2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.1锐角三角函数 同步达标训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.1锐角三角函数 同步达标训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 309.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-17 08:41:25 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.1锐角三角函数》同步达标训练（附答案）
1．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．已知△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则（ ）
A．sinA＜sinB B．sinB＜sinC C．sinA＜sinC D．sinC＜sinA
4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知AB＝3，BC＝4，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，sin∠ABC＝．则AB＝（ ）
A．20 B．30 C．40 D．60
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．下列四个选项，不正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
8．如图，在4×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
9．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在Rt△ABC中，如果三边长度都扩大2倍，则锐角A的余切值（ ）
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．不能确定
11．已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形或钝角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
12．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为 ．
13．在将Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C：∠B＝1：2，则sinB＝ ．
14．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为 ．
15．已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝ ．
17．已知sinα＝2m﹣3，且α为锐角，则m的取值范围 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BE＝EF＝FC，则∠EAF的余弦值为 ．
19．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，求t的值．
20．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．
21．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．
（1）请直接写出AF的长；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．
22．把含30°角的三角板ABC，绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE位置（如图所示），求sin∠ADE的值．
23．已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值．
参考答案
1．解：如图：
∵AC＝2，BC＝3，
∴tanB＝＝，
故选：A．
2．解：∵sinA＝＝，
设BC＝4x，AB＝5x，
∴AC＝3x，
∴3x＝6，
解得x＝2，
∴AB＝10．
故选：C．
3．解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sinB＜sinC．
故选：B．
4．解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴tanA＝＝．
故选：C．
5．解：如图：
∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4，
∴BC＝＝＝1，
∴cosB＝＝，
故选：C．
6．解：∵∠C＝90°，
∴sin∠ABC＝＝．
∵AC＝40，
∴＝，
∴AB＝60，
故选：D．
7．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝6，
∴sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．
故不正确的是选项A．
故选：A．
8．解：∵每格小正方形的边长都是1，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
则AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠ACB＝＝2，
故选：C．
9．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
10．解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，
则锐角A的余切值不变，
故选：C．
11．解：由2x2﹣3x+1＝0得：（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x＝或x＝1．
∴sinα＞0，tanβ＞0
若sinα＝，tanβ＝1，则α＝30°，β＝45°，γ＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴△ABC为钝角三角形．
若sinα＝1，tanβ＝，则α＝90°，β＜90°，△ABC为直角三角形．
故选：B．
12．解：∵点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，
∴tanα＝＝．
解得t＝3．
故答案为：3．
13．解：∵∠A＝90°，
∴∠C+∠B＝90°，又∠C：∠B＝1：2，
∴∠B＝60°，
∴sinB＝，
故答案为：．
14．解：作AD⊥BC于D，
由勾股定理得，AC＝，AB＝3，BC＝4，
△ABC的面积为：×AB×CE＝6，
∴×CB×AD＝6，
解得AD＝，
CD＝＝，
tan∠ACB＝＝．
故答案为：．
15．解：（1）当直角三角形的斜边等于一条直角边的长度的2倍时，
设直角三角形的斜边等于2，
则一条直角边的长度等于1，
∴另一条直角边的长度是：，
∴这个直角三角形中较小锐角的正切值为：
1÷．
（2）当直角三角形的一条直角边的长度等于另一条直角边的长度的2倍时，
设一条直角边的长度等于1，
则一条直角边的长度等于2，
∴这个直角三角形中较小锐角的正切值为：
1÷2＝．
故答案为：．
16．解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE＝，
∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝．
故答案为：．
17．解：∵α为锐角，
∴1＞sinα＞0，
则1＞2m﹣3＞0，
变形为：．
解得2＞m＞．
18．解：设AB＝k，则BE＝EF＝FC＝k，即BF＝2k，BC＝3k，由勾股定理得，
AF＝＝k，AE＝＝k，AC＝＝k，
∵＝＝＝，∠AEF＝∠CEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴∠EAF＝∠ECA，
在Rt△ABC中，
cos∠ACB＝＝＝＝cos∠EAF，
故答案为：．
19．解：过A作AB⊥x轴于B．
∴，
∵，
∴，
∵A（t，4），
∴AB＝4，
∴OA＝6，
∴．
20．解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，
∴EC＝＝5x，
EM＝＝x，
CM＝＝2x，
∴EM2+CM2＝CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM＝＝．
21．解：（1）AF＝；
（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：
①当AK＝FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN＝NF＝AF＝2cm．
在直角△NFK中，∠KNF＝90°，∠F＝30°，
∴KN＝NF tan∠F＝2cm．
∴△AFK的面积＝×AF×KN＝；
②当AF＝FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．
在直角△PFK中，∠KPF＝90°，∠F＝30°，
∴KP＝KF＝2cm．
∴△AFK的面积＝×AF×KP＝12cm2．
22．解：过点E作EF⊥AD，且交AD于点F；
设BD＝x，则AB＝x，BE＝x，AD＝x；
DE＝＝＝x，
在Rt△AEF中，AE＝x﹣x＝x；
易得EF＝ AE＝x；
则AF＝EF＝x，
在Rt△DEF中，
根据三角函数的定义可得：sin∠ADE＝＝；
答：sin∠ADE的值为．
