2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形 同步达标训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形 同步达标训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 328.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-17 08:41:30 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步达标训练（附答案）
1．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
2．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
5．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝（ ）
A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°
8．如图，四边形ABCD中∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2，则对角线AC的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，cosA＝，tanA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
11．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为 ．
12．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝ ．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，BC＝4，那么AB＝ ．
14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD都交于O，则sin∠AOD＝ ．
15．如图，在2×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点A，B，C在格点上，连接AB，BC，则tan∠ABC＝ ．
16．如图，△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2．求BC的长．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长．
18．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝．求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
19．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°．
①求BD和AD的长；
②求tanC的值．
20．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．
21．阅读下列材料：
如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB＝
∴AD＝c sinB
∴S△ABC＝a AD＝acsinB
同理：S△ABC＝absinC
S△ABC＝bcsinA
∴S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA
（1）通过上述材料证明：＝＝
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
参考答案
1．解：∵cos∠B＝，
∴∠B＝45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图1，
∵AB＝12，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝12，
∵AC＝13，
∴由勾股定理得CD＝5，
∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；
当△ABC为锐角三角形时，如图2，
BC＝BD+CD＝12+5＝17，
故选：D．
2．解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．
则OC＝2，BC＝1，
则tanα＝＝．
故选：C．
3．解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5．
∴sin∠BAC＝＝．
故选：D．
4．解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD＝AD，
∴CD+BD＝8，
∵cos∠BDC＝＝，
∴＝，
解得：CD＝3，BD＝5，
∴BC＝4．
故选：A．
5．解：A、∵1+2＝3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12＝（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是＝，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°＝3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
故选：D．
7．解：∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，
又∵tanB＝，
∴AC＝BC tanB＝3tan50°．
故选：D．
8．解：延长DC交AB的延长线于点K；
在Rt△ADK中，∠DAK＝60°∠AKD＝30°，BC＝1，∴，
∴DK＝CD+CK＝4，
∴AD＝＝，
在△Rt△ADC中，
AC＝＝，
故选：C．
9．解：如图所示：连接BD，
BD＝＝，
AD＝＝2，
AB＝＝，
∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，
∴△ADB为直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
则tanA＝＝＝．
故选：A．
10．解：∵∠C＝90°，AB＝10，
∴sinA＝，
∴BC＝AB×＝10×＝6．
故选：A．
11．解：如图1：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；
如图2：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠CBP＝60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP＝BC＝6；
如图3：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，
∴PC＝PB，
∵BC＝6，
∴AB＝3，
∴PC＝PB＝＝＝2；
如图4：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°+30°＝90°，
∴PC＝BC÷cos30°＝4．
故答案为：6或2或4．
12．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝＝＝10，
∴cos∠ADC＝＝．
故答案为：．
13．解：∵在Rt△ABC中，sinA＝＝，且BC＝4，
∴AB＝＝＝6，
故答案为：6．
14．解：由网格可得：△AEB是Rt△，AE＝2，AB＝，
DC∥BE，且∠AOD＝∠ABE，
故sin∠AOD＝sin∠ABE＝＝＝．
故答案为：．
15．解：连接AD，
由勾股定理得：AD＝＝，AB＝＝2，BD＝＝，
∵（）2+（2）2＝（）2，即AD2+AB2＝BD2，
∴△ABD为∠BAD是直角的直角三角形，
∴tan∠ABC＝＝＝，
故答案为：
16．解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝AC＝．
∵在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，tanB＝＝，
∴BD＝2，
∴BC＝＝＝．
17．解：在Rt△CDE中，sinC＝，
∴CE＝＝12；
在Rt△ABC中，tanC＝，
∴BC＝＝8．
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣12，
∴BE的长为8﹣12．
18．解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC＝，
∴∠C＝45°，
在Rt△ACE中，CE＝AC cosC＝1，
∴AE＝CE＝1，
在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，
∴BE＝3AE＝3，
∴BC＝BE+CE＝4；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BC＝2，
∴DE＝CD﹣CE＝1，
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴∠ADC＝45°，
∴sin∠ADC＝．
19．解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝BD＝3；
（2）CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
在Rt△BCD中，tan∠C＝＝＝．
20．解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，
∴BC＝AC＝12
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin45°＝12×＝12
CM＝BM＝12，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝BM÷tan60°＝4，
∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．
21．解：（1）∵absinC＝acsinB，
∴bsinC＝csinB，
∴＝，
：同理得：＝，
∴＝＝；
（2）由题意得：∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，
∴，即，
∴，
∴AC≈40×0.3＝12；
