试卷类型：A
肥城市2021-2022学年高二上学期期中考试
数 学 试 题
本试卷共22题，满分150分，共6页．考试用时120分钟．
注意事项：
答题前，考生先将自己的姓名、考号、座号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）
填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡“条形码贴码处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的一个方向向量是
A. B. C. D.
2. 过两点的直线的倾斜角为
A. B. C. D.
3. 已知向量，且，则
A. B. C. D.
4. 已知三点不共线，为平面外一点，若由
确定的点与共面，则的值为
A. B. C. D.
5. 已知异面直线的方向向量分别是，则夹角的大小是
A. B. C. D.
6. 过点作圆的切线，则切线的长为
A. B． C． D．
7. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重
心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半. 这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 已知的顶点，则欧拉线的方程为
A. B.
C. D.
8. 设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知点在平面内，平面，其中是平面的
一个法向量，则下列各点在平面内的是
A. B. C. D.
10. 已知直线和直线，下列说法正确的是
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 直线过定点，直线过定点
11. 若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是
A. B. C. D.
12. 已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是
A. 点到直线的距离为
B. 与平面所成角为
C.
D. 三棱柱的外接球半径为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 圆与圆的位置关系是 ▲ .
14. 经过点，并且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程
是 ▲ .
15. 已知四面体分别是的中点，且，，，
则用表示向量 ▲ ．
16. 已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程
是 ▲ ，面积的最大值是 ▲ .
（其中第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知空间三点，设，.
（1）若向量与互相垂直，求的值；
（2）求向量在向量上的投影向量.
18. (12分)
如图，在三棱柱中，平面，分别为，，，的中点，，.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
19.（12分）
已知的顶点.
（1）求直线的方程；
（2）若边上的中线所在直线方程为，且的面积为5，求顶点的坐标．
20.（12分）
已知圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相切，并且被直线截得的弦长
为.
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程.
21.（12分）
在四棱锥中，底面为长方形， 平面，其中，，且线段上存在点，使得.
（1）求的取值范围；
（2）当时，线段上满足的点有两个，分别记为，
求平面与平面夹角的大小.
22.（12分）
已知在中，点，，点在直线下方，
且.
（1）求的外接圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于、两点（在轴上方），在轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
第12题图
C
A
B
D
E
C
B
A
D
F
G
A1
B1
C1
·
第18题图
E1
第21题（2）题图
C
A
B
S
D
E2
C
A
B
S
D
E
第21题（1）题图
高二数学试题 第6页（共6页）肥城市2021-2022学年高二上学期期中考试
数学参考答案及评分意见
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B C C D B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的
得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 AC ACD BCD BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 相交 14. 15.
16. （或写为）
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（10分）
解：（1）由已知得，
. ………………………………2分
所以，
. ………………………………4分
因为与互相垂直，所以
， ………………………5分
即，解得或. ……………………………6分
（2）因为，，， ………………………………………7分
所以，，…8分
所以向量在向量上的投影向量. ………10分
说明：将向量写成，其中是与向量方向相同的单位向量，也给满分.
18.（12分）
证明：（1）在三棱柱中，因为平面，
所以四边形为矩形． ………………………………………1分
又因为分别为，的中点，
所以. ………………………………………2分
又因为，所以. ………………………………………3分
由于，所以平面. ………………………………………4分
（2）由（1）知，，．又平面，
所以平面．
因为平面，
所以． …………………5分
如图建立空间直角坐称系．
由题意得，，
，，
所以，，
. ……………………7分
设平面的法向量为，
所以， 从而， …………………………………8分
令，则，，
所以平面的法向量. …………………………………10分
所以点到平面的距离．…12分
19.（12分）
解：（1）直线的方程为， …………………………………………2分
即. ………………………………………………………3分
（2）边上的中点的坐标为，
且点在直线上，则，解得. ……………………4分
即中线所在直线的方程为.
设顶点，所以. ……………………………5分
因为， …………………………………6分
点到直线的距离， ………………………………7分
因为，所以，
整理得，所以或，
即或. ………………………………………9分
由得，此时顶点； ……………………………10分
由得，此时顶点.……………………………11分
所以顶点的坐标为或.………………………………………………12分
20.（12分）
解：（1）设圆的方程为，
因为到直线距离为，
所以，解得， ……………………………………………3分
所以圆的方程为. ………………………………………………4分
（2）因为是圆的切线，所以，
所以在以为直径的圆上. ………………………………………………6分
所以以与为直径端点圆的方程为.
………………………………………………8分
联立方程组，
两式相减得. ………………………………………………10分
所以直线的方程为. ……………………………………………12分
21.（12分）
解：（1）以为原点,以，，所在
直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示
的空间直角坐标系. ……………………1分
设，
则，
所以. ……………………………………………4分
因为，所以.
因为， ……………………………………………5分
所以，即. ………………………………………………6分
（2）当时，，
解得或. ……………………………………………………8分
不妨取，
所以，………………………9分
设平面的法向量为,则，
不妨令，则，所以. …………………………10分
同理可得,平面的一个法向量为. ………………………11分
所以，得.
所以平面与平面的夹角为. ………………………………………12分
22.（12分）
解：（1）的外接圆中，弦所对圆周角为，则其所对圆心角为，…1分
所以该圆的半径. ………………………………………2分
圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标为.
………………………………………3分
所以外接圆的方程为. ………………………………………4分
（2）设过点的直线方程为. ………………………………………5分
①当时，直线方程为，直线与轴垂直，此时可为轴上的任意一点.
………………………………………6分
②当时,由得， …………………………7分
设，，，
则，. ………………………………………8分
由，得，
则，即，
整理得. ………………………………………10分
所以对恒成立，
即恒成立，故，即.……………………………………11分
综上所述：存在点符合题意. ………………………………………12分
x
y
E
C
B
A
D
F
G
A1
B1
C1
·
z
高二数学参考答案 第4页（共6页）
