高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2020高二上·东城期末）双曲线 的焦点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021高二上·长安月考）已知椭圆C的焦点为 ，过F2的直线与C交于A，B两点.若 ， ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020高二上·保定期末）过椭圆 的左焦点作倾斜角为45 的直线 交椭圆于 两点，设O为坐标原点，则 等于（ ）
A．-1 B．-2 C． D．
4．（2020高二上·甘肃期末）已知 是抛物线 的一条焦点弦，弦 的中点 到 轴的距离为4，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2020高二上·保定期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 为C右支上的点，且 ，则 的面积等于（ ）
A．192 B．96 C．48 D．102
6．（2021高二上·长安月考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|= ，|DE|= ，则C的焦点到准线的距离为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．（2020高二上·甘肃期末）直线 与椭圆 相交于 两点，弦 的中点纵坐标为 ，则双曲线 的两条渐近线所夹锐角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高二上·重庆月考）双曲线 ，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线 的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆 上的一点，则 的面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．（2021高二下·深圳期末）若 是双曲线 上一点， 的一个焦点坐标为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．渐近线方程为
C． 的最小值是 D．焦点到渐近线的距离是
10．（2021高二上·重庆月考）椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，则（ ）
A．过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，则 的周长为4
B．椭圆 上存在点 ，使得
C．椭圆 的离心率为
D． 为椭圆 上一点， 为圆 上一点，则点 ， 的最大距离为3
11．（2021高二下·汕尾期末）已知抛物线 的焦点为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．抛物线 上一点 到焦点 的距离为4，则点 的横坐标为3
B．过焦点 的直线被抛物线所截的弦长最短为4
C．过点 与抛物线 有且只有一个公共点的直线有2条
D．过点 的直线 与抛物线 交于不同的两点 ，则
12．（2021高二上·南京月考）以下关于圆锥曲线的说法正确的是（ ）
A．设 ， 为两定点， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是双曲线
B．方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
C．双曲线 与椭圆 有相同的焦点
D．若双曲线 ： 的左 右焦点分别为 ， 为双曲线 上一点，若 ，则 或
三、填空题
13．（2021高二上·长安月考）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
14．（2020高二上·保定期末）已知点 分别为双曲线 的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆交双曲线右支于点 ，若点 恰好在 的平分线上，则C的离心率为 ．
15．（2021高二上·长安月考）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为 ．
16．（2020高二上·东城期末）在平面直角坐标系中，对于曲线 ，有下面四个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②过平面内任意一点M，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线C都有且只有一个公共点；
③存在唯一的一组实数a，b，使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1；
④存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
17．（2021高二上·南京月考）
（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为8，焦距为6的椭圆的标准方程；
（2）求与双曲线 有公共渐近线，且焦距为 的双曲线的方程.
18．（2021高二下·辽宁月考）已知椭圆 ）的离心率为 ，左焦点为F，过F的直线 交椭圆于A，B两点，P为椭圆上任意一点，当直线 与x轴垂直时， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线 变动时，求 面积的最大值．
19．（2020高二上·西宁期末）已知椭圆C： （a>b>0）的左，右焦点分别为 ， ， ，经过点 的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点， 的周长为8.
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆C上的一点Q作斜率为 ， （ ， ）的两条直线分别与椭圆C相交于异于Q点的M，N两点。若M，N关于坐标原点对称，求 的值.
20．（2020高二上·黄陵期末）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 ，且 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为 ．
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求 的值．
21．（2020高二上·泰州期末）已知点 到定点 的距离与它到定直线 的距离的比是常数 ，点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）设点 ，若 的最大值为 ，求实数 的值.
22．（2020高二上·白水期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在椭圆 的长轴上，且椭圆 的四个顶点到抛物线 准线的距离之和等于6，求抛物线 的方程．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，双曲线 ，可得 ，所以 ，
且双曲线的焦点再 轴上，所以双曲线的焦点坐标为 .
故答案为：B.
