人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数22.3实际问题与一元二次方程--图形运动问题训练（word版含答案）

人教版九年级上册数学22.3实际问题与一元二次方程--图形运动问题训练
1．如图所示，在中，，厘米，．点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，当点运动到点时停止，点也同时停止．
（1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于平方厘米？
（2）如果点，分别从点，同时出发，问第几秒时，四边形的面积最小？其最小面积为多少？
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
（1）①当运动停止时，t的值为 ；
②设P、C之间的距离为y，则y与t满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；
（2）设△PCQ的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
3．如图（单位：），等腰直角三角形以的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合．设时，三角形与正方形重叠部分的面积为．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
4．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=4cm，BC=3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连结PQ．若设运动时间为t（s）（0（1）当t为何值时？PQ//BC？
（2）设△APQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系？
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的周长和面积同时平分？若存在求出此时t的值；若不存在，说明理由．
（4）如图2，连结PC，并把△PQC沿AC翻折，得到四边形PQP'C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在求出此时t的值；若不存在，说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
6．如图，在矩形中，，，点、分别是边和边上的
（1）当时，求的值；
（2）当线段的垂直平分线与边相交时，求的取值范围；
（3）当线段的垂直平分线与相交时，设交点为，联结，，设的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围.
7．如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P运动到B时，P，Q两点停止运动，设P点运动时间为t(s)．
(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
(2)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y关于t的函数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小面积．
8．如图，在直角坐标系xOy中有一梯形ABCO，顶点C在x正半轴上，A、B两点在第一象限；且AB∥CO，AO＝BC＝2，AB＝3，OC＝5．点P在x轴上，从点（﹣2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动；同时，过点P作直线l，使直线l和x轴向正方向夹角为30°．设点P运动了t秒，直线l扫过梯形ABCO的面积为S扫．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t＝2秒时，求S扫的值；
（3）求S扫与t的函数关系式，并求出直线l扫过梯形ABCO面积的时点P的坐标．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=6m，BC=12m，点P从点A出发沿AB边向B以1m/s的速度运动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2m/s的速度运动，P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止运动，设经过ts时，△PBQ的面积为Sm2，则
（1）S与t的函数解析式为：S=_________；
（2）用表格表示：
t/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S/m2
（3）用图象表示：
（4）在这个问题中，自变量t的取值范围是______；图象的对称轴是_______，顶点坐标是________；当t<______时，S的值随t值的增大而_______；当t>______时，S的值随t值的增大而_______（填“增大”或“减小”）；当t=______时，S取得最大值为_______．
10．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，
边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度．把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后
得△AA1B．
（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．
11．如图，在中，，米，米，动点以米/秒的速度从点出发，沿向点移动.同时，动点以米/秒的速度从点出发，沿向点移动.当其中有一点到达终点时，另一点也随之停止移动.设移动的时间为秒.
（1）①当秒时，求的面积；
②求的面积（米）关于时间（秒）的函数表达式.
（2）在点移动的过程中，当为何值时，为等腰三角形？
12．如图，已知梯形ABCD中，，，，.
（1）求BC的长度.
（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/s的速度运动，当P，Q分别从B，C同时出发时，求出△PQC的面积S与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.
（3）写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t（s）之间的函数关系式.（不包含点P在B，C两点的情况）
13．如图，在中，，点P从点A开始，沿AB向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC 以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发：
几秒后四边形APQC的面积是31平方厘米；
若用S表示四边形APQC的面积，在经过多长时间S取得最小值？并求出最小值．
14．如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，沿A→B→C路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿O→E→D路线运动到点D停止．若P，Q两点同时出发，且点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s.
