14.2.2 完全平方公式 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021七下·莲湖期末）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．（﹣2b2）3＝﹣8b6 B．4a4÷2a2＝2a
C．2a 4a＝8a D．（a+b）2＝a2+b2
【答案】A
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；积的乘方
【解析】【解答】解：A、原式＝﹣8b6，符合题意；
B、原式＝2a2，不符合题意；
C、原式＝8a2，不符合题意；
D、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据积的乘方法则“积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”、单项式除以单项式的法则“单项式除以单项式，把系数与相同的字母分别相除，对于只在被除式里含有的字母则连同指数作为商的一个因式”、单项式乘以单项式的法则“单项式乘以单项式，把系数与相同的字母分别相乘，对于只在某一个因式中里含有的字母则连同指数作为积的一个因式”、完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”，逐项进行计算，即可得出答案.
2．（2021七下·沙坪坝期中）若 ， ，则 （ ）
A．5 B．10 C．13 D．22
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】由完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2-2ab，然后代入进行计算.
3．（2021八上·隆昌月考）已知 ， ， ，那么 的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，将待求式变形为(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2，据此计算.
4．（2021八上·西安开学考）已知 ，则代数式 的值是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：A.
【分析】待求式可变形为(a+2b)2-2，然后将已知条件代入进行计算.
5．（2021八下·南岸期末）如图，有三种规格的卡片共25张，其中边长为a的正方形卡片9张，边长为b的正方形卡片4张，长，宽分别为a，b的长方形卡片12张，现使用这25张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】9张边长为a的正方形卡片总面积为 ，4张边长为b的正方形卡片的总面积为 ，12张长、宽分别为a、b的长方形卡片的总面积为12ab，则25张卡片的总面积为 ，而 ，所以用这25张卡片拼成一个大的正方形的边长为3a+2b.
故答案为：D.
【分析】先分别计算这3种规格的卡片的总面积，则可得出这25张卡片的总面积为9a2 +12ab + 4b2，由于这是一个完全平方式，从而可得25张卡片所拼成的大正方形的边长.
6．（2021七下·苏州期末）若多项式
是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．12 B．±12 C．6 D．±6
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵9x2-mx+4是一个完全平方式，
∴-m=±12，
∴m=±12.
故答案为：B.
【分析】利用完全平方的结构特征解答即可.
7．（2021·路南模拟）观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b， ，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】标记如下：
∵ ，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4
＝a2﹣2ab+b2．
故答案为：C．
【分析】先求出（a﹣b）2＝a2+b2﹣4 ，再求解即可。
8．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．
【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即总不小于2
二、填空题
9．（2021七下·岳阳期末）计算 的结果为
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ；
故答案为 ： .
【分析】利用完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”进行计算，即可得出答案.
10．（2021七下·嘉兴期末）已知a﹣b＝7，ab＝2，则（a+b）2＝ ．
【答案】57
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： （a+b）2＝ a2+2ab+b2
=a2-2ab+b2+4ab
=（a-b）2+4ab
=49+8
=57，
故答案为：57.
【分析】先根据完全平方公式展开，再根据（a-b）2=a2-2ab+b2配方将原式变形，最后代值计算即可.
11．（2020八上·重庆月考）如果代数式x2+mx+9＝（x+b）2，那么m的值为 .
【答案】±6
【知识点】完全平方公式及运用；多项式的项和次数
【解析】【解答】解：已知等式整理得：x2+mx+9＝（x+b）2= x2±2×3x+9=（x±3）2，
可得m＝±2×3×1，
则m＝±6.
故答案为：±6.
【分析】由完全平方公式“a22ab+b2=（ab）2”可求解.
12．（2021七下·萧山期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 .若 ，则 ＋ ＝ ；当 ＋ ＝40时，则图3中阴影部分的面积 .
【答案】34；20
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】① ，
＋ ＝
＋ ＝
②
＋ ＝ =40
，
故答案为：34；20.
【分析】 观察三个图形，分别表示出阴影部分的面积S1，S2，S3，再求出S1+S2，利用配方法将其转化为用含a+b和ab的代数式表示，然后整体代入求值；将S3转化为然后整体代入求值即可.
三、解答题
13．（2021·射阳模拟）已知 ， ， ，求代数式 的值.
【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
则原式
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】由已知条件可得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，将待求式变形为(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2，据此计算.
14．（2021八上·宜城期末）已知 ，求 的值.
【答案】解：∵①， ②，
①+②得 ，
①-②得 ，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式将两个等式的左边展开 ，然后将两个等式相加可以得出 ， 将两个等式相减可以得出 ， 从而整体代入即可算出答案.
四、综合题
15．（2021八上·汽开区期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)
（1）观察图2请你写出(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是
（2）根据(1)中的结论，若x+y=5，xy= ，则(x-y)2=
（3）拓展应用：若(2019-m)2+(m-2020)2=7，求(2019-m)(m-2020)的值．
【答案】（1）（a+b）2 ＝（a﹣b）2+4ab
（2）16
（3）解：∵（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，
又（2019﹣m+m﹣2020）2＝（2019﹣m）2+（m﹣2020）2+2（2019﹣m）（m﹣2020），
∴1＝7+2（2019﹣m）（m﹣2020），
∴（2019﹣m）（m﹣2020）＝﹣3．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（2） (x-y)2=（x+y）2 - 4xy=52-4×=16.
【分析】（1）根据大正方形的面积=小正方形的面积+四个长方形的面积即得结论；
（2）由（1）知 (x-y)2=（x+y）2 - 4xy，然后代入计算即可；
（3）由（2019﹣m+m﹣2020）2＝（2019﹣m）2+（m﹣2020）2+2（2019﹣m）（m﹣2020），将（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7代入计算即可.
