2021--2022学年人教版九年级数学上册24.1.2 -垂径定理的应用训练（word版含答案）

人教版九年级上册数学24章圆-垂径定理的应用训练
一、单选题
1．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2.已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
3．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2dm，水面宽AB为8dm，则输水管的直径为（ ）
A． B． C． D．
4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（ ）
A． B． C． D．
5．如图，内接于，，点是边的中点，连接并延长交于点，连接，则的大小为（ ）
A．55° B．65° C．70° D．75°
6．如图，的直径垂直于弦垂足为，则的长为（　　　）
A． B． C． D．
7．如图，点为上一点，弦于点，如果，，则为（ ）
A． B．2 C． D．4
8．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（　　　）米
A．5 B．8 C．12 D．13
二、填空题
9．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为2.4，高CD为0.6，则这个轮子的半径长为_________．
10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，．垂足为D，，，则这段弯路的半径是______m．
11．如图，在半径为6的中，是劣弧的中点，连结并延长到，使，连结．如果，那么__________
12．如图，中， ， ，则_________________．
13．如图，圆是一个油罐的截面图，已知圆的直径为5，油的最大深度（），则油面宽度为__________．
14．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为_______cm．
15．如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是______mm．
16．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是__________,半径为_________.
三、解答题
17．1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为，拱高（即弧的中点到弦的距离）为，求桥拱所在圆的半径（结果精确到）．
18．如图，有一个马戏帐篷，它的底面是圆形，其半径为，从A到B有一笔直的栅栏，其长为．观众在阴影区域里看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，并且阴影区域坐满了人，那么大约有多少名观众在看马戏？
19．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．
20．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
参考答案
1．B
解：∵BO⊥AC，∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝∠AOC＝50°，
则∠BDC＝∠BOC＝25°，
故选：B．
2．B
解：连接OC交AB于D，连接OA，
是运行轨道最低点
（米）
中，（米）
则点C到弦所在直线的距离是（米）
故选：B．
3．D
解：根据题意可知： ， ， ，
∴，
设圆的半径 ，则，
在 中， ，
即 ，解得： ，
∴输水管的直径为 ．
故选：D
4．B
解：如图，作OH⊥AB于H．交圆弧于C，
由题意：AB＝8，HC=3，
∴OA﹣OH＝3，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH＝BH＝=4，
在Rt△OAH中
由勾股定理得AH2＋OH2＝OA2，
∴42＝（OA＋OH）（OA﹣OH），
∴OA＋OH＝，
∴OA＝，OH＝，
∴cos∠OAB＝，
故选：B．
5．B
如图：连接CD，
∵ ∠A=50°，
∴∠CDB=180°-∠A=130°，
∵ E是边BC的中点，
∴ OD⊥BC，
∴ BD=CD，
∴ ∠ODB=∠ODC=∠BDC=65°，
故选：B．
6．C
解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE，∠CEO=90°，
又∵∠COE=2∠A=45°，
∴△CEO为等腰直角三角形，
∴CE=OC=，
∴CD=2CE=．
故选：C．
7．C
解：由图可得∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵，
∴BD=CD，
在Rt中，BD=OD=，
∴BC=2BD=2．
故选：C．
8．B
解：因为跨度AB=24m，拱的半径为13m，延长CD到O，使得OC=OB，则O为圆心，则BD=，
又∵OB=13，
在Rt△BOD中，DO=
∴拱高CD=CO-DO=13-5=8米．
故选B．
9．1.5
解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝1.2，
在Rt△OBD中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得：OB＝1.5，
即这个轮子的半径长为1.5，
故答案为：1.5．
10．
解：设这段弯路的半径是rm，，
则OA=OC=rm，，
∵OC⊥AB，
∴，
在Rt△AOD中，
由勾股定理得：
，
解得：，
则这段弯路的半径是100m．
故答案为：．
11．．
【分析】
解：如图，连OA，OB，
∵B是弧AC的中点，AB=BC=BD，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90 ，
由垂径定理知，OB⊥AC，点E是AC的中点，
由勾股定理知，，
∵AB=5，AO=BO=6，代入解得，BE=，
∵∠AEB=∠ACD=90 ，
∴BE∥CD，
∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD=2BE=．
12．23°
解：连接OC，如图所示：
∵，OA为半径，
∴，
∴∠AOC=∠AOB，
∵，
∴∠AOC=46°，
∴∠ADC=；
故答案为23°．
13．4
解：连接OA
∵圆的直径为5，油的最大深度
∴OA=OC=
∴OD=CD－OC=
∵
根据勾股定理可得：AD=
∴AB=2AD=4m
故答案为：4．
14．．
【详解】
如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OD⊥AB，∴AD=AB=（9﹣1）=4．
设OA=r，则OD=r﹣3，
在Rt△OAD中，
OA2﹣OD2=AD2，即r2﹣（r﹣3）2=42，解得r=（cm）．
15．200
解：∵⊙O的直径为1000mm，
∴OA=OA=500mm．
∵OD⊥AB，AB=800mm，
∴AC=400mm，
∴OC== =300mm，
∴CD=OD-OC=500-300=200（mm）．
答：水的最大深度为200mm．
故答案为：200
16．(-1,1)
如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，
即圆心的坐标是（-1，1），
根据勾股定理可得半径为：.故答案为(1). (-1,1) (2). .
17．．
解：如图，∵,拱桥的跨度AB＝37.4m，拱高CD＝7.2m，
∴AD＝AB＝18.7m，
∴AD2＝OA2 （OC CD）2，即18.72＝AO2 （AO 7.2）2，
解得AO≈27.9m．即圆弧半径为27.9m．
答：桥拱所在圆的半径为27.9m．
18．约421人．
解：过O作OD⊥AB，D为垂足，
∵AB=30m．
∴AD=BD=15m，
∴OD==5
∵sin∠AOD===0.75，
∴∠AOD≈49°，
∴∠AOB=98°，
∴S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB=-×30×5≈145.7m2，
∴145.7×3≈437（人）．
答：大约有437位观众在看马戏．
19．
解：如图，连接，作弦的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接．
，
．
．
又，
是线段的垂直平分线．
．
从而．
，
，
有水部分的面积，
，
，
．
20．（1）20米；（2）4米
解：（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，圆弧型桥墩高4米．