(1)直接写出B，C，D三个点的坐标；
(2)当P，Q两点出发s时，试求三角形PQC的面积；
(3)设两点运动的时间为ts，用含t的式子表示运动过程中三角形OPQ的面积S(单位：cm2)．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝90°．动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为ts，四边形APQC的面积为ycm2 ．
(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形
(2)①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当t为何值时，y取得最小值？最小值为多少？
(3)设PQ的长为xcm，试求y与x的函数关系式．
16．如图所示，已知在直角梯形 OABC 中，AB∥OC，BC⊥x 轴于点 C．A（1，1）、B（3，1）．动点 P 从 O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动．过 P 点作 PQ 垂直于直线 OA，垂足为 Q，设 P 点移动的时间为t 秒（0＜t＜4），△OPQ 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S．
（1）求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式；
（2）求 S 与 t 的函数关系式；
（3）将△OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90°，是否存 t，使得△OPQ 的顶点 O 或 Q在抛物线上，若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由．
17．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h)-4(a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx的顶点为C(1，﹣1)，P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；
(3)如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
参考答案
1．
解：（1）设秒后，的面积等于，则：
，， ．
，即，
解得：或（秒不合题意，舍去），
故秒后，的面积等于．
（2）由（1）得，
.
开口向上，时，.
故秒后，四边形的面积最小为．
2．
解：（1）①运动停止时，分别到达终点点和B点，
故答案为
②由题意可得：，，即，∴y与t满足一次函数的关系
故答案为一次函数
（2）①由题意可得：，
△PCQ的面积
故答案为：
②由二次函数的性质可得：，开口向下，对称轴为
∴当时，取得最大值，最大值为
3．
解：（1）因为三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x，
所以y=×2x×2x=2x2；
（2）在y=2x2中，
当x=2时，y=8；
当x=3.5时，y=24.5；
（3）在y=2x2中，
因为当y=50时，2x2=50，
所以x2=25，
解得x=5s（负值舍去）．
即当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5s．
4．
解：（1）连接PQ，
若=时，PQ//BC，即=，
∴t=
（2）过P作PD⊥AC于点D，则有=，
即=，
∴PD=（5-t）
∴y=·2t·（5-t）=-+3t（0（3）若平分周长则有：
AP+AQ=（AB+AC+BC），
即：5－t+2t=6，
∴t=1
当t=1时，y=3.4；而三角形ABC的面积为6，显然不存在．
（4）过P作PD⊥AC于点D，若QD=CD，则PQ=PC，四边形PQP'C就为菱形．
同（2）方法可求AD=（5-t），所以：
（5-t）-2t=4-（5-t）；
解之得：t=．
即t=时，四边形PQP'C为菱形．
5．
解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
6．
解：（1）当时，则
，，
又，
∴四边形是矩形.
∴.
∵，
，
∴.
（2）如图：
设的垂直平分线交于点，联结、，则，设
∴BP=8-x，BE=6-y
在Rt△PEB和Rt△QEC中，
∴
∴.
∵，
∴.
∴.
（3）由题意可知：
∴
∴
又∵
∴
∴.
∵抛物线开口向上
∴当时，有最小值12；
当或时.有最大值；
∴.
7．
(1)由题意可知，∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝tcm.若△PBQ是直角三角形，则∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°，于是BQ＝BP或BP＝BQ，即t＝ (3－t)或3－t＝t.解得t＝1或t＝2，即当t为1或2时，△PBQ是直角三角形．
(2)如图，过点P作PM⊥BC于点M，
则易知BM＝BP＝ (3－t)cm.
∴PM＝＝ (3－t)cm.
∴S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ＝×3×－t· (3－t)＝t2－t＋，即y＝t2－t＋，易知0于是y=（t-）2+
∴当t＝时，y取得最小值，为
即当t为时，四边形APQC的面积最小，最小面积为cm2.