【分析】首先由双曲线的方程即可求出a与b的值，然后由双曲线的 a、b 、c 三者的关系，计算出c的值，由此即可求出焦点的坐标。
2．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵ ， ∴
又∵ ，∴，
又|BF1|+|BF2|=2a，
∴
∴在Rt△AF2O中，，
在△BF1F2中，由余弦定理得，
则由得，
∴b2=a2-c2=3-1=2，
则C的方程为： ，
故答案为：B
【分析】根据椭圆的定义与标准方程，结合余弦定理求解即可.
3．【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由 可得 ， 可得 ，即 ，
所以左焦点 ，且直线 斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，设 ， ，
由 可得 ，
可得 ， ，
， ，
所以
，
故答案为：C.
【分析】 先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线|的方程，与椭圆方程联立消去y，设 ， ，根据韦达定理求得 ， 的值，进而根据直线方程求得y1y2的值，最后根据向量数量积的运算求得答案.
4．【答案】D
【知识点】平面内中点坐标公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，
因为弦 的中点 到 轴的距离为4，可得 ，即 ，
又由抛物线的定义和焦点弦的性质，可得 .
故答案为：D.
【分析】首先设出点的坐标，然后由已知条件结合中点的坐标，整理再结合抛物线的定义以及性质计算出结果即可。
5．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 可得： ， ，
所以 ，即 ， ， ，
所以 ，可得 ，
由双曲线的定义可得 ，
所以 是等腰三角形，且 ， ，
可得 边上的高为 ，
所以 的面积为 ，
故答案为：A.
【分析】 先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得|PF1|，由 是等腰三角形得 边上的高为 ，则 的面积可得。
6．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，，
则，
由题意知|OA|=|OD|得，解得p=4.
故答案为：C
【分析】根据抛物线的定义，标准方程以及圆的几何性质求解即可.
7．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设 ， ，则 ，即
联立直线与椭圆方程 ，消去x得到
由韦达定理得： ，化简得
则双曲线的两条渐近线方程为 ，即
则两条渐近线所夹锐角的正切值为 ，故余弦值为
故答案为：B
【分析】由设而不求法，设出点的坐标，结合中点坐标公式计算出，再联立直线与椭圆的方程，消元得到关于y的方程，由韦达定理即可得出整理得出，然后即可求出由双曲线的渐近线方程，从而即可求出两条渐近线所夹锐角的正切值，结合同角三角函数的基本关系式计算出夹角的余弦值。
8．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为 ， ，
因此点A的坐标是 ，点D是线段OF的中点，
则
直线AD的方程为 ，
点B是圆 上的一点，
点B到直线AD距离的最小值 也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即 ，
则 。
故答案为：A
【分析】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为 ， ，从而求出点A的坐标，再利用点D是线段OF的中点结合中点坐标公式，从而求出点D的坐标，再利用两点距离公式，从而求出A，D两点的距离，再利用点斜式求出直线AD的方程，再利用点B是圆 上的一点，再结合点B到直线AD距离的最小值 也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即 ， 从而结合点到直线的距离公式，从而求出的值，再结合三角形的面积公式，从而求出三角形 的面积的最小值。
9．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于A选项，由题意可得 ，故 ，A不符合题意；
对于B选项，对于双曲线 ， ， ，该双曲线的渐近线方程为 ，B对；
对于C选项， 的最小值为 ，C对；
对于D选项，双曲线 的右焦点 到渐近线 的距离为 ，D对.
故答案为：BCD.