1 / 114.2.2 完全平方公式 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021七下·莲湖期末）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．（﹣2b2）3＝﹣8b6 B．4a4÷2a2＝2a
C．2a 4a＝8a D．（a+b）2＝a2+b2
2．（2021七下·沙坪坝期中）若 ， ，则 （ ）
A．5 B．10 C．13 D．22
3．（2021八上·隆昌月考）已知 ， ， ，那么 的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2021八上·西安开学考）已知 ，则代数式 的值是
A． B． C． D．
5．（2021八下·南岸期末）如图，有三种规格的卡片共25张，其中边长为a的正方形卡片9张，边长为b的正方形卡片4张，长，宽分别为a，b的长方形卡片12张，现使用这25张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021七下·苏州期末）若多项式
是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．12 B．±12 C．6 D．±6
7．（2021·路南模拟）观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b， ，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ）
A． B．
C． D．
8．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
二、填空题
9．（2021七下·岳阳期末）计算 的结果为
10．（2021七下·嘉兴期末）已知a﹣b＝7，ab＝2，则（a+b）2＝ ．
11．（2020八上·重庆月考）如果代数式x2+mx+9＝（x+b）2，那么m的值为 .
12．（2021七下·萧山期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 .若 ，则 ＋ ＝ ；当 ＋ ＝40时，则图3中阴影部分的面积 .
三、解答题
13．（2021·射阳模拟）已知 ， ， ，求代数式 的值.
14．（2021八上·宜城期末）已知 ，求 的值.
四、综合题
15．（2021八上·汽开区期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)
（1）观察图2请你写出(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是
（2）根据(1)中的结论，若x+y=5，xy= ，则(x-y)2=
（3）拓展应用：若(2019-m)2+(m-2020)2=7，求(2019-m)(m-2020)的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；积的乘方
【解析】【解答】解：A、原式＝﹣8b6，符合题意；
B、原式＝2a2，不符合题意；
C、原式＝8a2，不符合题意；
D、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据积的乘方法则“积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”、单项式除以单项式的法则“单项式除以单项式，把系数与相同的字母分别相除，对于只在被除式里含有的字母则连同指数作为商的一个因式”、单项式乘以单项式的法则“单项式乘以单项式，把系数与相同的字母分别相乘，对于只在某一个因式中里含有的字母则连同指数作为积的一个因式”、完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”，逐项进行计算，即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】由完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2-2ab，然后代入进行计算.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，将待求式变形为(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2，据此计算.
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：A.
【分析】待求式可变形为(a+2b)2-2，然后将已知条件代入进行计算.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】9张边长为a的正方形卡片总面积为 ，4张边长为b的正方形卡片的总面积为 ，12张长、宽分别为a、b的长方形卡片的总面积为12ab，则25张卡片的总面积为 ，而 ，所以用这25张卡片拼成一个大的正方形的边长为3a+2b.
故答案为：D.
【分析】先分别计算这3种规格的卡片的总面积，则可得出这25张卡片的总面积为9a2 +12ab + 4b2，由于这是一个完全平方式，从而可得25张卡片所拼成的大正方形的边长.
6．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵9x2-mx+4是一个完全平方式，
∴-m=±12，
∴m=±12.
故答案为：B.
【分析】利用完全平方的结构特征解答即可.
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】标记如下：
∵ ，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4
＝a2﹣2ab+b2．
故答案为：C．
【分析】先求出（a﹣b）2＝a2+b2﹣4 ，再求解即可。
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．
【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即总不小于2
9．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ；
故答案为 ： .
【分析】利用完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”进行计算，即可得出答案.
10．【答案】57
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： （a+b）2＝ a2+2ab+b2
=a2-2ab+b2+4ab
=（a-b）2+4ab
=49+8
=57，
故答案为：57.
【分析】先根据完全平方公式展开，再根据（a-b）2=a2-2ab+b2配方将原式变形，最后代值计算即可.
11．【答案】±6
【知识点】完全平方公式及运用；多项式的项和次数
【解析】【解答】解：已知等式整理得：x2+mx+9＝（x+b）2= x2±2×3x+9=（x±3）2，
可得m＝±2×3×1，
则m＝±6.
故答案为：±6.
【分析】由完全平方公式“a22ab+b2=（ab）2”可求解.
12．【答案】34；20
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】① ，
＋ ＝
＋ ＝
②
＋ ＝ =40
，
故答案为：34；20.
【分析】 观察三个图形，分别表示出阴影部分的面积S1，S2，S3，再求出S1+S2，利用配方法将其转化为用含a+b和ab的代数式表示，然后整体代入求值；将S3转化为然后整体代入求值即可.
13．【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
则原式
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】由已知条件可得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，将待求式变形为(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2，据此计算.
14．【答案】解：∵①， ②，
①+②得 ，
①-②得 ，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式将两个等式的左边展开 ，然后将两个等式相加可以得出 ， 将两个等式相减可以得出 ， 从而整体代入即可算出答案.
15．【答案】（1）（a+b）2 ＝（a﹣b）2+4ab
（2）16
（3）解：∵（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，
又（2019﹣m+m﹣2020）2＝（2019﹣m）2+（m﹣2020）2+2（2019﹣m）（m﹣2020），
∴1＝7+2（2019﹣m）（m﹣2020），
∴（2019﹣m）（m﹣2020）＝﹣3．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（2） (x-y)2=（x+y）2 - 4xy=52-4×=16.
【分析】（1）根据大正方形的面积=小正方形的面积+四个长方形的面积即得结论；
（2）由（1）知 (x-y)2=（x+y）2 - 4xy，然后代入计算即可；
（3）由（2019﹣m+m﹣2020）2＝（2019﹣m）2+（m﹣2020）2+2（2019﹣m）（m﹣2020），将（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7代入计算即可.
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