15.3 分式方程 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021八下·罗湖期末）有下列方程：① ；② ；③ ；④ ．属于分式方程的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】 ① 是整式方程 ；② 是分式方程；
③ 是分式方程；④ 是整式方程 ．
∴分式方程有②③.
故答案为：B.
【分析】分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，据此逐一判断即可.
2．（2021·福建模拟）下列解分式方程 的步骤中，错误的是（ ）
A．找最简公分母：
B．去分母：
C．计算方程的根：
D．验根：当 时，方程 成立
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】该分式方程的最简公分母是2- x， 故A正确，不符合题意；
分式两边同时乘以2-x ，得： -x+2=0 ， 故B正确，不符合题意；
由B选项即可得出x=2， 故C正确，不符合题意；
当x=2时，2-x=0， 故该分式方程无解，故D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据解分式方程的步骤逐一判断即可。
3．（2021·东阳模拟）解分式方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以 可得： .
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质，将两边同乘以最简公分母 ，即可解答.
4．（2021·北部湾模拟）甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做 个零件，则可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲每天做x个零件，根据题意得： ，
故答案为：A.
【分析】根据题中的相等关系“ 甲做480个零件所用的时间=乙做360个零件所用的时间 ”可列方程，结合各选项即可判断求解.
5．（2021九上·沙坪坝月考）若关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程 解为整数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组每个不等式得：
由题意得：
所以不等式组仅有的4个整数解为0，1，2，3
∴
解得：
因a为整数，故a取值为：-1，0，1，2，3
解关于y的分式方程 ，得
∴a+6=5，6，7，8，9
∵分式方程的解 为整数
∴a+6=6或9
此时对应a的值为：0和3
但当a=0时，y=2，它是分式方程的增根，
所以满足条件的整数a只有1个.
故答案为：A.
【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组仅有4个整数解可得a的范围，进而得到a的整数值，求出分式方程的解，根据其解为整数可得a的值，据此解答.
6．（2021九上·成都开学考）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C．-2 D．-1
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘 得： ，①
方程有增根，
，
即 ；
把 代入①，得 .
故答案为：D.
【分析】将分式方程化为整式方程可得x-2(x-1)=-k，根据方程有增根可得x=1，代入求解就可得到k的值.
7．（2021·巴中）关于x的分式方程 3＝0有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以 得： ，
∴ ，
∵分式方程有解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】求解分式方程可得4x=m-6，由分式方程有解可得x≠2，据此可得关于m的不等式，求解即可.
8．（2021七下·鄞州期末）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定的时间.设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设规定时间为x天，由题意得
，
故答案为：A.
【分析】此题的等量关系为：快马的速度=慢马的速度×2；设未知数，列方程即可.
9．（2021·陆良模拟）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（ ）
A．2 B．3 C． D．8
【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得x≥5，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解方程 得 ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、±3，
解得：a=3或5或-1或1，
又a＜5，所以a只能为-1、1或3
∴所有满足条件的a值的积为 =-3，
故答案为：C．
【分析】解题关键熟练掌握解不等式组和分式方程的基本技能，求出符合条件的a值。注意使分母为0的x值是为增根，舍去。
二、填空题
10．（2021七下·镇海期末）分式 等于零，则x的值为 ．
【答案】x=1
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得x=1，
故答案为：x=1.
【分析】根据分式的性质列出方程即可求解.
11．（2021·襄城模拟）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列方程为 .
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，
由题意得：
，
故答案为： .
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程.
12．（2021九上·成都开学考）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数 的和为 .
【答案】-2
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
解集为 ，
，
；
分式方程两边都乘以 得： ，
解得： ，
分式方程有非负整数解，
， 为整数，
， 为偶数，
，
，
综上所述， 且 且 为偶数，
符合条件的所有整数 的数有： ，0，
和为 .
故答案为：-2.
【分析】求出两个不等式的解集，结合不等式组的解集可得a<3，然后求出分式方程的解，根据分式方程有非负整数解可得且 为整数，据此不难得到a的值，进而求出其和.
13．（2021·雅安）若关于x的分式方程 的解是正数，则k的取值范围是 .