（3）由题意得：∠ABC＝90°﹣75°＝15°，∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
∠A＝180°﹣15°﹣45°＝120°，
由＝＝得：＝，
∴AC≈6，
∴S△ABC＝AC×BC×sin∠ACB≈×6×18×0.7≈38．
1．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
2．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
5．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝（ ）
A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°
8．如图，四边形ABCD中∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2，则对角线AC的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，cosA＝，tanA＝，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
11．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为 ．
12．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝ ．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，BC＝4，那么AB＝ ．
14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD都交于O，则sin∠AOD＝ ．
15．如图，在2×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点A，B，C在格点上，连接AB，BC，则tan∠ABC＝ ．
16．如图，△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2．求BC的长．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长．
18．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝．求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
19．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°．
①求BD和AD的长；
②求tanC的值．
20．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．
21．阅读下列材料：
如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB＝
∴AD＝c sinB
∴S△ABC＝a AD＝acsinB
同理：S△ABC＝absinC
S△ABC＝bcsinA
∴S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA
（1）通过上述材料证明：＝＝
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
参考答案
1．解：∵cos∠B＝，
∴∠B＝45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图1，
∵AB＝12，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝12，
∵AC＝13，
∴由勾股定理得CD＝5，
∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；
当△ABC为锐角三角形时，如图2，
BC＝BD+CD＝12+5＝17，
故选：D．
2．解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．
则OC＝2，BC＝1，
则tanα＝＝．
故选：C．
3．解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5．
∴sin∠BAC＝＝．
故选：D．
4．解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD＝AD，
∴CD+BD＝8，
∵cos∠BDC＝＝，
∴＝，
解得：CD＝3，BD＝5，
∴BC＝4．
故选：A．
5．解：A、∵1+2＝3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12＝（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是＝，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°＝3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
故选：D．
7．解：∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，
又∵tanB＝，
∴AC＝BC tanB＝3tan50°．
故选：D．
8．解：延长DC交AB的延长线于点K；
在Rt△ADK中，∠DAK＝60°∠AKD＝30°，BC＝1，∴，
∴DK＝CD+CK＝4，
∴AD＝＝，
在△Rt△ADC中，
AC＝＝，
故选：C．
9．解：如图所示：连接BD，
BD＝＝，
AD＝＝2，
AB＝＝，
∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，
∴△ADB为直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
则tanA＝＝＝．
故选：A．
10．解：∵∠C＝90°，AB＝10，
∴sinA＝，
∴BC＝AB×＝10×＝6．
故选：A．
11．解：如图1：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；
如图2：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠CBP＝60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP＝BC＝6；
如图3：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，
∴PC＝PB，
∵BC＝6，
∴AB＝3，
∴PC＝PB＝＝＝2；
如图4：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°+30°＝90°，
∴PC＝BC÷cos30°＝4．
故答案为：6或2或4．
12．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝＝＝10，
∴cos∠ADC＝＝．
故答案为：．
13．解：∵在Rt△ABC中，sinA＝＝，且BC＝4，
∴AB＝＝＝6，
故答案为：6．
14．解：由网格可得：△AEB是Rt△，AE＝2，AB＝，
DC∥BE，且∠AOD＝∠ABE，
故sin∠AOD＝sin∠ABE＝＝＝．
故答案为：．
15．解：连接AD，
由勾股定理得：AD＝＝，AB＝＝2，BD＝＝，
∵（）2+（2）2＝（）2，即AD2+AB2＝BD2，
∴△ABD为∠BAD是直角的直角三角形，
∴tan∠ABC＝＝＝，
故答案为：
16．解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝AC＝．
∵在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，tanB＝＝，
∴BD＝2，
∴BC＝＝＝．
17．解：在Rt△CDE中，sinC＝，
∴CE＝＝12；
在Rt△ABC中，tanC＝，
∴BC＝＝8．
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣12，
∴BE的长为8﹣12．
18．解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC＝，
∴∠C＝45°，
在Rt△ACE中，CE＝AC cosC＝1，
∴AE＝CE＝1，
在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，
∴BE＝3AE＝3，
∴BC＝BE+CE＝4；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BC＝2，
∴DE＝CD﹣CE＝1，
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴∠ADC＝45°，
∴sin∠ADC＝．
19．解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝BD＝3；
（2）CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
在Rt△BCD中，tan∠C＝＝＝．
20．解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，
∴BC＝AC＝12
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin45°＝12×＝12
CM＝BM＝12，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝BM÷tan60°＝4，
∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．
21．解：（1）∵absinC＝acsinB，
∴bsinC＝csinB，
∴＝，
：同理得：＝，
∴＝＝；
（2）由题意得：∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，
∴，即，
∴，
∴AC≈40×0.3＝12；
（3）由题意得：∠ABC＝90°﹣75°＝15°，∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
∠A＝180°﹣15°﹣45°＝120°，
由＝＝得：＝，
∴AC≈6，
∴S△ABC＝AC×BC×sin∠ACB≈×6×18×0.7≈38．