8．
（1）过A作AD⊥OC于D，过B作BE⊥OC于E，则ADEB是矩形．
∵ADEB是矩形，∴AD=BE=3．
∵AO=BC，∴△AOD≌△BCE，∴OD=CE=（OC－AB）÷2=1．
∵AO=2，∴AD==，∴A（1，）．
∵OE=OD+DE=1+3=4，BE=AD=，∴B（4，）．
∵BC=2EC，∴∠EBC=30°，∴∠OCB=60°．
（2）当t＝2时，P、O两点重合，如果设直线l与AB的交点为D，那么AD＝2，而AD边上的高就是A点的纵坐标，∴S扫==．
（3）分三种情况讨论：①当0≤t＜2时，如图1，△AEF∽△AOD，，∴S扫t2；
②当2≤t＜3时，如图2，S扫＝S△AOD+S□DOPF（t﹣2），∴S扫；
③当3≤t≤7时，如图3，过B作直线EB∥直线l交OC于E．
∵∠BEC=30°，∠OCB=60°，∴∠CBE=90°，∴EC=2BC=4，∴S△CEB=，CP=7－t．
∵MP∥BE，∴，∴S△CPM＝，∴S扫＝4S△CPM＝4，∴S扫t2
综上所述： ．
∵t2，∴t2﹣14t+41＝0，t1＝7﹣2，t2＝7+27（舍），∴P的坐标为（5﹣2，0）．
9．
试题分析:(1)根据t秒时,P,Q两点的运动路程,分别表示PB,BQ的长度,可得△BPQ的面积S,
(2)把t的值代入解析式可求得对应的S,
(3)通过表格,描点,连线即可求解,
(4)根据二次函数的图象性质可求解.
试题解析:(1)第t秒时,AP=t,则PB=6－t,BQ=2t,所以S=－t2+6t ,
（2）
t/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S/m2 5 8 9 8 5 0 －7 －16 －27
（3）略
（4）0≤t≤6,t=3,（3,9）,3,增大,3,减小,3,9.
10．
（1）由题意可知，A（1，0），A1（2，0），B1（2，1），
设以A为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-1）2；
∵此抛物线过点B1（2，1），
∴1=a（2-1）2，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）2；
（2）∵当x=0时，y=（0-1）2=1，
∴D点坐标为（0，1），
由题意得OB在第一象限的角平分线上，
故可设C（m，m），
代入y=（x-1）2；得m=（m-1）2；
解得m1=＜1，m2=＞1（舍去）．
故C点坐标为（，）．
考点：二次函数综合题．
11．
在中，米，米，米.
由题意，得米，米，则米.
（1）①如图（a），过点作于点.
当秒时，（米），米，
易知为的中位线，
米，
（米）.
②如图（b），过点作于点，
则，，米.
（）.
（2）当时，由米，米，
得，解得；
当时，如图（c），过点作，
则米，米，可证，
故，即，解得；
当时，如图（d），过点作，
则米，米，可证，
故，即，解得.
故当的值为或或时，为等腰三角形.
12．
解：（1）在Rt△BCD中，，，
∴，
∴（cm）；
（2）当P，Q分别从B，C同时出发ts时，，；∴.
如图，过点Q作于点E，则.
∴；
（3）由（2）知，.
∵，，梯形ABCD是等腰梯形.
∴.
又∵，，
∴.
∴.
∴，
∴.
13．
设经过x秒钟，可使得四边形APQC的面积是31平方厘米，
根据题意得：，
即，
整理得，
解得：，．
答：经过1或5秒钟，可使得四边形APQC的面积是31平方厘米；
依题意得，，
即，
当，即时，．
答：经过3秒时，S取得最小值27平方厘米．
14．
解：（1）B（4，5），C（4，2），D（8，2）；
（2）当t=s时，点P运动的路程为，
点Q运动的路程为×2=11，
所以，P（4，），Q（7，2），
∴CP=，CQ=3，
∴S△CPQ=CP CQ=××3=；
（3）由题意得，
①当0≤t＜4时，（如图1）OA=5，OQ=2t，
S△OPQ=OQ OA=×2t×5=5t；
②当4≤t＜5时，（如图2）OE=8，EM=9﹣t，PM=4，MQ=17﹣3t，EQ=2t﹣8，
S△OPQ=S梯形OPMB﹣S△PMQ﹣S△OEQ，
=（4+8）×（9﹣t）﹣×4（17﹣3t）﹣×8（2t﹣8），
=52﹣8t；
③当5≤t≤7时，（如图3）PF=14﹣2t，FQ=7﹣t，QG=2，OG=18﹣2t，FG=9﹣t，
S△OPQ=S梯形OPFG﹣S△PFQ﹣S△OGQ，
=×（14﹣2t+18﹣2t）×（9﹣t）﹣×（14﹣2t）（7﹣t）﹣（18﹣2t）×2，
=t2﹣18t+77，
综上所述，S=．
考点：坐标与图形性质；平行线的性质；三角形的面积．
15．
【详解】
试题分析：（1）分∠PQB＝90°和∠QPB＝90°两种情况讨论即可；
（2）根据三角形的面积公式列式y＝S△ABC－S△BPQ即得函数关系式，根据二次函数最值原理即可得出y取得最小值时t的值和y的最小值；
（3）把t2－4 t＝代入y＝8－化简即可.