【分析】 利用双曲线 的一个焦点坐标为F (4， 0)，可得m= 7，逐项进行判断可得答案。
10．【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，由椭圆定义，可得 ，因此 的周长为 ，A不符合题意．
对于B，设 ，则 ，且 ．又 ， ，所以 ， ，因此 ，解得 ，B符合题意．
对于C，因为 ， ，所以= ，即 ，所以离心率 ，C不符合题意．
对于D，设 ，则点 到圆 的圆心的距离为 ，因为 ，所以 ，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】由椭圆定义结合三角形的周长公式，从而结合已知条件求出三角形 的周长；
设 ，再利用代入法得出 且 ，再利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示得出椭圆 上存在点 ，使得 ；再利用椭圆的标准方程确定a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出c的值，再结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率；设 ，再结合两点距离公式得出点 到圆 的圆心的距离为 ，再利用 结合二次函数的图象求最值的方法，从而利用几何法求出点 ， 的最大距离，从而找出正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ， ，
设抛物线上点 ， ， ，A符合题意；
抛物线的过焦点 的弦长最短的为通径长 （此时弦与 轴垂直），B符合题意；
点 在抛物线外面（与焦点分列在抛物线的两侧），过 的抛物线的切线有两条，另外过 与抛物线对称轴（ 轴）平行的直线与抛物线也只有一个公共点，因此有3条直线，C不符合题意；
过 的直线方程设为 （斜率不可能为0），代入抛物线方程得 ，
则 ，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】利用抛物线的标准方程为 ，从而确定焦点的位置，进而求出焦点为 和准线方程为 以及 ，设抛物线上点 ，再利用抛物线的定义结合已知条件抛物线 上一点 到焦点 的距离为4，从而求出点 的横坐标；利用通径的公式，从而求出抛物线的过焦点 的弦长最短的为通径长 （此时弦与 轴垂直）；再利用点 在抛物线外面（与焦点分列在抛物线的两侧），过 的抛物线的切线有两条，另外过 与抛物线对称轴（ 轴）平行的直线与抛物线也只有一个公共点，因此有3条直线；过 的直线方程设点斜式方程，再转化为直线的斜截式方程为 （斜率不可能为0），再利用直线与抛物相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 ，从而找出结论正确的选项。
12．【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】A：根据双曲线定义，仅当 时，动点 的轨迹才是双曲线，故错误；
B：令 ，则 且对称轴为 ，若 为 的两个零点且 ，则 ，故原方程两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确；
C： 的焦点为 ， 的焦点为 ，即有相同的焦点，故正确；
D：由双曲线 ： 知： 、 ，而 ， ，则 不合要求，故 ，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合双曲线的定义，从而得出仅当 时，动点 的轨迹才是双曲线；利用 ，则 且对称轴为 ，若 为 的两个零点且 ，则 ，故原方程两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；利用已知条件结合双曲线和椭圆焦点的求解方法，从而推出双曲线 与椭圆 有相同的焦点 ；由双曲线 ： 知a，c的值，再利用双曲线的定义和 ，得出 ，不合要求，从而求出 ，进而找出说法正确的选项。
13．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得c2=a2+b2=4+5=9，
则右焦点为(3，0)到直线 的距离为.
故答案为：
【分析】根据双曲线的简单性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 是以 为圆心， 为半径的圆与双曲线右支相交而得，
故 ，且 为 的外心，
又 圆和双曲线都是以 轴为对称轴，
是 的角平分线，
又 是 的角平分线，
是 的内心，
即 的内心与外心重合，
故 为正三角形，
即 也是 的重心，
设 的中点为 ，
则 ，
，
，
故 ，
即 .
故答案为： .
【分析】由已知条件可得 的内心与外心重合，设 的中点为 ，则 ，，即可得出a与c的关系，进而求出双曲线C的离心率。
15．【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由题意得a2=9，b2=4，则a=3，b=2，则|MF1|+|MF2|=2a=6，
所以（当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立），
故答案为：9
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
16．【答案】①④
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：当 时，曲线 ： 为焦点在 轴上的双曲线，
当 时，曲线 ： 为焦点在 轴上的椭圆，
所以双曲线和椭圆都关于 轴对称，故①正确；
当点 在曲线上时，有无数条直线与曲线C都有且只有一个公共点，故②错误；
存在 三组实数使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1，故③错误；
当 时，存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点，故④正确.
故答案为：①④.
【分析】由双曲线的简单性质结合曲线C关于y轴对称 ，由此即可判断出：当 时，曲线为焦点在 轴上的双曲线，当 时，曲线为焦点在 轴上的椭圆，由此即可得出双曲线和椭圆都关于 轴对称，故①正确；由已知条件即可得出当点 在曲线上时，有无数条直线与曲线C都有且只有一个公共点，故②错误；利用两点间的距离公式计算出结果由此判断出③错误；由双曲线与直线的位置关系，即可判断出直线与渐近线的位置关系，由此即可得出这两条直线与曲线C都恰有三个公共点，故④正确；从而得出答案。
17．【答案】（1）解：由长轴长知： ，∴ ，
由焦距知： ，∴ ，解得： ，
∴椭圆标准方程为： 或
（2）解：与双曲线 有公共渐近线的双曲线可设为 ，
即为 .