【答案】k＜4且k≠0
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
根据题意 且
∴
∴
∴k的取值范围是k＜4且k≠0.
【分析】先求出分式方程的解为，根据方程的解x＞0且x≠2，列出不等式组，求出k的范围即可.
14．（2021八下·乐山期中）甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目的地？（ ）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.
其中正确的结论是 ．（只需填入序号）
【答案】②
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设总路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n，
甲：，
乙：，整理得
甲到达用的时间更多，所以乙先到。
【分析】本题需要根据甲乙各自路程、速度、时间的关系，整理出各自到达目的地用的总时间，然后进行比较，具体计算过程中运用到了分式的运算、偶次幂的非负性，要学会用做差的方法进行比较大小。
三、计算题
15．（2021八上·安庆开学考）解关于x的方程： ＝2+ ．
【答案】解：方程两边都乘以x﹣3，得1＝2（x﹣3）﹣x，
解得：x＝7，
检验：当x＝7时，x﹣3≠0，
所以x＝7是原方程的解，
即原方程的解是x＝7．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，即可得出x的值，再将x的值代入检验即可。
四、解答题
16．（2021九上·吉林月考）某服装厂准备加工260套运动服，在加工了60套后，采用新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了8天完成，求该厂原来每天加工多少套运动服．
【答案】解：设该厂原来每天加工 套运动服，则采用新技术后每天加工 套运动服．
根据题意得：
解这个方程得 ，
经检验： 是原方程的根．
答：该厂原来每天加工20套运动服．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设该厂原来每天加工 套运动服，则采用新技术后每天加工 套运动服，根据题意列出分式方程求解即可。
17．（2021·永州）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物.预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩？
【答案】解：设2022年A种经济作物应种植x亩，则B种经济作物应种植（30﹣x）亩，
根据题意，得 +2＝ .
解得x＝20或x＝﹣15（舍去）.
经检验x＝20是原方程的解，且符合题意.
所以30﹣x＝10.
答：2022年A种经济作物应种植20亩，则B种经济作物应种植10亩.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设2022年A种经济作物应种植x亩，根据题意，得 +2＝ ，求解即可.
1 / 115.3 分式方程 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021八下·罗湖期末）有下列方程：① ；② ；③ ；④ ．属于分式方程的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．（2021·福建模拟）下列解分式方程 的步骤中，错误的是（ ）
A．找最简公分母：
B．去分母：
C．计算方程的根：
D．验根：当 时，方程 成立
3．（2021·东阳模拟）解分式方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·北部湾模拟）甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做 个零件，则可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·沙坪坝月考）若关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程 解为整数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021九上·成都开学考）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C．-2 D．-1
7．（2021·巴中）关于x的分式方程 3＝0有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
8．（2021七下·鄞州期末）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定的时间.设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·陆良模拟）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（ ）
A．2 B．3 C． D．8
二、填空题
10．（2021七下·镇海期末）分式 等于零，则x的值为 ．
11．（2021·襄城模拟）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列方程为 .
12．（2021九上·成都开学考）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数 的和为 .
13．（2021·雅安）若关于x的分式方程 的解是正数，则k的取值范围是 .
14．（2021八下·乐山期中）甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目的地？（ ）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.
其中正确的结论是 ．（只需填入序号）
三、计算题
15．（2021八上·安庆开学考）解关于x的方程： ＝2+ ．
四、解答题
16．（2021九上·吉林月考）某服装厂准备加工260套运动服，在加工了60套后，采用新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了8天完成，求该厂原来每天加工多少套运动服．
17．（2021·永州）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物.预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】 ① 是整式方程 ；② 是分式方程；
③ 是分式方程；④ 是整式方程 ．
∴分式方程有②③.
故答案为：B.
【分析】分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，据此逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】该分式方程的最简公分母是2- x， 故A正确，不符合题意；
分式两边同时乘以2-x ，得： -x+2=0 ， 故B正确，不符合题意；
由B选项即可得出x=2， 故C正确，不符合题意；
当x=2时，2-x=0， 故该分式方程无解，故D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据解分式方程的步骤逐一判断即可。
3．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以 可得： .
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质，将两边同乘以最简公分母 ，即可解答.
4．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲每天做x个零件，根据题意得： ，
故答案为：A.
