2021-2022 学年度第一学期期中学业水平检测
高一数学试题
本试卷共 4 页，22 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码
粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设集合 A {x R | x 2 4x 0}，B {0,1,2,3,4}，则 A B
A．{1,2,3,4} B．{0,1,2,3,4} C．{0,1,2,3} D．{1,2,3}
1
2．函数 f (x) 2x 8 的定义域是
x 3
A． (3, ) B．[3, ) C． (4, ) D．[4, )
3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记
录法记录视力数据，小数记录法的数据V 和五分记录法的数据 L满足V 10L 5 ，已知某同学视
力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（注： 10 10 1.25 ）
A．0.6 B．0.8 C．1.2 D．1.5
4．已知函数 f (x)和 g(x)的定义域为{2,3,4,5}，其对应关系如下表，则 g( f (x)) 的值域为
x 2 3 4 5
f (x) 4 2 5 2
g(x) 4 3 2 4
A．{2,3} B．{2,4} C．{3,4} D．{2,3,4}
a 1
3 3 1 3
5．若 ( ) 2 ，b ( ) 4 c 3， ( ) 4 ，则 a，b， c的大小关系是
2 4 4
A． a b c B．b a c C．b c a D． c b a
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(2 a)x 1, x 1
6．已知函数 f (x) x 是R 上的单调递增函数，则实数 a的取值范围是
a , x 1
a 1 1 3 3A． B． a C．1 a 2 D． 1 a
2 2
f (x ) f (x )
7．已知函数 f (x)为偶函数，且对任意互不相等的 x1, x2 (0, )，都有 1 2 0成立，x1 x2
且 f ( 2) 0，则 xf (x) 0的解集为
A． ( , 2) (0,2) B． ( 2,2)
C． ( , 2) (2, ) D． ( 2,0) (2, )
8．已知函数 f (x)为实数集上的增函数，且满足 f ( f (x) 2 x) 3 ，则 f (2)
A．3 B． 4 C．5 D．6
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．下列函数中，既是偶函数，又在 (0, )上单调递增的为
A． f (x) | x | B． f (x) x3 f (x) 2|x| f (x) 1 C． D．
x2
10．已知 a,b R 且 a b，则
1 1
A． B． (1)a (1)b C．3a b 1 D． a3 b3
a b 2 2
11．已知幂函数 f (x)的图象经过点 (2, 2)，则下列命题正确的是
A．函数 f (x)为增函数
B．函数 f (x)的值域为[0, )
C．函数 f (x)为奇函数
x x
D．若0 x 1 2 f (x1) f (x2 )1 x2，则 f ( ) 2 2
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12．下列说法正确的是
A．“若 2a 2b，则 a2 b2”是真命题
B．已知集合 A,B均为实数集R 的子集，且 RB A，则 ( RA) B B
C．对于函数 y f (x) ， x R ，“ y f (x 1)是偶函数 ”是“ y f (x)的图象关于
直线 x 1轴对称”的充要条件
D．若命题“ x R ，x2 mx 1 0”的否定是真命题，则实数m的取值范围是 2 m 2
三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
16 1 4 1
13．计算 4 ( ) 2 (2 2) 3 3 3 93 ．
25
14．已知函数 f (x) (e x ke x )x2的图象关于原点中心对称，则实数 k ．
5
15．已知0 x ，则 x(5 4x) 的最大值为 ．
4
16．在1872年，“戴金德分割”结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次危机．所谓戴金德分割，
是指将有理数集Q划分为两个非空子集 A与 B，且满足 A B Q， A B ， A中的每
一个元素都小于 B中的每一个元素，则称这样的 A与 B为戴金德分割，请给出一组满足 A无
最大值且 B无最小值的戴金德分割 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
U R A {x R | 1 (1已知全集 ，集合 ) x 9}，集合 B {x R | x2 2x a 0}，集合
3 3
C {x R |m 1 x 2m}， A B {x R | 1 x 1}．
（1）求集合 B；
（2）求 ( RB) A；
（3）若 B C B，求实数m的取值范围．
18．（12 分）
3
已知偶函数 f (x)的定义域为 ( ,0) (0, )， f ( 2) ，当 x (0, )时，
2
f (x) x m函数 ．
x
（1）求实数m的值；
（2）当 x ( ,0)时，求函数 f (x)的解析式；
（3）利用定义判断并证明函数 f (x)在区间 (0， )的单调性．
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19．（12 分）
已知函数 f (x) x2 (m 2)x 2m，m R ．
（1）若 f (x) 0对任意的 x R 恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若 f (x)在 ( ,3) 上单调递减，求实数m的取值范围；
（3）解关于 x的不等式 f (x) 0 ．
20．（12 分）
某科研单位在研发某种合金产品的过程中发现了一种新型合金材料，由大数据分析得到该产品
的性能指标值 y（ y值越大产品性能越好）与这种新型合金材料的含量 x（单位：克）的关系：当
0 1 x 8时， y是 x的二次函数；当 x 8时， y ( ) x t．测得的部分数据如下表所示：
2
x 0 2 4 12
y 1 4 4 4
4
（1）求 y关于 x的函数解析式；
（2）求该新型合金材料的含量 x为何值时产品性能达到最佳．
21．（12 分）
已知函数 f (x) 满足 2 f (x) f ( x) 3x 1 31 x ．
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）若对于任意的 x R ，不等式 f (2x) mf (x) 6 0 恒成立，求实数m的取值范围．
22．（12 分）
若对于任意 x1, x2 R ，使得 x1 x2 W ，都有 f (x1) f (x2 ) W ，则称 f (x)是W 陪伴的．
（1）判断 f (x) 3x 1是否为[0, )陪伴的，并证明；
（2）若 f (x) a x (a 0,a 1)是[0, )陪伴的，求 a的取值范围；
（3）若 f (x)是{2}陪伴的，且是 (0, )陪伴的，求证： f (x)是 (2,4)陪伴的．