当焦点在 轴上时， ， ， ，
此时双曲线方程为 .
当焦点在 轴上时， ， ， ，
此时双曲线方程为 .
综上：双曲线的标准方程为 或
【知识点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【分析】(1)利用焦点在坐标轴上，结合椭圆的长轴的定义和已知条件椭圆的长轴长为8，从而求出a的值，再结合椭圆焦距的定义结合已知条件椭圆的焦距为6，从而求出c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） 与双曲线 有公共渐近线的双曲线可设为 ，即为 ，再利用分类讨论的方法结合焦点的位置，从而得出的取值范围，再利用双曲线中 a，b，c三者的关系式，从而求出的值，进而求出双曲线的标准方程。
18．【答案】（1）由 ， ， ，解得 ， ， ，
故所求椭圆的方程为 ．
（2）由题意知 ，
①当l的斜率为0时， ，P为上顶点时 的面积最大，最大值为 ．
②当l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ， ， ，
由 ，去x得 ，故 ， ，
则| ．
设与l平行的直线 与椭圆相切，
则 消去 得 ，
由 得 ，故 ，
所以 与 的最大距离 ，
则 ，
令 ，则 ，
且 ，
令 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 在 上单调递减，所以 的最大值是 ，
所以 ，因为 ．
所以 面积的最大值为 ．
【知识点】平面内两条平行直线间的距离；椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合椭圆的性质可求解椭圆的方程；
（2） ①当l的斜率为0时，P为上顶点时 的面积最大；②当l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ， ， ，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系结合弦长公式可得 ； 设与l平行的直线 与椭圆相切， 将其方程与椭圆方程联立化简计算可得 ， 与 的最大距离 ，令， ，令 ，利用导数判断其单调性进而求解 的最大值 ， 进而求解 面积的最大值为。
19．【答案】（1）解：∵ ，
∴ .
∵ 的周长为8，
∴ ， .
∵ ，∴ .
∴椭圆C的方程为 .
（2）解：设 ， ，∴ ， ， .
∴ ， .
两式相减，得 .
∵ ， ，∴ .
∴ .
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的标准方程
【解析】【分析】 (1)由题意可知 ，又 的周长为8 ，得a=2，再根据 求出b，可得椭圆C的方程为；
(2) 设 ， ， ， ， ，把点M，Q的坐标代入椭圆方程，利用点差法即可求出 的值.
20．【答案】（1）解：由已知得 ，设椭圆长、短半轴长分别为 、 ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为 、 ，
则 解得 ．所以 ．
故椭圆方程为 ，双曲线方程为
（2）解：不妨设 、 分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则 ，
所以 ．又 ，
故
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1） 由已知得 ，设椭圆长、短半轴长分别为 、 ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为 、 ，根据题意得出 解出 ，进而得出 即可得到椭圆和双曲线的方程；
（2）由椭圆、双曲线的定义求出 的长，再利用余弦定理，即可求出 的值。
21．【答案】（1）解：根据题意可得， ，化简得 ，
曲线 的方程为 ．
（2）解：
①当 ，即 时， ，解得 （舍）
②当 ，即 时， ，解得
综上实数 的值为 ．
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程
【解析】【分析】(1)结合题意由点到直线的距离公式和两点间的距离整理即可得到点P的轨迹方程。
(2)根据题意由两点间的距离即可求出的代数式再由二次函数的性质，即可求出最值结合题意计算出m的值即可。
22．【答案】（1）解：由题意得e = = ，所以c = ，所以 ①，
又点 在E上，所以 ②，
联立①②，解得 ，所以椭圆E的方程为 ．
（2）解：设抛物线 的方程为： ，
由题意得：椭圆 的四个顶点到 准线的距离之和等于6，
又因为椭圆 长轴上的两个顶点到准线的距离和为4，所以 ，则
即 的方程为 ．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【分析】 (1)利用已知条件列出方程组，求解a， b，然后得到椭圆方程；
(2) 设抛物线 的方程为： ，利用椭圆 的四个顶点到 准线的距离之和等于6，结合椭圆 长轴上的两个顶点到准线的距离和为4 ，求解p，即可得到抛物线 的方程．
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2020高二上·东城期末）双曲线 的焦点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，双曲线 ，可得 ，所以 ，
且双曲线的焦点再 轴上，所以双曲线的焦点坐标为 .