【分析】根据题中的相等关系“ 甲做480个零件所用的时间=乙做360个零件所用的时间 ”可列方程，结合各选项即可判断求解.
5．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组每个不等式得：
由题意得：
所以不等式组仅有的4个整数解为0，1，2，3
∴
解得：
因a为整数，故a取值为：-1，0，1，2，3
解关于y的分式方程 ，得
∴a+6=5，6，7，8，9
∵分式方程的解 为整数
∴a+6=6或9
此时对应a的值为：0和3
但当a=0时，y=2，它是分式方程的增根，
所以满足条件的整数a只有1个.
故答案为：A.
【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组仅有4个整数解可得a的范围，进而得到a的整数值，求出分式方程的解，根据其解为整数可得a的值，据此解答.
6．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘 得： ，①
方程有增根，
，
即 ；
把 代入①，得 .
故答案为：D.
【分析】将分式方程化为整式方程可得x-2(x-1)=-k，根据方程有增根可得x=1，代入求解就可得到k的值.
7．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以 得： ，
∴ ，
∵分式方程有解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】求解分式方程可得4x=m-6，由分式方程有解可得x≠2，据此可得关于m的不等式，求解即可.
8．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设规定时间为x天，由题意得
，
故答案为：A.
【分析】此题的等量关系为：快马的速度=慢马的速度×2；设未知数，列方程即可.
9．【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得x≥5，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解方程 得 ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、±3，
解得：a=3或5或-1或1，
又a＜5，所以a只能为-1、1或3
∴所有满足条件的a值的积为 =-3，
故答案为：C．
【分析】解题关键熟练掌握解不等式组和分式方程的基本技能，求出符合条件的a值。注意使分母为0的x值是为增根，舍去。
10．【答案】x=1
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得x=1，
故答案为：x=1.
【分析】根据分式的性质列出方程即可求解.
11．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，
由题意得：
，
故答案为： .
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程.
12．【答案】-2
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
解集为 ，
，
；
分式方程两边都乘以 得： ，
解得： ，
分式方程有非负整数解，
， 为整数，
， 为偶数，
，
，
综上所述， 且 且 为偶数，
符合条件的所有整数 的数有： ，0，
和为 .
故答案为：-2.
【分析】求出两个不等式的解集，结合不等式组的解集可得a<3，然后求出分式方程的解，根据分式方程有非负整数解可得且 为整数，据此不难得到a的值，进而求出其和.
13．【答案】k＜4且k≠0
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
根据题意 且
∴
∴
∴k的取值范围是k＜4且k≠0.
【分析】先求出分式方程的解为，根据方程的解x＞0且x≠2，列出不等式组，求出k的范围即可.
14．【答案】②
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设总路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n，
甲：，
乙：，整理得
甲到达用的时间更多，所以乙先到。
【分析】本题需要根据甲乙各自路程、速度、时间的关系，整理出各自到达目的地用的总时间，然后进行比较，具体计算过程中运用到了分式的运算、偶次幂的非负性，要学会用做差的方法进行比较大小。
15．【答案】解：方程两边都乘以x﹣3，得1＝2（x﹣3）﹣x，
解得：x＝7，
检验：当x＝7时，x﹣3≠0，
所以x＝7是原方程的解，
即原方程的解是x＝7．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，即可得出x的值，再将x的值代入检验即可。
16．【答案】解：设该厂原来每天加工 套运动服，则采用新技术后每天加工 套运动服．
根据题意得：
解这个方程得 ，
经检验： 是原方程的根．
答：该厂原来每天加工20套运动服．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设该厂原来每天加工 套运动服，则采用新技术后每天加工 套运动服，根据题意列出分式方程求解即可。
17．【答案】解：设2022年A种经济作物应种植x亩，则B种经济作物应种植（30﹣x）亩，
根据题意，得 +2＝ .
解得x＝20或x＝﹣15（舍去）.
经检验x＝20是原方程的解，且符合题意.
所以30﹣x＝10.
答：2022年A种经济作物应种植20亩，则B种经济作物应种植10亩.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设2022年A种经济作物应种植x亩，根据题意，得 +2＝ ，求解即可.
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