高一数学试题 第 4 页 共 4 页2021-2022 学年度第一学期期中学业水平检测高一数学评分标准
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。
1—8: D AB B C DAC
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
9．AC; 10．BD; 11．ABD ; 12．BCD;
三、填空题：本题共 4个小题，每小题 5分，共 20分。
6 513． ； 14． 1； 15． ； 16． A {x Q | x π},B {x Q | x π}．
4
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
1 (1 1 1 1解：（1） ) x 9， ( )x ( ) 2， 2 x 1
3 3 3 3 3
集合 A {x R | 2 x 1} ······································································· 2分
又Q AI B {x R | 1 x 1}
1是方程 x2 2x a 0的根····································································· 3分
( 1)2 2 ( 1) a 0得 a 3 ··································································· 4分
由 x2 2x 3 0得 1 x 3
集合 B {x R | 1 x 3} ······································································· 5分
（2）由（1）得， RB {x | x 1或 x 3}····················································· 6分
( RB)U A {x | x 1或 x 3}·····································································7分
（3）Q BUC B， C B ······································································· 8分
①当m 1 2m，即m 1时，C ，满足题意··········································· 9分
m 1 1
②当m 1 2m，即m 3 1时， Q C B， ，解得0 m
2m 3 2
3
综上，所求实数m的取值范围为m 1或0 m ········································ 10分
2
18.（12分）
解：（1）因为函数 f (x)为偶函数，且 f ( 3 2) ，
2
f (2) 2 m 3所以 ，解得m 1·································································3分
2 2
1
（2）设 x ( ,0)，则 x (0, )， f ( x) x ，··································4分
x
因为函数 f (x) 1为偶函数，所以 f (x) f ( x) x
x
所以当 x ( ,0) 1时， f (x) x ····························································· 6分
x
（3）设 x1, x2 (0, )且 x1 x2
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1 1
则 f (x1) f (x2 ) x1 (x2 ) ·······························································7分x1 x2
(x x ) x 1 x2 (x x 1)1 2 (x x ) 1 21 2 ································· 10分x1x2 x1x2
因为 x1, x2 (0, )且 x1 x2
所以 x1 x2 0， x1x2 0， x1x2 1 0
所以 f (x1) f (x2 ) 0， 即 f (x1) f (x2 ) ·····················································11分
所以 f (x)在区间 (0, )上为单调递增函数····················································· 12分
19.（12分）
解：（1）因为 f (x) 0对任意的 x R恒成立，
则判别式 (m 2)2 8m 0 ······································································ 1分
即 m2 4m 4 (m 2)2 0
所以m 2 ·································································································· 3分
（2）因为函数 f (x) x2 (m 2)x 2m的图象为开口向上的抛物线，
m 2
其对称轴为直线 x ··············································································4分
2
由二次函数图象可知， f (x) m 2的单调递减区间为 ( ， ) ································· 5分
2
f (x) ( m 2因为 在 ，3)上单调递减，所以 3 ··············································· 6分
2
所以m 4 ·································································································· 7分
（2）由 f (x) x2 (m 2)x 2m 0得： (x m)(x 2) 0 ······························8分
由 (x m)(x 2) 0得 x m或 x 2 ······························································9分
①当m 2时，不等式的解集是{x | x 2} ·······················································10分
②当m 2时，不等式的解集是 ( ，2)U (m， ) ············································11分
③当m 2时，不等式的解集是 ( ，m)U (2, ) ········································· 12分
综上，①当m 2时，不等式的解集是{x | x 2}