故答案为：B.
【分析】首先由双曲线的方程即可求出a与b的值，然后由双曲线的 a、b 、c 三者的关系，计算出c的值，由此即可求出焦点的坐标。
2．（2021高二上·长安月考）已知椭圆C的焦点为 ，过F2的直线与C交于A，B两点.若 ， ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵ ， ∴
又∵ ，∴，
又|BF1|+|BF2|=2a，
∴
∴在Rt△AF2O中，，
在△BF1F2中，由余弦定理得，
则由得，
∴b2=a2-c2=3-1=2，
则C的方程为： ，
故答案为：B
【分析】根据椭圆的定义与标准方程，结合余弦定理求解即可.
3．（2020高二上·保定期末）过椭圆 的左焦点作倾斜角为45 的直线 交椭圆于 两点，设O为坐标原点，则 等于（ ）
A．-1 B．-2 C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由 可得 ， 可得 ，即 ，
所以左焦点 ，且直线 斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，设 ， ，
由 可得 ，
可得 ， ，
， ，
所以
，
故答案为：C.
【分析】 先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线|的方程，与椭圆方程联立消去y，设 ， ，根据韦达定理求得 ， 的值，进而根据直线方程求得y1y2的值，最后根据向量数量积的运算求得答案.
4．（2020高二上·甘肃期末）已知 是抛物线 的一条焦点弦，弦 的中点 到 轴的距离为4，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】平面内中点坐标公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，
因为弦 的中点 到 轴的距离为4，可得 ，即 ，
又由抛物线的定义和焦点弦的性质，可得 .
故答案为：D.
【分析】首先设出点的坐标，然后由已知条件结合中点的坐标，整理再结合抛物线的定义以及性质计算出结果即可。
5．（2020高二上·保定期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 为C右支上的点，且 ，则 的面积等于（ ）
A．192 B．96 C．48 D．102
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线 可得： ， ，
所以 ，即 ， ， ，
所以 ，可得 ，
由双曲线的定义可得 ，
所以 是等腰三角形，且 ， ，
可得 边上的高为 ，
所以 的面积为 ，
故答案为：A.
【分析】 先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得|PF1|，由 是等腰三角形得 边上的高为 ，则 的面积可得。
6．（2021高二上·长安月考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|= ，|DE|= ，则C的焦点到准线的距离为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，，
则，
由题意知|OA|=|OD|得，解得p=4.
故答案为：C
【分析】根据抛物线的定义，标准方程以及圆的几何性质求解即可.
7．（2020高二上·甘肃期末）直线 与椭圆 相交于 两点，弦 的中点纵坐标为 ，则双曲线 的两条渐近线所夹锐角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设 ， ，则 ，即
联立直线与椭圆方程 ，消去x得到
由韦达定理得： ，化简得
则双曲线的两条渐近线方程为 ，即
则两条渐近线所夹锐角的正切值为 ，故余弦值为
故答案为：B
【分析】由设而不求法，设出点的坐标，结合中点坐标公式计算出，再联立直线与椭圆的方程，消元得到关于y的方程，由韦达定理即可得出整理得出，然后即可求出由双曲线的渐近线方程，从而即可求出两条渐近线所夹锐角的正切值，结合同角三角函数的基本关系式计算出夹角的余弦值。
8．（2021高二上·重庆月考）双曲线 ，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线 的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆 上的一点，则 的面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为 ， ，
因此点A的坐标是 ，点D是线段OF的中点，
则
直线AD的方程为 ，
点B是圆 上的一点，
点B到直线AD距离的最小值 也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即 ，
则 。
故答案为：A
【分析】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为 ， ，从而求出点A的坐标，再利用点D是线段OF的中点结合中点坐标公式，从而求出点D的坐标，再利用两点距离公式，从而求出A，D两点的距离，再利用点斜式求出直线AD的方程，再利用点B是圆 上的一点，再结合点B到直线AD距离的最小值 也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即 ， 从而结合点到直线的距离公式，从而求出的值，再结合三角形的面积公式，从而求出三角形 的面积的最小值。
二、多选题
9．（2021高二下·深圳期末）若 是双曲线 上一点， 的一个焦点坐标为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．渐近线方程为
C． 的最小值是 D．焦点到渐近线的距离是
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于A选项，由题意可得 ，故 ，A不符合题意；
对于B选项，对于双曲线 ， ， ，该双曲线的渐近线方程为 ，B对；
对于C选项， 的最小值为 ，C对；
对于D选项，双曲线 的右焦点 到渐近线 的距离为 ，D对.