23．解：
过D作DE⊥AB于E，
设BC＝2a，则AC＝2a，AD＝CD＝a，
由勾股定理得：BD＝＝a，
由勾股定理得：AB＝＝2a，
∵∠A＝∠B＝45°，∠DEA＝90°，
∴AE＝DE＝AD×cosA＝×a＝a，
∵在Rt△BED中，由勾股定理得：BE＝＝a，
∴sin∠ABD＝＝＝，
tan∠ABD＝＝＝．
1．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．已知△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则（ ）
A．sinA＜sinB B．sinB＜sinC C．sinA＜sinC D．sinC＜sinA
4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知AB＝3，BC＝4，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，sin∠ABC＝．则AB＝（ ）
A．20 B．30 C．40 D．60
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．下列四个选项，不正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
8．如图，在4×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
9．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在Rt△ABC中，如果三边长度都扩大2倍，则锐角A的余切值（ ）
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．不能确定
11．已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形或钝角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
12．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为 ．
13．在将Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C：∠B＝1：2，则sinB＝ ．
14．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为 ．
15．已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝ ．
17．已知sinα＝2m﹣3，且α为锐角，则m的取值范围 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BE＝EF＝FC，则∠EAF的余弦值为 ．
19．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，求t的值．
20．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．
21．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．
（1）请直接写出AF的长；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．
22．把含30°角的三角板ABC，绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE位置（如图所示），求sin∠ADE的值．
23．已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值．
参考答案
1．解：如图：
∵AC＝2，BC＝3，
∴tanB＝＝，
故选：A．
2．解：∵sinA＝＝，
设BC＝4x，AB＝5x，
∴AC＝3x，
∴3x＝6，
解得x＝2，
∴AB＝10．
故选：C．
3．解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sinB＜sinC．
故选：B．
4．解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴tanA＝＝．
故选：C．
5．解：如图：
∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4，
∴BC＝＝＝1，
∴cosB＝＝，
故选：C．
6．解：∵∠C＝90°，
∴sin∠ABC＝＝．
∵AC＝40，
∴＝，
∴AB＝60，
故选：D．
7．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝6，
∴sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．
故不正确的是选项A．
故选：A．
8．解：∵每格小正方形的边长都是1，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
则AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠ACB＝＝2，
故选：C．
9．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
10．解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，
则锐角A的余切值不变，
故选：C．
11．解：由2x2﹣3x+1＝0得：（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x＝或x＝1．
∴sinα＞0，tanβ＞0
若sinα＝，tanβ＝1，则α＝30°，β＝45°，γ＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴△ABC为钝角三角形．
若sinα＝1，tanβ＝，则α＝90°，β＜90°，△ABC为直角三角形．
故选：B．
12．解：∵点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，
∴tanα＝＝．
解得t＝3．
故答案为：3．
13．解：∵∠A＝90°，
∴∠C+∠B＝90°，又∠C：∠B＝1：2，
∴∠B＝60°，
∴sinB＝，
故答案为：．
14．解：作AD⊥BC于D，
由勾股定理得，AC＝，AB＝3，BC＝4，
△ABC的面积为：×AB×CE＝6，
∴×CB×AD＝6，
解得AD＝，
CD＝＝，
tan∠ACB＝＝．
故答案为：．
15．解：（1）当直角三角形的斜边等于一条直角边的长度的2倍时，
设直角三角形的斜边等于2，
则一条直角边的长度等于1，
∴另一条直角边的长度是：，
∴这个直角三角形中较小锐角的正切值为：
1÷．
（2）当直角三角形的一条直角边的长度等于另一条直角边的长度的2倍时，
设一条直角边的长度等于1，
则一条直角边的长度等于2，
∴这个直角三角形中较小锐角的正切值为：
1÷2＝．
故答案为：．
16．解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE＝，
∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝．
故答案为：．
17．解：∵α为锐角，
∴1＞sinα＞0，
则1＞2m﹣3＞0，
变形为：．
解得2＞m＞．
18．解：设AB＝k，则BE＝EF＝FC＝k，即BF＝2k，BC＝3k，由勾股定理得，
AF＝＝k，AE＝＝k，AC＝＝k，
∵＝＝＝，∠AEF＝∠CEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴∠EAF＝∠ECA，
在Rt△ABC中，
cos∠ACB＝＝＝＝cos∠EAF，
故答案为：．
19．解：过A作AB⊥x轴于B．
∴，
∵，
∴，
∵A（t，4），
∴AB＝4，
∴OA＝6，
∴．
20．解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，
∴EC＝＝5x，
EM＝＝x，
CM＝＝2x，
∴EM2+CM2＝CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM＝＝．
21．解：（1）AF＝；
（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：
①当AK＝FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN＝NF＝AF＝2cm．
在直角△NFK中，∠KNF＝90°，∠F＝30°，
∴KN＝NF tan∠F＝2cm．
∴△AFK的面积＝×AF×KN＝；
②当AF＝FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．
在直角△PFK中，∠KPF＝90°，∠F＝30°，
∴KP＝KF＝2cm．
∴△AFK的面积＝×AF×KP＝12cm2．
22．解：过点E作EF⊥AD，且交AD于点F；
设BD＝x，则AB＝x，BE＝x，AD＝x；
DE＝＝＝x，
在Rt△AEF中，AE＝x﹣x＝x；
易得EF＝ AE＝x；
则AF＝EF＝x，
在Rt△DEF中，
根据三角函数的定义可得：sin∠ADE＝＝；
答：sin∠ADE的值为．
23．解：
过D作DE⊥AB于E，
设BC＝2a，则AC＝2a，AD＝CD＝a，
由勾股定理得：BD＝＝a，
由勾股定理得：AB＝＝2a，
∵∠A＝∠B＝45°，∠DEA＝90°，
∴AE＝DE＝AD×cosA＝×a＝a，
∵在Rt△BED中，由勾股定理得：BE＝＝a，
∴sin∠ABD＝＝＝，
tan∠ABD＝＝＝．