人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数22.3实际问题与二次函数--拱桥问题训练（word版含答案）

人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数--拱桥问题训练
1．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示)，求抛物线的解析式；
(2)求支柱的长度；
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由.
2．如图，一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽BC＝10米，矩形部分高AB＝3米，抛物线型的最高点E离地面OE＝6米，按如图建立一个以BC为x轴，OE为y轴的直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果该隧道内设有双车道，现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？
3．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是，宽是，抛物线可以用表示．
一辆货运卡车高，宽，它能通过该隧道吗？
如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
4．建立适当的坐标系，运用函数知识解决下面的问题：
如图，是某条河上的一座抛物线形拱桥，拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时，水面宽AB为6米，一场大雨过后，河水上涨，水面宽度变为CD，且CD=2米，此时水位上升了多少米？
5．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20 m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，这时水面宽度为10 m.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时0.3 m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？
6．如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式．
7．如图，东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12 m，宽OB为4 m，隧道顶端D到路面的距离为10 m，建立如图所示的直角坐标系．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)一辆货车载有一个长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6 m，宽为4 m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排离地面高度相等的灯，如果灯离地面的高度不超过8.5 m，那么这两排灯的水平距离最小是多少米？
8．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　 　，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
9．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型. 已知这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米.
(1)如果设计成抛物线型,以AB所在直线为x轴, AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式;
（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径;
（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度.
10．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图:
(1)如图建立平面直角坐标系，使抛物线对称轴为y轴，求该抛物线的解析式；
(2)若需要开一个截面为矩形的门（如图所示），已知门的高度为1．60米，那么门的宽度最大是多少米（不考虑材料厚度） （结果保留根号）
11．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，桥洞与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面的景观灯，把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离．
12．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系h＝－(t－19)2＋8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
13．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
14．有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系（如图所示）.
（1）请你直接写出O、A、M三点的坐标；
（2）一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面同一平面）？
15．一隧道内设双行公路，隧道的高MN为6米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的，矩形的长DE是8米，宽CD是2米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离．若行车道总宽度PQ（居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG，使H、G两点在抛物线上，A、B两点在地面DE上，设GH长为n米，“脚手架”三根木杆AG、GH、HB的长度之和为L，当n为何值时L最大，最大值为多少？
16．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高为4.4 m.
(1)以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；
(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门．
17．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的函数表达式．
18．如图：河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB＝6m，建立如图所示的坐标系．
（1）当水位上升0.5m时，求水面宽度CD为多少米？（结果可保留根号）
（2）有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若这船宽（最大宽度）2米，从水面到棚顶高度为1.8米．问这艘船能否从桥下洞通过？
参考答案
1．
解：(1)根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（－10，0）、（10，0）、（0，6）.
设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，
将B、C的坐标代入y＝ax2＋c，得
解得a＝，c＝6.
所以抛物线的表达式是y＝x2＋6.
(2)可设，于是,
从而支柱EF的长度是10－4.5＝5.5米.
(3)设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则G点坐标是.
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则.
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
2．
（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+c．
∵点E（0，6），点A（﹣5，3）在此抛物线上，∴，得：，∴此抛物线的解析式为y6；
（2）当x＝±3时，y6＝4.92＞4.5，即这辆货运卡车能顺利通过隧道．
3．
解：把代入得：
，
解得，
∴此时可通过物体的宽度为，
∴能通过；
∵一辆货运卡车高，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是，宽是，
∴货车上面有，在矩形上面，当时，
，
解得，
∵，
∴能通过．
4．
以点E为原点、EF所在直线为y轴，垂直EF的直线为x轴建立平面直角坐标系，
根据题意知E（0，0）、A（﹣3，﹣3）、B（3，﹣3），
设y=kx2（k＜0），
将点（3，﹣3）代入，得：k=﹣，
∴y=﹣x2，
将x=代入，得：y=﹣2，
∴上升了1米．
5．
解：（1）设所求抛物线的解析式为y＝ax2.
∵CD＝10 m，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，
∴C(－5，－1)．
把点C的坐标代入y＝ax2，
得a＝－，
故抛物线的解析式为y＝－x2.
（2）∵AB宽20 m，
∴可设A(－10，b)．
把点A的坐标代入抛物线的解析式y＝－x2中，
解得b＝－4，
∴点A的坐标为(－10，－4)．
设AB与y轴交于点F，则F(0，－4)，
∴EF＝3 m.
