，BD＝8－y，
在Rt△BDE中，y2＋42＝(8－y)2，
∴y＝3，
即CD＝3.
(3)连接CD交EF于O.
∵折叠△CEF到达△DEF的位置，△CEF是直角三角形，
∴CE＝DE＝3，CF＝DF＝4，
由勾股定理得EF＝5.
由折叠易知CD⊥EF，OC＝OD＝CD.
∵S△CEF＝EC×CF＝EF×OC，
∴OC＝＝＝.
∴CD＝2OC＝.
∵CD是AB的中线，
∴AB＝2CD＝.
11(共12张PPT)
期末提分练案
第7讲 直角三角形与勾股定理
第2课时 方法训练
勾股定理判定直角的常用方法
1
2
3
4
见习题
见习题
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见习题
见习题
证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
∵D为BC的中点，∴CD＝BD.
又∵AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.
∴BE＝AC＝13.
在△ABE中，AE＝2AD＝12，∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.
又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2.
∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥AD.
解：连接DP.由题意知CD＝CP＝8，∠PCD＝60°，
∴△DCP为等边三角形．∴∠CDP＝60°，DP＝DC＝8.
易得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝6.
∴AD2＋DP2＝AP2.∴∠ADP＝90°.∴∠ADC＝150°.
∴∠BPC＝150°.
解：连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形．
∴∠CDP＝45°，易得△CPB≌△CDA，
∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝1.∴AD2＋DP2＝AD2＋(CD2＋CP2)＝9.∵AP2＝9，∴AD2＋DP2＝AP2.∴∠ADP＝90°.∴∠ADC＝135°.∴∠BPC＝135°.
证明：如图，连接CD.∵DM⊥DN，
∴∠MDC＋∠CDN＝90°.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°.
∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.
∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.(共10张PPT)
期末提分练案
第3讲 实 数
第4课时 综合训练
实数与数轴关系应用的常见题型
1
2
3
4
6
7
8
C
B
a＋2b－c.
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5
＜；＜；＜
B
见习题
B
C
＜
＜
＜
B
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专题四 轴对称和中心对称
期末复习专题练
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B
A
A
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C
A
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D
A
A
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A
C
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答案显示
15
见习题
5 cm
32
16
17
18
19
见习题
见习题
见习题
见习题
4
5
1．下列图形中，是轴对称图形的是( )
C
A B C D
2．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
B
A B C D
3．李芳同学球衣上的号码是253，当她把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是( )
A
A B C D
4．如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12 cm，BC＝10 cm，则△BCD的周长为( )
A．22 cm B．16 cm
C．26 cm D．25 cm
A
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，若BC＝20，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离为( )
A．8 B．12
C．4 D．20
A
6．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点(A，P，A′不共线)，下列结论中错误的是( )
A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA′，CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等
D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
D
7．如图所示的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
A
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，若AC＝3 cm，则AD＋DE为( )
A．3 cm B．4 cm
C．2 cm D．无法确定
A
9．如图，D是线段AB，BC的垂直平分线的交点，若∠ABC＝50°，则∠ADC的大小是( )
A．100° B．115°
C．130° D．150°
【答案】A
【点拨】连接BD，AC，根据线段的垂直平分线的性质可得AD＝BD，BD＝CD，∴AD＝CD.∴∠ABD＝∠BAD，∠CBD＝∠DCB，∴∠BAD＋∠DCB＝∠ABD＋∠CBD＝∠ABC＝50°.
∴∠DAC＋∠DCA＝180°－(∠BAD＋∠BCD)－∠ABC＝180°－50°－50°＝80°，
∴∠ADC＝180°－(∠DAC＋∠DCA)＝180°－80°＝100°.
10．如图，A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
C
11．如下图形：①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤锐角；⑥平行四边形．其中绕某个点旋转180°后能与自身重合的有________个．
4
12．如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB所在直线的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N.若P1P2＝5 cm，则△PMN的周长为_______________．
5 cm
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝16，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则△ABD的面积为________．
32
14．如图，已知△ABC的周长是10，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是________．
【点拨】连接OA，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H.
∵△ABC的周长是10，
∴AB＋BC＋AC＝10.
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OG⊥AB，OH⊥AC，
∴OG＝OH＝OD＝1，
∴△ABC的面积＝△ABO的面积＋△OBC的面积＋△AOC的面积＝ ·AB·OG＋ ·BC·OD＋ ·AC·OH
＝ ×1×10
＝5.
【答案】5
15．(8分)(1)如图①，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂上阴影，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂阴影的小正方形的序号可以为________．
①④
(2)如图②，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O都是格点．作△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1.
解：如图，△A1B1C1即为所求作．
解：如图．
16.(10分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°.
(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
解：如图，设AB的垂直平分线交AB于点F.
∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°.
∵∠C＝40°，∴∠BAC＝180°－30°－40°＝110°，
∴∠CAD＝110°－30°＝80°.
∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝ ∠CAD＝40°.
17．(10分)如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
(1)直接写出∠BAC的度数；
解：∠BAC＝100°.
(2)求∠DAF的度数；
解：∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，
∴∠DAF＝∠BAC－∠DAB－∠FAC＝20°.
(3)若BC的长为30，求△DAF的周长．
解：△DAF的周长＝DA＋DF＋FA＝DB＋DF＋FC＝BC＝30.
18．(10分)如图，下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
(1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．
(3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．(请将三个小题依次作答在图①、图②、图③中，均只需画出符合要求的一种情形)
解：(1)如图①所示．(答案不唯一)
(2)如图②所示．(答案不唯一)
(3)如图③所示．(答案不唯一)
19．(12分)如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，且∠AEF＝50°，连接DE.
(1)求∠CAD的度数；
解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°－50°＝40°.
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°－∠BAD－∠FAE＝180°－100°－40°＝40°.
证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG.
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，
∴EG＝EH.
∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC.
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