故答案为：BCD.
【分析】 利用双曲线 的一个焦点坐标为F (4， 0)，可得m= 7，逐项进行判断可得答案。
10．（2021高二上·重庆月考）椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，则（ ）
A．过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，则 的周长为4
B．椭圆 上存在点 ，使得
C．椭圆 的离心率为
D． 为椭圆 上一点， 为圆 上一点，则点 ， 的最大距离为3
【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，由椭圆定义，可得 ，因此 的周长为 ，A不符合题意．
对于B，设 ，则 ，且 ．又 ， ，所以 ， ，因此 ，解得 ，B符合题意．
对于C，因为 ， ，所以= ，即 ，所以离心率 ，C不符合题意．
对于D，设 ，则点 到圆 的圆心的距离为 ，因为 ，所以 ，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】由椭圆定义结合三角形的周长公式，从而结合已知条件求出三角形 的周长；
设 ，再利用代入法得出 且 ，再利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示得出椭圆 上存在点 ，使得 ；再利用椭圆的标准方程确定a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出c的值，再结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率；设 ，再结合两点距离公式得出点 到圆 的圆心的距离为 ，再利用 结合二次函数的图象求最值的方法，从而利用几何法求出点 ， 的最大距离，从而找出正确的选项。
11．（2021高二下·汕尾期末）已知抛物线 的焦点为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．抛物线 上一点 到焦点 的距离为4，则点 的横坐标为3
B．过焦点 的直线被抛物线所截的弦长最短为4
C．过点 与抛物线 有且只有一个公共点的直线有2条
D．过点 的直线 与抛物线 交于不同的两点 ，则
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ， ，
设抛物线上点 ， ， ，A符合题意；
抛物线的过焦点 的弦长最短的为通径长 （此时弦与 轴垂直），B符合题意；
点 在抛物线外面（与焦点分列在抛物线的两侧），过 的抛物线的切线有两条，另外过 与抛物线对称轴（ 轴）平行的直线与抛物线也只有一个公共点，因此有3条直线，C不符合题意；
过 的直线方程设为 （斜率不可能为0），代入抛物线方程得 ，
则 ，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】利用抛物线的标准方程为 ，从而确定焦点的位置，进而求出焦点为 和准线方程为 以及 ，设抛物线上点 ，再利用抛物线的定义结合已知条件抛物线 上一点 到焦点 的距离为4，从而求出点 的横坐标；利用通径的公式，从而求出抛物线的过焦点 的弦长最短的为通径长 （此时弦与 轴垂直）；再利用点 在抛物线外面（与焦点分列在抛物线的两侧），过 的抛物线的切线有两条，另外过 与抛物线对称轴（ 轴）平行的直线与抛物线也只有一个公共点，因此有3条直线；过 的直线方程设点斜式方程，再转化为直线的斜截式方程为 （斜率不可能为0），再利用直线与抛物相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 ，从而找出结论正确的选项。
12．（2021高二上·南京月考）以下关于圆锥曲线的说法正确的是（ ）
A．设 ， 为两定点， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是双曲线
B．方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
C．双曲线 与椭圆 有相同的焦点
D．若双曲线 ： 的左 右焦点分别为 ， 为双曲线 上一点，若 ，则 或
【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】A：根据双曲线定义，仅当 时，动点 的轨迹才是双曲线，故错误；
B：令 ，则 且对称轴为 ，若 为 的两个零点且 ，则 ，故原方程两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确；
C： 的焦点为 ， 的焦点为 ，即有相同的焦点，故正确；
D：由双曲线 ： 知： 、 ，而 ， ，则 不合要求，故 ，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合双曲线的定义，从而得出仅当 时，动点 的轨迹才是双曲线；利用 ，则 且对称轴为 ，若 为 的两个零点且 ，则 ，故原方程两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；利用已知条件结合双曲线和椭圆焦点的求解方法，从而推出双曲线 与椭圆 有相同的焦点 ；由双曲线 ： 知a，c的值，再利用双曲线的定义和 ，得出 ，不合要求，从而求出 ，进而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2021高二上·长安月考）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得c2=a2+b2=4+5=9，
则右焦点为(3，0)到直线 的距离为.