∵水位以每小时0.3 m的速度上升，
∴3÷0.3＝10(时)．
答：从正常水位开始，持续10小时到达警戒线．
6．
试题解析：设抛物线解析式为
把点代入解析式得：
解得：
∴抛物线的解析式为
7．
试题分析：（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；
（2）令x=10，求出y与6作比较；
（3）求出y=8.5时x的值即可得．
试题解析：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），
设抛物线解析式为：y=+10，
将点B（0，4）代入，得：36a+10=4，
解得：a=，
故该抛物线解析式为y=+10；
（2）根据题意，当x=6+4=10时，y=×16+10=＞6，
∴这辆货车能安全通过．
（3）当y=8.5时，有：+10=8.5，
解得：=3，=9，
∴﹣=6，
答：两排灯的水平距离最小是6米．
考点：二次函数的应用．
8．
：解：方案1：（1）点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；
（2）由题意：把代入，解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
方案2：（1）点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：．
由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；
（2）由题意：把代入解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
方案3：（1）点B的坐标为（5， ），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．
设抛物线的解析式为：，把点B的坐标（5， ），代入解析式可得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由题意：把代入解得：=，∴水面上涨的高度为3.2m．
9．
解析：（1）抛物线的解析式为y=ax2+c，
又∵抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0），
∴0=256a+8，a=-．
∴抛物线的解析式为y=-x2+8（-16≤x≤16）；
（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，
设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2
∴R2=（R-8）2+162，解得R=20；
（3）①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x=OE=16-4=12，
EF=y=3.5米；
②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH=D E′=16-4=12，O F′=R=20，
在Rt△OH F′中，H F′= ，
∵HE′=OD=OC-CD=20-8=12，E′F′=HF′-HE′=16-12=4（米）
∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米．
10．
解：（1）由图可设抛物线的解析式为：y=ax2+2，
由图知抛物线与x轴正半轴的交点为（2，0），则：a×22+2=0，
∴a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2；
（2）当y=1.60时，知1.6=﹣x2+2，
解得：x=，
所以门的宽度最大为2×=米．
考点：二次函数的应用．
11．
（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，得：a=﹣，∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10），即（0≤x≤10）；
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，∴4=﹣（x﹣5）2+5，∴（x﹣5）2=1，∴x1=，x2=，∴两景观灯间的距离为 ﹣=5米．
12．
二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系．
（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解．
（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．
13．
（1）∵M（12，0），P（6，6）．
∴设这条抛物线的函数解析式为y=a(x－6)2+6，
∵把（0，0）代入解得a=－，
∴这条抛物线的函数解析式为y=－(x－6)2+6，
即y=－x2+2x（0≤x≤12）；
（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时，y=4.5＜5
∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；
（3）设点A的坐标为（m，－m2+2m），
∴OB=m，AB=DC=－m2+2m
根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m，
∴BC=12－2m，即AD=12－2m
∴L=AB+AD+DC=－m2+2m+12=－(m－3)2+15
∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．
14．
解：（1）0（0，0），A（6，0），M（3，3）．
（2）设抛物线的关系式为y=a（x-3）2+3，
因为抛物线过点（0，0），
所以0=a（0-3）2+3，
解得a=,
所以，
要使木板堆放最高，依据题意，得B点应是木板宽CD的中点，
把x=2代入，
得，所以这些木板最高可堆放米.
15．
解：（1）由题意得M（0，4），F（4，0）
可设抛物线的解析式为y=ax2+4，
将F（4，0）代入y=ax2+4中，得a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4；
（2）当x=3，y=，
+2-=3.253.2，∴能安全通过；
（3）由GH=n，可设H（），
∴GH+GA+BH=n+（）×2+2×2=，
∴L=，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴当n=-=4时，L有最大值，最大值为14．
16．
解：(1)如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A，B，C的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)．
设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋2)．
将点C(0，4.4)代入得
a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a＝－1.1，
∴y＝－1.1(x－2)(x＋2)＝－1.1x2＋4.4.
故此抛物线的表达式为y＝－1.1x2＋4.4.
(2)∵货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4，
∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可．
将x＝1.2代入抛物线，得 y＝2.816＞2.8，
∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内．
∴这辆汽车能够通过大门．
17．
解：设此抛物线所对应的函数表达式为：，
∵，涵洞顶点到水面的距离为，
∴点坐标应该是，
把点代入得：，
解得：，
故涵洞所在抛物线的函数表达式．
18．
(1)设抛物线形桥洞的函数解析式为y=ax2+c，
把A(3,0),E(0,3)代入得：
解得：
∴
由题意得：点C与D的纵坐标为0.5，
∴
解得：
∴(米)，
则水面的宽度CD为米；
(2)当x=1时,
∵
∴这艘游船能从桥洞下通过.
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