试题解析：（1）当t＝或时，△PBQ是直角三角形，理由如下：
∵BQ＝AP＝t， BP＝4－t，
∴①当∠PQB＝90°时，由得： t ＝4－t，解得：t＝；
②当∠QPB＝90°时，由得：，解得：t＝.
∴当t＝或时，△PBQ是直角三角形.
（2）①过P作PH⊥BC，在Rt△PHB中，BP＝4－t，PH＝，
∴S△BPQ＝，
∴y＝S△ABC－S△BPQ＝8－.
由题意可知：0≤t≤4.
②y＝8－＝，
∴当t＝2时，y取得最小值，最小值是．
（3）在Rt△PQH中，PH＝（4－t），HQ＝（4－t）－t，
由PQ2＝ PH2＋HQ2，则x2＝〔（4－t）〕2＋〔（4－t）－t〕2
化简得：x2＝（2＋）t 2－4（2＋）t＋16，∴ t2－4 t＝.
将t2－4t＝代入y＝8－，得y＝8＋·．
16．
解：（1）法一：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为． 把，代入上式得：
解得
∴所求抛物线解析式为
法二：∵，， ∴抛物线的对称轴是直线．
设抛物线解析式为（）
把，代入得解得
∴所求抛物线解析式为
（2）分三种情况：
①当，重叠部分的面积是，过点作轴于点，
∵，在中，，，在中，，
，
∴，
∴
②当，设交于点，作轴于点，
，则四边形是等腰梯形，重叠部分的面积是．
∴，
∴
③当，设与交于点，交于点，重叠部分的面积是．
因为和都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是
．
∵，，
∴，
∴，
∴
（3）存在t1=1，t2=2．
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O（t，t）
①当点Q在抛物线上时，= ×（t+）2+×（t+），解得t=2；
②当点O在抛物线上时，t=-t2+t，解得t=1．
17．
（1）由题意对称轴为直线，
设抛物线解析式为，把点代入得，
．
∴所求抛物线的解析式是．
（2）如图1．
，当时，．所以点，．
令，解得，或．点，．
设点．
此时．
．
由得．
解得或．
所以或．
所以点的坐标为，或．
（3）如图2．
设直线的解析式为：．
把，代入得，解得．
所以直线AC的解析式为．
设点，点．
所以．
所以当时，有最大值．
18．
∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，﹣1），
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x2﹣2x；
（2）∵点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为：m2﹣2m，
令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N．
∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，
∴PN=m2﹣2m，ON=m，OM=1，由=，得：=，
∴BM=m﹣2．
∵点C的坐标为（1，﹣1），
∴BC=m﹣2+1=m﹣1；
（3）令P（t，t2﹣2t）．
∵△ABP的面积等于△ABC的面积，
∴AC=AP，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，
∴CM=MQ=1，可得：t2﹣2t=1，解得：t=1+（t=1﹣舍去），
∴P的坐标为（1+，1）．
试卷第8页，共9页
试卷第9页，共9页