故答案为：
【分析】根据双曲线的简单性质，结合点到直线的距离公式求解即可.
14．（2020高二上·保定期末）已知点 分别为双曲线 的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆交双曲线右支于点 ，若点 恰好在 的平分线上，则C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 是以 为圆心， 为半径的圆与双曲线右支相交而得，
故 ，且 为 的外心，
又 圆和双曲线都是以 轴为对称轴，
是 的角平分线，
又 是 的角平分线，
是 的内心，
即 的内心与外心重合，
故 为正三角形，
即 也是 的重心，
设 的中点为 ，
则 ，
，
，
故 ，
即 .
故答案为： .
【分析】由已知条件可得 的内心与外心重合，设 的中点为 ，则 ，，即可得出a与c的关系，进而求出双曲线C的离心率。
15．（2021高二上·长安月考）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为 ．
【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由题意得a2=9，b2=4，则a=3，b=2，则|MF1|+|MF2|=2a=6，
所以（当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立），
故答案为：9
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
16．（2020高二上·东城期末）在平面直角坐标系中，对于曲线 ，有下面四个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②过平面内任意一点M，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线C都有且只有一个公共点；
③存在唯一的一组实数a，b，使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1；
④存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①④
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：当 时，曲线 ： 为焦点在 轴上的双曲线，
当 时，曲线 ： 为焦点在 轴上的椭圆，
所以双曲线和椭圆都关于 轴对称，故①正确；
当点 在曲线上时，有无数条直线与曲线C都有且只有一个公共点，故②错误；
存在 三组实数使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1，故③错误；
当 时，存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点，故④正确.
故答案为：①④.
【分析】由双曲线的简单性质结合曲线C关于y轴对称 ，由此即可判断出：当 时，曲线为焦点在 轴上的双曲线，当 时，曲线为焦点在 轴上的椭圆，由此即可得出双曲线和椭圆都关于 轴对称，故①正确；由已知条件即可得出当点 在曲线上时，有无数条直线与曲线C都有且只有一个公共点，故②错误；利用两点间的距离公式计算出结果由此判断出③错误；由双曲线与直线的位置关系，即可判断出直线与渐近线的位置关系，由此即可得出这两条直线与曲线C都恰有三个公共点，故④正确；从而得出答案。
四、解答题
17．（2021高二上·南京月考）
（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为8，焦距为6的椭圆的标准方程；
（2）求与双曲线 有公共渐近线，且焦距为 的双曲线的方程.
【答案】（1）解：由长轴长知： ，∴ ，
由焦距知： ，∴ ，解得： ，
∴椭圆标准方程为： 或
（2）解：与双曲线 有公共渐近线的双曲线可设为 ，
即为 .
当焦点在 轴上时， ， ， ，
此时双曲线方程为 .
当焦点在 轴上时， ， ， ，
此时双曲线方程为 .