②当m 2时，不等式的解集是 ( ，2)U (m， )
③当m 2时，不等式的解集是 ( ，m)U (2, )
20．（12分）
解：（1）当 0 x 8时， y是 x的二次函数，设 y ax2 bx c (a 0)，
由 x 0, y 4可得 c 4，········································································ 1分
由 x 2, y 4可得 4a 2b 8①，
由 x 4, y 4可得16a 4b 8②，
由①②得 a 1,b 6，
即 y x2 6x 4 (0 x 8) ······································································· 3分
当 x 8 1时， y ( ) x t，由 x 12, y 1 ，可得 t 10，
2 4
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即 y 1 ( ) x 10 (x 8) ···················································································· 5分
2
y x2 6x 4, (0 x 8),
综上， y 1 ·························································6分y ( ) x 10 , (x 8). 2
（2）1°当0 x 8时， y x2 6x 4 (x 3)2 5，
所以当 x 3时， y取得最大值5 ·····································································8分
2° x 1 8时， y ( ) x 10单调递减，所以当 x 8时， y取得最大值 4 ··················10分
2
综上所述，当该新型合金材料的含量为3时产品性能达到最佳. ··························· 12分
21.（12分）
解：（1）因为 2 f (x) f ( x) 3x 1 31 x ①，
所以 2 f ( x) f (x) 3 x 1 31 x ···································································· 1分
① 2 ②得：3 f (x) 3x 1 31 x ···································································· 4分
所以 f (x) 3x 3 x ····················································································· 5分
（2）因为 f (2x) mf (x) 6 0
所以32x 3 2x m(3x 3 x ) 6 0 ·································································6分
因为3x 3 x 2 3x 3 x 2（当且仅当 x 0时等号成立）
32x 3 2x 6 (3x 3 xm )
2 2 6
所以
3x 3 x 3x x
x x 3 3 3 3x 3 x
即m 3x 3 x 4 x x 对 x R恒成立························································10分3 3
4
因为3x 3 x x x 2 4 4（当且仅当 x 0时等号成立）3 3
所以，所求实数m的取值范围为m 4 ··························································· 12分
22.（12分）
解：（1） f (x) 3x 1是[0, )陪伴的····························································1分
证明：任取 x1, x2 R 且 x1 x2 [0, )，
则 f (x1) f (x2 ) 3(x1 x2 ) [0, )
所以 f (x)是[0, )陪伴的·············································································3分
（2）因为 f (x) a x (a 0,a 1)是[0,1]陪伴的
所以，任取 x1, x2 R 且 x1 x2 [0, )，
则 f (x1) f (x
x1 x2
2 ) a a [0, ) ·······························································4分
a x1
所以 a x1 a x2 a x2 ( x 1) a
x2 (a x1 x2 1) 0 ················································ 5分
a 2
因为 a x2 0，所以 a x1 x2 1 0 ····································································· 6分
又因为 x1 x2 0，所以 a 1 ········································································ 7分
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（3）因为 f (x)是{2}陪伴的，任取 x1, x2 R 且 x1 x2 2
所以 f (x 2) f (x) 2①············································································ 8分
所以 f (x 4) f (x 2) f (x 4) f (x) 2 2
即 f (x 4) f (x) 4②··············································································· 9分
因为 f (x)是 (0, )陪伴的，任取 x1, x2 R 且 x1 x2 0
所以 f (x1) f (x2 ) 0，说明 f (x)在R 上单调递增········································· 10分
再任取 x1, x2 R 且 x1 x2 (2,4)，即 x1 x2 2, x1 x2 4
因为 f (x)在R 上单调递增，
所以结合①可得： f (x1) f (x2 ) f (x2 2) f (x2 ) 2
所以结合②可得： f (x1) f (x2 ) f (x2 4) f (x2 ) 4
即 f (x1) f (x2 ) (2,4)
综上知： f (x)是 (2,4)陪伴的······································································· 12分
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