2021-2022学年人教版九年级数学 上册第二十四章 圆24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共46张PPT)

(共46张PPT)
人教版数学 九年级上册
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
导入新知
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
学习目标
实践探究
　 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
新知一 圆的轴对称性
合作探究
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆的对称性
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
●O
说一说
（2）如何来证明圆是轴对称图形呢？
B
O
A
C
D
E
是轴对称图形．
大胆猜想
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．
【思考】左图是轴对称图形吗？
满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？
证明：连结OA、OB.
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
B
O
A
C
D
E
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相
等的线段和劣弧 为什么
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
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⌒
理由：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
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·
O
A
B
D
E
C
新知二 垂径定理及其推论
合作探究
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
D
C
O
E
A
B
O
E
C
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
归纳总结
【思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
一条直线
过圆心
垂直于弦
平分弦
平分线所对的优弧
平分弦所对的劣弧
具备其中两条
其余三条成立
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法.
已知:
求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ AC=BC ⑤ AD=BD
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⌒
⌒
证明猜想
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
B
D
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE， OE=OE
∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
证明举例
⌒
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
证明：
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm.
·
O
A
B
E
16
垂径定理及其推论的计算
典例精析
如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴ .
设OC=x cm，则OD= x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
巩固练习
例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM.
∴AC＝BD.
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平行弦夹的弧相等
利用垂径定理及推论证明相等
典例精析
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
O
O
O
A
A
A
B
B
B
C
C
D
E
M
N
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证: 四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
又　∵AC = AB,
∴ AE = AD.
∴ 四边形ADOE为正方形.
证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，
∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.
∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD= AB.
巩固练习
例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗
垂径定理的实际应用
典例精析
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得 R≈27.3.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2
∴ AD= AB=18.5m，
OD=OC-CD=R-7.23.
OA2=AD2+OD2
如图a、b,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿ ＿ ＿＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
5cm或12cm
巩固练习
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
d+h=r
O
A
B
C
·
归纳总结
A
B
C
D
O
h
r
d
1. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
5cm
2. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
10
课堂练习
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
14cm或2cm
4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE.
即 AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③
平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优
弧;⑤平分弦所对的劣弧. “知二推三”
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
归纳新知
1．下列说法正确的是( )
A．垂直于弦的直线平分所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
D
课后练习
2．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
A
3．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为__________．
24
4．如图，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上两点，且AC＝BD，求证：∠C＝∠D.
C
6．(教材P83T2变式)如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD为( )
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
C
7．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸(ED＝1寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)，问这块圆形木材的直径是多少？”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是( )
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
C
8．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高CD为5米，则圆拱形门所在圆的半径是_________米．
2.6
9．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
D
C
11．(2020·滨州)在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C.若OC∶OB＝3∶5，则DE的长为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．15
C
12．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，连接AP，PB，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．
4
13．(2020·湖州)如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10.则CD与AB之间的距离是________.
3
14．如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工人师傅求出所在⊙O的半径r.
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，若AC＝6，BC＝8，求AD的长．
2或14
再 见