综上：双曲线的标准方程为 或
【知识点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【分析】(1)利用焦点在坐标轴上，结合椭圆的长轴的定义和已知条件椭圆的长轴长为8，从而求出a的值，再结合椭圆焦距的定义结合已知条件椭圆的焦距为6，从而求出c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） 与双曲线 有公共渐近线的双曲线可设为 ，即为 ，再利用分类讨论的方法结合焦点的位置，从而得出的取值范围，再利用双曲线中 a，b，c三者的关系式，从而求出的值，进而求出双曲线的标准方程。
18．（2021高二下·辽宁月考）已知椭圆 ）的离心率为 ，左焦点为F，过F的直线 交椭圆于A，B两点，P为椭圆上任意一点，当直线 与x轴垂直时， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线 变动时，求 面积的最大值．
【答案】（1）由 ， ， ，解得 ， ， ，
故所求椭圆的方程为 ．
（2）由题意知 ，
①当l的斜率为0时， ，P为上顶点时 的面积最大，最大值为 ．
②当l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ， ， ，
由 ，去x得 ，故 ， ，
则| ．
设与l平行的直线 与椭圆相切，
则 消去 得 ，
由 得 ，故 ，
所以 与 的最大距离 ，
则 ，
令 ，则 ，
且 ，
令 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 在 上单调递减，所以 的最大值是 ，
所以 ，因为 ．
所以 面积的最大值为 ．
【知识点】平面内两条平行直线间的距离；椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合椭圆的性质可求解椭圆的方程；
（2） ①当l的斜率为0时，P为上顶点时 的面积最大；②当l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ， ， ，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系结合弦长公式可得 ； 设与l平行的直线 与椭圆相切， 将其方程与椭圆方程联立化简计算可得 ， 与 的最大距离 ，令， ，令 ，利用导数判断其单调性进而求解 的最大值 ， 进而求解 面积的最大值为。
19．（2020高二上·西宁期末）已知椭圆C： （a>b>0）的左，右焦点分别为 ， ， ，经过点 的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点， 的周长为8.
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆C上的一点Q作斜率为 ， （ ， ）的两条直线分别与椭圆C相交于异于Q点的M，N两点。若M，N关于坐标原点对称，求 的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ .
∵ 的周长为8，
∴ ， .
∵ ，∴ .
∴椭圆C的方程为 .
（2）解：设 ， ，∴ ， ， .
∴ ， .
两式相减，得 .
∵ ， ，∴ .
∴ .
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的标准方程
【解析】【分析】 (1)由题意可知 ，又 的周长为8 ，得a=2，再根据 求出b，可得椭圆C的方程为；
(2) 设 ， ， ， ， ，把点M，Q的坐标代入椭圆方程，利用点差法即可求出 的值.
20．（2020高二上·黄陵期末）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 ，且 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为 ．
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求 的值．
【答案】（1）解：由已知得 ，设椭圆长、短半轴长分别为 、 ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为 、 ，
则 解得 ．所以 ．
故椭圆方程为 ，双曲线方程为
（2）解：不妨设 、 分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则 ，
所以 ．又 ，
故
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1） 由已知得 ，设椭圆长、短半轴长分别为 、 ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为 、 ，根据题意得出 解出 ，进而得出 即可得到椭圆和双曲线的方程；
（2）由椭圆、双曲线的定义求出 的长，再利用余弦定理，即可求出 的值。
21．（2020高二上·泰州期末）已知点 到定点 的距离与它到定直线 的距离的比是常数 ，点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）设点 ，若 的最大值为 ，求实数 的值.
【答案】（1）解：根据题意可得， ，化简得 ，
曲线 的方程为 ．
（2）解：
①当 ，即 时， ，解得 （舍）
②当 ，即 时， ，解得
综上实数 的值为 ．
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程
【解析】【分析】(1)结合题意由点到直线的距离公式和两点间的距离整理即可得到点P的轨迹方程。
(2)根据题意由两点间的距离即可求出的代数式再由二次函数的性质，即可求出最值结合题意计算出m的值即可。
22．（2020高二上·白水期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在椭圆 的长轴上，且椭圆 的四个顶点到抛物线 准线的距离之和等于6，求抛物线 的方程．
【答案】（1）解：由题意得e = = ，所以c = ，所以 ①，
又点 在E上，所以 ②，
联立①②，解得 ，所以椭圆E的方程为 ．
（2）解：设抛物线 的方程为： ，
由题意得：椭圆 的四个顶点到 准线的距离之和等于6，
又因为椭圆 长轴上的两个顶点到准线的距离和为4，所以 ，则
即 的方程为 ．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【分析】 (1)利用已知条件列出方程组，求解a， b，然后得到椭圆方程；
(2) 设抛物线 的方程为： ，利用椭圆 的四个顶点到 准线的距离之和等于6，结合椭圆 长轴上的两个顶点到准线的距离和为4 ，求解p，即可得到抛物线 的方程．
1 / 1
